24.2 点和圆、直线和圆的位置关系-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）河北专版

24.2.1　点和圆的位置关系 课时目标 1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系,探求过点画圆的过程,掌握过不在同一直线上三点画圆的方法,掌握三角形的外接圆和外心的概念,了解运用“反证法”证明命题的思想方法. 2.通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系,并提炼出数量关系,从而渗透数形结合,分类讨论等数学思想. 3.形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力. 学习重点 点与圆的三种位置关系,过三点作圆. 学习难点 点与圆的三种位置关系及其数量关系,及反证法的理解. 课时活动设计 情境引入 射击是奥运会的一个正式体育项目,我国射击运动员在奥运会上屡获金牌,为祖国赢得了荣誉.如图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的,射击成绩是由击中靶子不同位置所决定的.图中是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹.你知道如何计算运动员的成绩吗? 从数学的角度来看,这是平面上的点与圆的位置关系,我们今天这节课就来研究这一问题,引出课题. 设计意图:随着现在经济科技的发展,奥运会越来越被人们所重视.本节内容通过学生熟悉的射击比赛成绩的算法,使学生在开拓知识视野的同时,感知点与圆的几种位置关系,体会数学在生活中的应用. 探究新知 我们取刚才射击靶上的一部分图形来研究点与圆存在的几种位置关系. 学生交流,回答问题. 教师点评:点与圆有三种位置关系:点在圆内,点在圆上,点在圆外. 如下图,☉O的半径为4 cm,OA=2 cm,OB=4 cm,OC=5 cm,那么,点A,B,C与☉O有怎样的位置关系? 解:∵OB=4 cm,∴OB=r,∴点B在☉O上. ∵OA=2 cm<4 cm,∴点A在☉O内. ∵OC=5 cm>4 cm,∴点C在☉O外. 设计意图:通过实例观察点与圆的位置关系,从而总结出规律,使学生的思维得到提升. 探究 (1)如图1,经过一个已知点A能不能作圆,这样的圆你能作出多少个? (2)如图2,经过两个已知点A,B能不能作圆?如果能,圆心分布有什么特点? 学生动手探究,作图,交流,得出结论,教师点评并总结. 解:(1)过已知点A画圆,可作无数个圆.这些圆的圆心分布于平面的任意一点,半径是任意长的线段.(仅过点A,既不能确定圆心,也不能确定半径.) (2)过已知的两点A,B也可作无数个圆.这些圆的圆心分布在线段AB的垂直平分线上.因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. (注:仅过点A,B,同样不能确定圆心,也不能确定半径.) 经过不在同一条直线上的三个点,A,B,C能不能作圆?如果能,如何确定所作圆的圆心? 解:经过A,B两点的圆,圆心在线段AB的垂直平分线上.经过A,C两点的圆,圆心在线段AC的垂直平分线上,那么这两条垂直平分线一定相交,设交点为O,则OA=OB=OC,于是以O为圆心,以OA为半径的圆,必过B,C两点,所以过不在同一直线上的A,B,C三点有且仅有一个圆. 教师总结,不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心. 设计意图:学生动手从易到难,逐个分析过不同个数的点的圆的个数. 典例精讲 例1　☉O的半径为10 cm,根据点P到圆心的距离:(1)8 cm;(2)10 cm;(3)13 cm.判断点P与☉O的位置关系,并说明理由. 解:设☉O的半径为r cm,点P到圆心的距离为d cm,则r=10. (1)当d=8时,∵d<r,∴点P在☉O内. (2)当d=10时,∵d=r,∴点P在☉O上. (3)当d=13时,∵d>r,∴点P在☉O外. 例2　如图,在A地往北90 m处的B处,有一栋民房,东120 m的C处有一变电设施,在BC的中点D处有一古建筑.因施工需要必须在A处进行一次爆破,为使民房,变电设施,古建筑都不遭破坏,问爆破影响的半径应控制在什么范围之内? 解:由题可知AB=90 m,AC=120 m,∠BAC=90°,由勾股定理,可得BC===150(m). 又∵D是BC的中点,∴AD=BC=75(m). ∴民房B,变电设施C,古建筑D到爆破中心的距离分别为:AB=90 m,AC=120 m,AD=75 m. 要使B,C,D三点不受到破坏,即B,C,D三点都在☉A外,∴☉A的半径要小于75 m. 即爆破影响的半径控制在小于75 m的范围,民房,变电设施,古建筑才能不遭破坏. 设计意图:例1可让学生独立思考,尝试写出过程;教师点评,并规范书写格式.例2是对本节知识的实际应用,教师引导学生分析问题,使学生学会将实际问题转化为数学问题,从而认识到问题的本质,也让学生体会到数学是与实际生活紧密相连的. 思考 经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗? 学生易想到过同一条直线上的三个点不能圆,那如何证明呢? 证明:如图,假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作出一个圆.设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上,又在线段BC的垂直平分线l2上,即点P为l1与l2的交点,而l1⊥l,l2⊥l,这与我们之前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以经过同一条直线上的三个点不能作圆. 教师进行总结,引出反正法: 上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同,它不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆),由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法. 设计意图:让学生了解用反证法证明的基本思路和一般步骤. 巩固训练 1.判断下列说法是否正确: (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.(　√　) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.(　×　) (3)经过三点一定可以确定一个圆.(　×　) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.(　√　) 2.☉O的半径为10 cm,A,B,C三点到圆心的距离分别为8 cm,10 cm,12 cm,则点A,B,C与☉O的位置关系是:点A在　圆内　;点B在　圆上　;点C在　圆外　.  课堂小结 1.本节课你学到了哪些数学知识和数学方法?请与同伴交流点和圆的位置关系,会判断点和圆的位置关系、理解并掌握三角形的外心及性质. 2.了解反证法证明的基本思路和一般步骤. 课堂8分钟. 1.教材第95页练习第2,3题. 2.七彩作业. 24.2.1　点和圆的位置关系 点和圆的位置关系 教学反思   24.2.2　直线和圆的位置关系 第1课时　直线和圆的位置关系 课时目标 1.掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系,掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法,发展学生抽象思维能力的核心素养. 2.结合图形理解直线和圆的位置关系,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养. 3.通过生活中的实例,探求直线和圆的三种位置关系,并提炼出相关的数学知识,从而渗透数形结合,分类讨论等数学思想,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力. 学习重点 掌握直线与圆的三种位置关系及其数量关系. 学习难点 能够通过数量关系判断直线与圆的位置关系. 课时活动设计 情境导入 (1)教师动态演示太阳升起的过程,提问:如果我们把太阳看作一个圆,把地平线看作是一条直线,太阳升起的过程中,太阳和地平线会有几种位置关系?由此你能得出直线和圆的位置关系吗? (2)在纸上画一条直线l,把钥匙环看作一个圆.在纸上移动钥匙环,你能发现在移动钥匙环的过程中,它与直线l的公共点个数的变化情况吗? 设计意图:从人们常见的太阳的东升西落的问题开始,然后学生通过移动钥匙环,亲身体会到现实生活中的数学知识,更加形象地表明了直线和圆的位置关系.先由学生交流、操作,观察发现直线与圆的位置关系,可让同学分别演示每一种情况,并写出交点的个数. 新知讲解 1.直线和圆的位置关系的定义及有关概念. 由前面的两个探究情景可知,直线与圆有如下三种位置关系: 如图1,直线l与☉O有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交,直线l叫做☉O的割线. 如图2,直线l与☉O只有一个公共点,这时我们说这条直线与☉O相切,直线l叫做☉O的切线,这一个公共点叫做切点. 如图3,直线l与☉O没有公共点,我们说这条直线与☉O相离. 2.直线和圆的位置关系的性质和判定. 思考:在上面的图1、图2、图3中,设☉O的半径为r,直线l到圆心O的距离为d,在直线和圆的三种不同位置关系中,d与r具有怎样的大小关系?反过来你能根据d与r的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗?(学生讨论,归纳总结答案,并由学生代表回答问题.) 归纳总结: 直线l与☉O相交⇔d<r有两个公共点; 直线l与☉O相切⇔d=r有1个公共点; 直线l与☉O相离⇔d>r无公共点. 设计意图:这是直线和圆的位置关系的性质和判定,对于这一结论,要求学生要熟记图形,重在结合图形进行理解掌握. 典例精讲 例1　已知圆的半径等于10 cm,直线l与圆只有一个公共点,求圆心到直线l的距离. 解:∵直线l与圆只有一个公共点.∴直线l与圆相切. 当直线l与圆相切时,d=r=10 cm. ∴圆心到直线l的距离为10 cm. 例2　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以点C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么? (1)r=2 cm;(2)r=2.4 cm;(3)r=3 cm. 分析:判断☉C与直线AB的位置关系,就是比较半径r与圆心C到直线AB的距离d的大小关系,即比较r与图中CD的大小关系. 解:如图,过点C作CD⊥AB于点D. ∵∠ACB=90°,AC=3 cm,BC=4 cm, ∴AB=5 cm. ∵S△ABC=·AB·CD=·AC·BC,即×5·CD=×3×4, ∴CD==2.4 cm,即d=2.4 cm. (1)当r=2 cm,∵d=2.4 cm>r,∴☉C与直线AB相离. (2)当r=2.4 cm,∵d=2.4 cm=r,∴☉C与直线AB相切. (3)当r=3 cm,∵d=2.4 cm<r,∴☉C与直线AB相交. 设计意图:学以致用,从做题中让学生理解知识. 巩固练习 1.如图,正方形ABCD中,边长为1. (1)以点A为圆心,1为半径的圆与直线BC有怎样的位置关系? (2)以A为圆心,半径为多少时,圆与直线BD相切? 解:(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC. ∵AB=1=r,∴☉A与直线BC相切. (2)∵四边形ABCD为正方形,边长为1, ∴AB=BC=1,∠ABC=90°,AC⊥BD且AO=AC. 在Rt△ABC中,AC==, ∴AO=AC=. ∴以A为圆心,半径为时,圆与直线BD相切. 设计意图:巩固所学,拓展思维. 课堂8分钟. 1.教材第96页练习. 2.七彩作业. 教学反思   第2课时　切线的判定和性质 课时目标 1.使学生能判定一条直线是否为一条切线,会过圆上一点作圆的切线,会运用切线的判定定理和性质定理解决问题,发展学生抽象思维能力的核心素养. 2.经历切线的判定定理及性质定理的探究过程,养成学生既能自主探究,又能合作探究的良好学习习惯,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养. 3.灵活运用切线的性质解决一些实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力. 学习重点 掌握切线的判定定理及性质定理. 学习难点 切线的判定定理和性质的应用. 课时活动设计 新知导入 通过多媒体动态演示实例,教师进行提问,这些现象有哪些共同点? 设计意图:通过观察生活中的实例,使学生初步感知直线与圆相切的情景,深化学生思想中的数学模型. 思考 如图,在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少?直线l和☉O有什么位置关系? 解:∵直线l⊥OA,而点A是☉O的半径OA的外端点, ∴直线l与☉O只有一个交点,并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA,即是☉O的半径. ∴直线l与☉O相切. 教材总结得到切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 设计意图:引导学生分析切线的特点,为后续做准备. 新知探究 已知直线l是☉O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?为什么?(学生讨论,由学生代表回答) 分析:这个问题在引导学生分析时,直接证明比较困难,我们可以运用反证法.假设OA与l不垂直,过点O作OM⊥l,垂足为M,根据垂线段最短的性质,有OM<OA,这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA,于是直线l与☉O相交,而这与直线l与☉O相切矛盾.因此,半径OA垂直于直线l. 教师点评:由于l是☉O的切线,点A为切点,∴圆心O到l的距离等于半径,所以OA就是圆心O到直线l的距离.∴直线l⊥OA. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 符号语言:∵直线l是☉O的切线,切点为A,∴直线l⊥OA. 设计意图:学生具有初步的逻辑分析能力和表达能力,课堂上适时的锻炼既能消除学生对证明的陌生感,又能提升学生的逻辑思维能力. 典例精讲 例1　如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.求证:AC是☉O的切线. 师:要证明一条直线是圆的切线,必须符合两个条件,即“经过半径外端”和“垂直于这条半径”.引导学生分析. 解:过点O作OE⊥AC,垂足为E,连接OD,OA. ∵☉O与AB相切于点D, ∴OD⊥AB. 又△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ∴AO是∠BAC的平分线. ∴OE=OD,即OE是☉O的半径. ∴AC是☉O的切线. 例2　(1)如图1,AB是☉O的弦,PA是☉O的切线,A是切点,∠PAB=30°,求∠AOB. (2)如图2,AB是☉O的直径,DC切☉O于点C,连接CA,CB,AB=12,∠ACD=30°,求AC的长. 解:(1)∵OA,OB为☉O的半径,∴△OAB为等腰三角形. ∴∠OAB=∠OBA. 又∵PA是☉O的切线,∴由切线的性质,可知PA⊥OA.∴∠OAP=90°.∴∠OAB=∠OAP-∠BAP=90°-30°=60°. ∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×60°=60°. (2)连接OC,∵CD是☉O的切线,∴OC⊥CD. ∴∠OCA=60°. ∵OA=OC,∠ACD=30°, ∴∠OCA=90°-30°=60°=∠OAC,△OAC是等边三角形. ∴AC=OA=r=×AB=×12=6. 设计意图:让学生能够应用新知识,进一步运用到实际学习内容中. 巩固训练 1.如图所示,线段AB经过圆心O,交☉O于点A,C,∠BAD=∠B=30°,边BD交圆于点D.BD是☉O的切线吗?为什么? 解:BD是☉O的切线. 理由:连接OD. ∵∠BAD=30°,OA=OD, ∴∠ADO=∠BAD=30°. ∴∠BOD=∠ADO+∠BAD=60°. 在△BOD中,∠B=30°,∠BOD=60°, ∴∠BDO=90°. ∴BD是☉O的切线. 2.如图,已知直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线. 解:连接OC, ∵OA=OB,AC=BC, ∴OC⊥AB, ∵点C为OC的端点且点C在☉O上, ∴直线AB是☉O的切线. 学生思考交流后师生共同解答. 3.如图,OA=OB=5,AB=8,☉O的直径为6. 求证:直线AB是☉O的切线. 证明:如图,过点O作OC⊥AB于点C, ∵OA=OB=5,AB=8, ∴AC=BC=AB=4. 在Rt△AOC中,由勾股定理,可得OC==3. ∵☉O的直径为6, ∴OC为☉O的半径. 又∵OC⊥AB, ∴直线AB是☉O的直径. 教师归纳: 证切线时辅助线的添加方法: (1)有公共点,连半径,证垂直; (2)无公共点,作垂直,证半径. 有切线时常用辅助线添加方法: 见切线,连半径,得垂直. 切线的其他重要结论: (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 课堂小结 1.让学生回顾本堂课的两个知识点. 2.试着让学生自己总结切线的证明方法,然后相互交流. 设计意图:在这一环节,教师要尽可能地让学生自主总结与交流,然后适当地予以点评和补充. 课堂8分钟. 1.教材第98页练习第1,2题,教材第101页习题24.2第4,5题. 2.七彩作业. 教学反思   第3课时　切线长定理和三角形的内切圆 课时目标 1.理解掌握切线长的概念和切线长定理,了解三角形的内切圆圆心和三角形的内心等概念,发展学生抽象思维能力的核心素养. 2.利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征,结合求证三角形内面积最大的圆的问题,掌握三角形内切圆和内心的概念.培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养. 3.运用切线长定理和内心解决一些实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力. 学习重点 切线长定理及其应用. 学习难点 有关切线长定理的有关计算和证明问题. 课时活动设计 情境引入 同学们玩过悠悠球(如图1)吗?大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中还包含着数学知识呢?图2是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图,从中你能抽象出什么样的数学图形(球的整体和中心轴可抽象成圆形,被拉直的线绳可抽象成线段)?这些图形的位置关系是怎样的? 设计意图:通过同学们常玩的悠悠球来激起他们的学习兴趣,并进一步引出切线长及切线长定理.建议:教师在课前准备一个悠悠球,在课堂上直接展示,活跃课堂气氛.同时在抽象出数学图形的过程中,注意从上节课刚学过的切线的角度引导学生思考问题. 新知探究 如图,纸上有一☉O,PA为☉O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B,回答下列问题: (1)OB是☉O半径吗? (2)PB是☉O的切线吗? (3)PA、PB是什么关系? (4)∠APO和∠BPO有何关系? 学生动手实验,观察分析,合作交流后,教师抽取几位学生回答问题. 分析:OB与OA重合,OA是半径,∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变,∴∠PBO=∠PAO=90°(即PB⊥OB),PA=PB,∠POA=∠POB,∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点,∴PB是☉O的切线. 设计意图:通过观察生活中的实例,使学生初步感知直线与圆相切的情景,深化学生思想中的数学模型. 新知讲解 问题1:在☉O外任取一点P,过点P作☉O的两条切线,如图,则图形中存在哪些等量关系? 问题2:将所画图形沿着直线PO进行对折,观察折线两旁的部分能否互相重合?请用语言概括你的发现. 师生活动:教师指导学生运用猜想、测量、对折等方法和策略进行探究,并进行适时点拨后,学生交流、讨论,说明自己的发现,教师做好总结和鼓励. 教师强调: (1)切线长的定义:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长,如图中的线段PA,PB. (2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 问题3:你能运用所学知识进行证明吗? 师生活动:学生小组内讨论、交流,教师引导学生作辅助线证明三角形全等即可,学生写出证明过程,教师巡视、指导. 证明:如图,连接OA,OB. ∵PA,PB是☉O的两条切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB. 又∵OA=OB,OP=OP, ∴Rt△AOP≌Rt△BOP. ∴PA=PB,∠APO=∠BPO. 问题4:如何根据图形,用几何语言描述切线长定理呢? 师生活动:学生根据定理的题设和结论,结合图形,进行回答,教师板书并补充. ∵PA,PB是☉O的两条切线,∴PA=PB,∠APO=∠BPO. 设计意图:这个定理要让学生分清题设和结论.题设:过圆外一点作圆的切线.结论:①过圆外的这一点可作该圆的两条切线;②两条切线长相等;③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 典例精讲 例1　如图,PA、PB是☉O的切线,切点分别是A、B,若∠APB=60°,PA=4,则☉O的半径是 　.  例2　如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,连接OP,交☉O于C,若PA=6.PC=2.求☉O的半径OA及两切线PA,PB的夹角. 解:连接OA,∵PA是☉O的切线, ∴∠OAP=90°. ∴OP2=OA2+PA2. ∵OP=OC+CP,OC=OA,PA=6,PC=2, ∴(OA+2)2=OA2+62. ∴OA=2. ∴OC=OA=2. ∴OP=OC+PC=4. ∴OP=2OA. ∴∠APO=30°. ∵PA,PA分别切☉O于A,B两点, ∴∠APO=∠BPO=30°. ∴∠APB=60°. ∴☉O的半径OA为2,两切线PA,PB的夹角为60°. 教师总结:解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形. (1)分别连接圆心和切点. (2)连接两切点. (3)连接圆心和圆外一点. 切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据,必须掌握并能灵活应用. 设计意图:让学生能够应用新知识,进一步运用到实际学习内容中. 探究内切圆 思考:如何在三角形内部画一个圆,使它与已知三角形的三边都相切? 分析:(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切,那么圆心I应满足什么条件? (2)在△ABC的内部,如何找到满足条件的圆心I呢? 解:我们以前学过,三角形的三条角平分线交于一点,并且这个点到三条边的距离相等.因此,如图,分别作∠B,∠C的平分线BM和CN,设它们相交于点I,那么点I到AB,BC,CA的距离都相等.以I为圆心,点I到BC的距离ID为半径作圆,则☉I与三角形三条边都相切,圆I就是所求作的圆. 教师总结:与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆; 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心. 设计意图:从一条线和圆相切,到两条线和圆相切形成切线长定理,再到三边都和圆相切形成三角形的内切圆,层层递进,符合学生的思维认知. 典例精讲 例3　△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=13,求AF,BD,CE的长. 解:设AF=x,则AE=x, CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14. 解得x=4. 因此AF=4,BD=5,CE=9. 小结:运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程. 设计意图:理解并掌握内心的定义. 巩固训练 1.如图,PA切☉O于点A,PB切☉O于点B,下列结论中,错误的是(　D　) A.∠APO=∠BPO　　B.PA=PB　　C.AB⊥OP　　D.PA=PO 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别是A,B,如AP=4,∠APB=40°,则∠APO=　20°　,PB=　4　.  3.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点为A,B,∠P=50°,点C是☉O上异于A,B的点,则∠ACB=　65°或115°　.  4.△ABC的内切圆☉O与三边分别切于D,E,F三点,如图,已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是　30　.  设计意图:学生通过练习进一步熟悉切线长定理和内心的性质,并学会解决问题.旧知识和新知识的结合体现了不同单元内容之间延续性和关联性,在此过程中也培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养. 课堂8分钟. 1.教材第100页练习第2题,教材第101页习题24.2第3,6题. 2.七彩作业. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$