25.2 用列举法求概率-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）河北专版

第1课时　用列表法求概率 课时目标 1.用列举法求较复杂事件的概率,发展学生抽象思维能力的核心素养. 2.理解“包含两步并且每一步的结果为有限多个情形”的意义. 3.能够运用列表法计算简单随机试验中事件发生的概率,并能解决一些简单的实际问题. 学习重点 正确理解事件的有限等可能性.能用列表法求事件的概率. 学习难点 正确分析和准确计算概率. 课时活动设计 必然事件:在一定条件下,必然发生的事件,必然事件的概率是1. 不可能事件:在一定条件下,不可能发生的事件,不可能事件的概率是0. 随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,随机事件的概率大于0小于1. 古典概型概率: 一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)= 求概率的步骤: (1)列举出一次试验中的所有结果(n个); (2)找出其中事件A发生的结果(m个); (3)运用公式求事件A的概率P(A)=. 设计意图:复习概率的意义,为探究列举法作铺垫,从而引出课题. 问题1:掷一枚硬币,朝上的面有　2　种可能,P(反面朝上)=.  问题2:抛掷一个骰子,它落地时向上的数有　6　种可能,P(点数为2)=.  问题3:从标有1,2,3,4,5号的纸签中随意地抽取一个,抽出的签上的号码有　5　种可能,P(标有3号)=.  以上三个试验有两个共同的特点: (1)每一次试验中,可能出现的结果只有有限个; (2)每一次试验中,各种结果出现的可能性相等. 列举法:在一次试验中,如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性大小相等,那么我们可以通过列举试验结果的方法,求出随机事件发生的概率,这种求概率的方法叫列举法. 用列举法满足的两个条件: (1)每一次试验中,可能出现的结果只有有限个; (2)每一次试验中,各种结果出现的可能性相等. 设计意图:通过这样的设计点出列举法,为列表法作铺垫,使学生带着浓厚的兴趣和数学思考走进课堂,进而引出课题. 典例精讲 例1　同时抛掷两枚质地均匀的硬币,求下列事件的概率: (1)两枚硬币全部正面向上; (2)两枚硬币全部反面向上; (3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上. (学生思考交流有的同学认为有“正正”“正反”“反反”三种可能;有的同学认为“正反”“反正”各算一种可能,强调列举法的关键是“机会均等”) 解:列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果,它们是:正正,正反,反正,反反. 所有可能的结果共有4种,并且这4种结果出现的可能性相等. (1)所有可能的结果中,满足两枚硬币全部正面向上(记为事件A)的结果只有1种,即“正正”,所以P(A)=. (2)两枚硬币全部反面向上(记为事件B)的结果也只有1种,即“反反”,所以P(B)=. (3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上(记为事件C)的结果共有2种,即“反正”“正反”,所以P(C)==. 教师通过例题总结,若对所有的结果进行单纯的列举,发现容易出现遗漏,故可引入列表法.如本题中将两枚硬币分别记作A,B,可以用下表列举出所有可能的结果. 　　A B　　 正 反 正 正正 反正 反 正反 反反 　　 设计意图:突出列举法求概率的使用条件,即结果只有有限种,且各种结果出现的可能性大小相等.从实际情况出发,引导学生思考事件的可能情况,让学生对列表法形成初步认知,突出列举法求概率的使用条件. 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法. 一个因素所包含的可能情况在表格中横向列出,另一个因素所包含的可能情况在表格中纵向列出,在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个数m,最后代入公式计算. 设计意图:让学生更明确“列表法”求随机事件概率的注意事项,通过把列表法具象化,使学生更明确运用列表法求随机事件概率的注意事项,进而加深对列表法的认识. 典例精讲 例2　同时掷两枚质地均匀的骰子,计算下列事件的概率: (1)两枚骰子的点数相同; (2)两枚骰子点数的和是9; (3)至少有一枚骰子的点数为2. 分析:当一次试验是掷两枚骰子时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法. 解:两枚骰子分别记为第1枚和第2枚,可用下表列举出所有可能出现的结果. 　　　第一枚 第二枚　　　 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 　　由表可以看出,同时掷两枚骰子,可能出现的结果有36种,并且它们出现的可能性相等. (1)两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种,即(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),所以P(A)==. (2)两枚骰子的点数之和是9(记为事件B)的结果有4种,即(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),所以P(B)==. (3)至少有一枚骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11种,即(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),所以P(C)=. 设计意图:明确列表法,巩固“分步”分析问题的意识;为了规范学生的解题格式,将解题的步骤展示出来. 巩固训练 一个不透明的布袋子里装有4个大小、质地均相同的乒乓球,球面上分别标有1,2,3,4.王撼和李秋达按照以下方式抽取乒乓球:先从布袋中随机抽取一个乒乓球,记下标号后放回袋内搅匀,再从布袋内随机抽取第二个乒乓球,记下标号,求出两次取的小球的标号之和.若标号之和为4,王撼赢;若标号之和为5,李秋达赢.请判断这个游戏是否公平,并说明理由. 学生独立思考并完成. 解:两个乒乓球分别记为第1个和第2个,用下表列举出所有可能出现的结果. 　　第1个 第2个　　 1 2 3 4 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 　　从表中可知,所有可能的情况共16种,和为4的情况有3种,即(1,3),(2,2)(3,1);和为5的情况有4种,即(1,4),(2,3),(3,2),(4,1). ∴王撼赢的概率为,李秋达赢的概率为=. ∵>, ∴这个游戏不公平,对李秋达有利. 设计意图:复习巩固用列表法求概率,培养学生应用概率知识解决问题的意识,渗透随机观念,可将题中两名学生姓名改成本班学生的姓名,提高学生学习的积极性高. 课堂小结 1.这节课我们学到了什么? 2.用列举法求概率需要满足什么条件? 3.列表法适用于解决哪类概率问题? 回顾梳理本节知识,巩固,提高,发展. 让学生归纳、总结所学知识,进行自我评价,自我总结. 设计意图:这样可以让不同的学生有不同的体会,尊重了学生的个体差异,激发了学生主动参与的意识,为每个学生创造在数学活动中获得活动经验的机会. 课堂8分钟. 1.教材第138页练习第1,2题. 2.七彩作业. 教学反思   第2课时　用画树状图法求概率 课时目标 1.掌握用画树状图法计算概率,并通过比较概率大小做出合理的决策,发展学生抽象思维能力的核心素养. 2.能够根据问题,判断何时选用列表法和画树状图法求概率更方便,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力. 3.经历试验、列表、统计、运算、设计等活动,学生在具体情境中分析事件,计算其发生的概率,渗透数形结合,分类讨论,由特殊到一般的思想,提高分析问题和解决问题的能力. 学习重点 掌握用画树状图法计算概率,并通过比较概率大小做出合理的决策. 学习难点 能够根据问题,判断何时选用列表法和画树状图法求概率更方便. 课时活动设计 问题1　抛掷一枚硬币,硬币正面朝上的概率是多少? 解:正面朝上的概率是. 问题2　抛掷两枚硬币,一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率是多少? 解:列表如下: 　　　第一枚 第二枚　　　 正 反 正 (正,正) (反,正) 反 (正,反) (反,反) 由表可知,同时抛掷两枚硬币,共有4种等可能的结果.其中一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率是P==. 问题3　抛掷三枚硬币,两枚正面朝上、一枚反面朝上的概率是多少?可以用列表法解决这个问题吗? 解:概率是,不可以.理由如下: 当一次试验涉及3个因素或更多的因素时,列表法就不方便了,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法. 设计意图:通过问答的方式,帮助学生回忆上节课所学的知识,引导学生回忆列表法求概率,为后续学习树状图法做铺垫. 抛掷三枚硬币,两枚正面朝上、一枚反面朝上的概率是多少? 解:画树状图如下: 由树状图可以看出,所有可能出现的结果共有8种,即 且这些结果出现的可能性相等. 两枚正面朝上、一枚反面朝上的结果有3种,所以P(两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上)=. 设计意图:让学生经历合作探究的过程,通过讨论交流,培养学生解决问题和互相合作的能力. 1.列表法和树状图法的优点是什么? 分析:利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果,从而较方便地求出某些事件发生的概率. 2.什么时候使用“列表法”方便?什么时候使用“树状图法”方便? 分析:当试验包含两步或涉及两个因素时,列表法比较方便(此时也可以用树状图法);当试验在三步或三步以上(或涉及三个或三个以上因素)时,用树状图法更方便. 注意:用列表法或树状图法求概率的前提. (1)可能出现的结果只有有限个; (2)各种结果出现的可能性大小相等. 设计意图:通过让学生及时总结回顾,帮助学生梳理所学知识,巩固学生对列表法和树状图法的理解和认识. 典例精讲 例　甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B;乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有字母C,D和E;丙口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机取出1个小球. (1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少? (2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少? 解:根据题意,可以画出如下树状图: 由树状图可以看出,可能出现的结果共有12种,即 且这些结果出现的可能性相等. (1)只有1个元音字母的结果有5种,即ACH,ADH,BCI,BDI,BEH,所以P(1个元音)=. 有2个元音字母的结果有4种,即ACI,ADI,AEH,BEI,所以P(2个元音)==. 全部为元音字母的结果只有1种,即AEI,所以P(3个元音)=. (2)全是辅音字母的结果共有2种,即BCH,BDH,所以P(3个辅音)==. 设计意图:通过解决实际问题,示范树状图解法,加深学生对此种解法的理解,使学生初步掌握用树状图法解决概率问题的技能. 巩固训练 1.袋中装有编号为1,2,3的三个质地均匀、大小相同的球,从中随机取出一球记下编号后,放入袋中搅匀,再从袋中随机取出一球,两次所取球的编号相同的概率为(　C　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛,游戏规则是:在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球,上面分别标有数字2,3,4,5.一人先从袋中随机摸出一个小球,另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球.若摸出的两个小球上的数字和为偶数,则小丽去参赛;否则小华去参赛. (1)用列表法或画树状图法,求小丽参赛的概率; (2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由. 解:(1)法一:根据题意列表,得 　　　第一个 第二个　　　 2 3 4 5 2 —— (3,2) (4,2) (5,2) 3 (2,3) —— (4,3) (5,3) 4 (2,4) (3,4) —— (5,4) 5 (2,5) (3,5) (4,5) —— 　　由表可知所有可能结果共有12种,且每种结果发生的可能性相同,其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种,分别是(2,4),(3,5),(4,2),(5,3). 所以小丽参赛的概率为=. 法二:根据题意,画树状图如下: 由树状图可知所有可能结果共有12种,且每种结果发生的可能性相同,其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种,分别是(2,4),(3,5),(4,2),(5,3). 所以小丽参赛的概率为=. (2)游戏不公平,理由为: ∵小丽参赛的概率为,∴小华参赛的概率为1-=. ∵≠,∴这个游戏不公平. 设计意图:通过巩固练习,巩固新知,复习本节课内容.使学生能够从实际需要出发,判断何时选用列表法和画树状图法求概率更方便,提升学生使用列表法和树状图法求概率的技能. 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 设计意图:通过小结让学生熟悉巩固本节课所学的知识,回顾反思不同方法求概率的优势和弊端,进一步提升学生解决问题的能力. 课堂8分钟. 1.教材第139页练习,教材第140页习题25.2第3,4,5题. 2.七彩作业. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$