24.1 圆的有关性质-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）河北专版

24.1.1　圆 课时目标 1.理解圆的有关概念,发展学生抽象思维能力的核心素养. 2.理解弧、弦的概念,了解等圆、等弧的概念,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养. 3.灵活运用圆的概念解决一些实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力. 学习重点 圆的两种定义、相关概念以及弧的表示方法. 学习难点 对弧及优弧、劣弧的概念的感知与理解. 课时活动设计 情境引入 观察下列图形,从中找出共同特点并想一下生活中还有哪些物品有这种特点. 设计意图:由大量的现实图片引出,给学生产生视觉上的强烈冲击,产生强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.让学生感悟数学来源于生活并应用与生活的辨证思想,初步感受圆的概念. 探究新知 圆的概念 如图,观察画圆的过程,你能说出圆是如何画出来的吗? 学生讨论:在一个平面内,一条线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A形成的图形就是圆. 教师总结:圆:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆; 圆心:固定的端点O叫做圆心; 半径:线段OA叫做半径. 圆的表示方法:以点O为圆心的圆,记作☉O,读作“圆O”. 同时从圆的定义中归纳: (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r); (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 于是得到圆的第二定义:所有到定点O的距离等于定长r的点的集合叫做圆. 设计意图:引导学生从几何角度出发观察圆的形成过程,从做圆的过程自然过渡到圆的定义,把生活中的情景抽象为平面图形,让学生表述,明确圆的定义. 典例精讲 例1　矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD,AC=BD. ∴OA=OC=OB=OD. ∴A,B,C,D四个点在以点O圆心,OA为半径的圆上. 设计意图:圆的定义的应用.在此过程中培养学生的表达能力和总结能力,学会用数学语言表达现实世界. 探究新知 弦、直径、弧的概念 讨论圆中相关元素的定义.如下图,你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗? 学生小组讨论,讨论结束后派一名代表发言进行交流,在交流中逐步完善自己的结果. 教师归纳: 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦. 直径:经过圆心的弦叫做直径. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 弧的表示方法:以A,B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆. 优弧:大于半圆的弧叫做优弧,用三个点表示,如图中的. 劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧,如图中的. 等圆:能够重合的两个圆叫等圆.半径相等的两个圆是等圆.反过来,同圆或等圆的半径相等. 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧. 设计意图:弦、直径、弧、半圆这些定义有的在小学接触过,有的从字面可以猜出一二,结合图形可以锻炼学生的语言表达能力,进一步培养严密的数学表达能力. 巩固训练 1.下列语句中,正确的是(　B　) A.大于劣弧的弧叫做优弧　　　　　B.小于半圆的弧叫做劣弧 C.圆上两点间的部分叫做弦 D.过圆心的线段叫做圆的直径 2.若一个圆中最长的弦长为8 cm,则这个圆的半径是　4　cm.  3.下列说法中正确的是　①③　.  ①矩形的四个顶点在同一个圆上;②菱形的四个顶点在同一个圆上;③直角三角形的三个顶点在同一个圆上;④平行四边形的四个顶点在同一个圆上. 4.下列说法正确的是　②④　.  ①圆中的线段是弦;②直径是圆中最长的弦;③优弧一定大于劣弧;④半径相等的两个圆是等圆;⑤长度相等的两条弧是等弧. 设计意图:学生通过例题进一步熟悉圆的相关性质,并学会解决问题.旧知识和新知识的结合体现了不同单元内容之间的延续性和关联性,在此过程中也培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养. 课堂小结 (1)通过今天的学习,你有哪些收获? (2)你是否明确圆的两种定义、弦、弧等概念? 设计意图:进一步回忆、巩固本节所学. 课堂8分钟. 1.教材第81页练习第3题. 2.七彩作业. 24.1.1　圆 　 1.圆的概念. 2.与圆有关的概念. 弦、直径、弧(优弧和劣弧)、半圆、等圆、等弧. 3.例题讲解. 教学反思   24.1.2　垂直于弦的直径 课时目标 1.研究圆的对称性,掌握垂径定理,发展学生抽象思维能力的核心素养. 2.培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养. 3.学会运用垂径定理及解决一些有关证明、计算,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力. 学习重点 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其应用. 学习难点 垂径定理的证明,以及应用时如何添加辅助线. 课时活动设计 观察思考 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗? 设计意图:从学生熟悉的历史事物中提出问题、设置悬疑、激发学生的学习兴趣,让学生体会生活中数学随处可见,体会数学如何被用来解决生活中的实际问题.教师PPT展示赵州桥的图片,并提出问题,引导学生思考.注意:这里只提出问题,学生暂时还不能解答. 探究新知 合作探究 剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么? 教师提出问题,并让学生拿出事先准备好的圆形纸片,动手操作,观察,学生充分交流后,教师汇总补充,最后PPT动态展示. 在此基础上追问:由此你能得到什么结论?你能证明你的结论吗? 教师总结学生得出的结论:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 教师引导学生发现,要证明圆是轴对称图形,只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.如图,设CD是☉O的任意一条直径,A为☉O上点C,D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在☉O上. 证明:过点A作AA'⊥CD,交☉O于点A',垂足为M,连接OA,OA'. 在△OAA'中,∵OA=OA', ∴△OAA'是等腰三角形. 又AA'⊥CD, ∴AM=MA'.即CD是AA'的垂直平分线. 教师可在圆上任取若干个点进行说明,进一步验证前面得到的结论. 圆的对称性:①圆是轴对称图形;②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 设计意图:通过证明引导学生思考,使学生充分经历操作、观察、猜想、验证等合情推理的过程,初步培养学生分析问题、解决问题的能力. 合作探究 在刚刚的证明过程中,你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗? 教师再次动态展示折纸的过程,让学生观察,并在此基础上得出结论.并尝试让学生用语言描述所得到的结论,教师引导并补充完善. 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 教师带领学生分析垂径定理的题设,结论.并试着结合图形把文字语言转化为数学语言. 下列图形是否具备垂径定理的条件? 教师提出问题,学生抢答.对于不具备垂径定理条件的图形,引导学生说出原因,并追问: 怎样修改图(2)、(4)能够满足垂径定理的条件? 教师带领学生观察修改后的图片,引导学生总结:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.其中,直径并不是必要条件,只要满足过圆心即可. 当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时,能否得出CD⊥AB? 教师提出问题,引导学生仿照前面的证明方法证明,并用文字语言描述所得结论,得出垂径定理的推论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 教师追问:为什么强调“不是直径”呢? 设计意图:再次观察折叠圆的过程,让学生在理解圆的对称性的基础上进一步发现相等的线段、弧,尝试总结出垂径定理. 想一想 判断下列说法是否正确: 1.垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的两条弧.(×) 2.平分弦的直径垂直于弦.(×) 3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.(×) 设计意图:巩固所学知识,加深对知识的理解. 延伸 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 教师带领学生归纳出垂径定理及推论中,蕴含的五个条件: ①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧. 并引导学生发现,垂径定理是①②→③④⑤;垂径定理的推论是①③→②④⑤. 追问:还有别的结论吗? 条件 结论 ①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分这条弦,并且平分弦所对的另一条弧 ①⑤ ②③④ ②③ ①⑤④ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧 …… …… …… 　　 设计意图:在已有知识的基础上适当延伸拓展,使学生能够理解这5个条件可以知二推三,锻炼学生的思维能力及灵活运用所学知识的能力. 典例精讲 通过这节课的学习,现在你能解决课程一开始的问题了吗? 例　赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位). 解:如图,用表示主桥拱,设所在的圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与相交于点C,连接OA. 根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高. 由题设可知AB=37,CD=7.23, 所以AD=AB=×37=18.5,OD=OC-CD=R-7.23. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得 OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2. 解得R≈27.3. 因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m. 设计意图:通过例题讲解,巩固本节课所学知识,培养学生解决问题的能力,发展应用意识,锻炼实践能力.教师提出问题,学生先独立思考,解答,然后再小组交流探讨,教师巡视,如遇到有困难的学生适当点拨,最终教师展示答题过程. 巩固训练 1.如图,在☉O中,若CD⊥AB于点M,AB为直径,则下列结论不正确的是(　C　) A.=　　　　B.=　　　　C.AM=OM　　　　D.CM=DM 2.已知☉O的直径AB=10,弦CD⊥AB于点M,OM=3,则CD=　8　.  3.在☉O中,弦CD⊥AB于点M,AB为直径,若CD=10,AM=1,则☉O的半径为　13　.  4.☉O的半径为13 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=24 cm,CD=10 cm,求AB和CD之间的距离. 解:如图,过点O向AB,CD作垂线,垂足分别为M,N,连接OB,OD. 由垂径定理,可得BM=AB=12 cm,DN=CD=5 cm. 又∵OB=OD=13 cm, 在Rt△OBM,Rt△ODN中, 由勾股定理,得OM==5 cm,ON==12 cm. ∴AB和CD之间的距离MN=ON-OM=7 cm或MN=OM+ON=17 cm. 设计意图:进一步巩固本节课的内容,了解学习效果,让学生经历运用知识解决问题的过程,给学生获得成功体验的空间. 课堂小结 设计意图:通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容,使零散的知识系统化,同时培养学生的语言表达能力. 课堂8分钟. 1.教材第83页练习第2题. 2.七彩作业. 教学反思   24.1.3　弧、弦、圆心角 课时目标 1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性,会辨析圆心角,发展学生空间想象能力的核心素养. 2.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动,发展空间观念、推理能力,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养. 3.掌握在同圆或等圆中,圆心角与其所对的弦、弧之间的关系,并能运用此关系进行相关的证明和计算,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力. 学习重点 掌握弦、弧、圆心角之间的关系,并能运用此关系进行相关的证明和计算. 学习难点 理解圆的旋转不变性和对定理推论的应用. 课时活动设计 知识回顾 前面我们已经学习了圆的对称性,你能用自己的语言描述它吗? 教师提出问题,带领学生回顾已学知识,在此基础上追问: 圆是中心对称图形吗? 设计意图:先回顾已学知识,在此基础上提出问题,引导学生思考新知识,建立起新旧知识之间的联系. 探究新知 教师提问:剪一个圆形纸片,把它绕圆心旋转180°,所得的图形与原图形重合吗?由此你能得到什么结论?并让学生拿出事先准备好的圆形纸片,动手操作、观察,最后教师PPT动态展示. 追问1:把圆绕圆心旋转任意一个角度呢? 教师在上一问题的基础上追问,仍然让学生先动手操作,观察,然后教师任选几个角度(如30°,60°,120°,210°等)进行PPT动态展示. 追问2:通过上面的观察,你能得到什么结论呢? 老师引导学生得出结论:圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心.不仅如此,把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合. 设计意图:让学生通过动手实践来感受圆的中心对称性,引导学生来归纳出圆是中心对称图形,培养学生的观察能力与语言组织能力. 探究新知 观察下面几个角的顶点,有什么共同特征? 教师总结圆心角的概念:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 思考 在☉O中,当圆心角∠AOB=∠A'OB'时,它们所对的弧和,弦AB和A'B'相等吗?为什么? 教师提出问题,并展示PPT,让学生观察∠AOB和∠A'OB'重合的过程,进一步让学生观察这两个角所对的弦、弧是否重合,最终得出结论,并引导学生用自己的语言总结.教师汇总并补充:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 追问:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它所对的圆心角,所对的弦是否也相等呢? 教师在上述基础上追问,先让学生仿照前面的思路自主探究,最终教师展示相关过程及结论. = 　⇩ AB=A'B' ∠AOB=∠A'OB' 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等. 教师引导学生用语言总结结论: AB=A'B' 　 ⇩ ∠AOB=∠A'OB' = = 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等. 追问1:“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉? 经过思考发现:去掉同圆或等圆,那就会想到半径不同的圆,在不同半径的圆中,以同心圆为例,容易看出结论. 追问2:同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量有什么关系? 经过思考发现:其余各组量都相等. 设计意图:通过观察,使学生对圆的旋转不变性的认识从感性上升到理性.理解弧、弦、圆心角之间的关系.培养学生的观察发现能力及对概念的理解能力. 典例精讲 例1　已知AB是☉O的直径,==,∠COD=35°,求∠AOE的度数. 解:∵==,∠COD=35° ∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35°. ∴∠AOE=180°-3×35°=75°. 例2　如图,在☉O中,=,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明:∵=,∴AB=AC,△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. 设计意图:通过例题讲解,巩固本节课所学知识,培养学生解决问题的能力,发展应用意识,锻炼实践能力. 巩固训练 1.下列各角中,是圆心角的是(　D　) 2.如图,在☉O中: (1)若∠AOC=∠BOC,BC=5,则AC=　5　;  (2)若AC=BC,∠BOC=70°,则∠AOC=　70°　.  第2题图 第3题图 3.如图,在☉O中,=,∠C=75°,求∠A的度数. 解:∵=, ∴AB=AC,△ABC是等腰三角形. 又∵∠C=75°,∴∠B=∠C=75°. ∴∠A=180°-(∠B+∠C)=30°. 4.如图,在☉O中,弦AC,BD相交于点P,且AB=CD,求证:AC=BD. 解:∵AB=CD,∴= 又∵=+,=+, ∴=.∴AC=BD. 设计意图:进一步巩固本节课的内容,了解学习效果,让学生经历运用知识解决问题的过程,给学生获得成功体验的空间. 课堂小结 设计意图:通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容,使零散的知识系统化,同时培养学生的语言表达能力. 课堂8分钟. 1.教材第85页练习第2题. 2.七彩作业. 24.1.3　弧、弦、圆心角 1.圆的旋转对称性:圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心. 2.圆心角:顶点在圆心的角. 3.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也都分别相等. 在☉O中,若①∠AOB=∠A'OB'(圆心角相等); ②=(弧相等); ③AB=A'B'(弦相等). 则(知一推二) 教学反思   24.1.4　圆周角 第1课时　圆周角定理及其推论 课时目标 1.了解圆周角的概念,发展学生抽象思维能力的核心素养. 2.通过猜想验证理解圆周角的定理,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养. 3.理解圆周角定理的推论,并灵活运用圆周角定理及其推论解决一些实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力. 学习重点 圆周角的概念、圆周角的定理及推论、圆周角的定理的推导及运用它们解题. 学习难点 运用数学分类思想证明圆周角的定理. 课时活动设计 情境引入 足球赛前训练,训练场上的球门前划了一个圆圈如图,两名球员分别在C,D两处,他们争论不休,都说自己的射门位置好.如果你是主教练,仅从射门角度考虑,射门角度越大越好.那么他们谁的射门位置好? 设计意图:足球运动与学生的日常经验紧密相连,有效地唤起了他们对知识的好奇和探索的欲望.为接下来的学习活动奠定了良好的基础.此外,清晰地向学生阐述本节课的学习目标,有助于他们有目的地参与课堂活动,从而提高学习效率和成效. 新知讲解 1.通过两个基本图形的对比,类比圆心角的定义,共同归纳出圆周角的概念. 如图中的∠ACB,它的顶点在圆上,并且两边都与圆相交,我们把这样的角叫做圆周角. 2.概念教学设置了辨析巩固. 如下图,图中哪个角是圆周角. 3.得出口诀: 顶点圆上,两边交圆. 设计意图:对比学习的目的在于加强知识之间的联系,对比学习使得概念理解更加容易,为圆周角定理的学习奠定基础. 新知探究 类比圆心角,探知圆周角. 利用手中圆形纸板,使得圆周角∠BAC的顶点A在优弧BAC上运动,你会发现圆周角∠BAC与圆心O有几种位置关系? ①请你分别在☉O中画出一个圆周角. 要求:体现圆周角和圆心的三种位置关系. ②请你在☉O中分别画出同弧所对的圆心角. 思考:你发现同弧所对的圆周角与圆心角有怎样的大小关系吗? 1.教师引导学生,采用小组合作的学习方式,前后四人一组,分组操作.教师巡视与指导学生活动. 2.学生把发现的结论画在任务书上,体现出圆周角与圆心的三种位置关系. 3.学生进行小组活动的展示,派选3名代表,2名学生展示操作过程,1名学生板演画图过程,让全体学生有一个直观的认识. 4.学生在原有图形基础上,分别画出同弧所对的圆心角. 5.教师引导学生利用度量工具动手实践,进行度量,发现结论. 6.学生按照要求进行画图,测量角度,总结发现的规律. 7.教师再利用几何画板从动态的角度进行演示,拖动一个点来改变弧的大小即改变圆心角的大小,来验证学生发现的结论.让学生观察同弧所对的圆周角与圆心角之间的大小关系. 设计意图:通过实践活动,使学生主动参与到课堂探究的过程.小组合作之后进行活动展示,目的让学生对圆周角与圆心的位置有一个直观的认识,为下面探索圆周角与圆心角的关系埋下伏笔,从而为有效的突破教学难点奠定基础. 验证猜想 已知:在☉O中,弧BC所对的圆周角是∠BAC,所对的圆心角是∠BOC. 求证:∠BAC=∠BOC. 第一种情况:圆心在圆周角一边上; 第二种情况:圆心在圆周角内部; 第三种情况:圆心在圆周角外部. 证明:第一种情况:当圆心在圆周角一边上时,如图1. ∵OA=OC,∴∠A=∠C.又∵∠BOC=∠A+∠C,∴∠A=∠BOC. 第二种情况:当圆心在圆周角内部时,如图2. ∵OA=OB=OC,∴∠BAO=∠ABO,∠OAC=∠OCA. ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAD+2∠OAC=2∠BAC. ∴∠BAC=∠BOC. 第三种情况:当圆心在圆周角外部时,如图3. ∵OA=OC,OA=OB,∴∠OAC=∠OCA,∠OBA=∠OAB. ∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2∠OAC-2∠OAB=2∠BAC. ∴∠BAC=∠BOC. 教师引导学生总结出圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 设计意图:通过师生合作和生生合作,让学生学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想来研究问题.伴随着高涨的学习氛围,由小组代表进行展示反馈,说明思路与想法.引导学生学会发现问题、提出问题、分析问题,并能解决问题.让学生对所发现的结论进行证明,培养学生严谨的治学态度. 巩固训练 1.如图,点A,B,C在☉O上,若∠BAC=24°,则∠BOC=　48°　.  第1题图 第2题图 2.如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B=　40°　.  设计意图:进一步巩固圆周角定理. 为了做到理解定理,知识整合,我们进行了深入的思考: 思考1:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧相等吗?反之,同弧或等弧所对的圆周角相等吗? 思考2:把“在同圆或等圆中”去掉,如果两个圆周角相等,它们所对的弧还相等吗? 思考3:如图,已知AB是☉O的直径,那么∠BCA为多少度? 思考4:90°的圆周角所对的弦是什么? 设计意图:通过以上几个问题的层层深入,考查学生对定理的理解和应用,并将本节课的知识和所学过的内容紧密结合起来,使学生能够很好地进行知识的迁移,加深对本节知识的理解,最终得出圆周角定理的两个推理:(1)同弧或等弧所对的圆周角相等;(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 巩固训练 1.如图,点A,B,C在☉O上,若∠A=60°,则∠BOC的度数为　120°　.  第1题图 第2题图 2.如图,A,B,P是半径为2的☉O上的三点,∠APB=45°,则弦AB的长为　2　.  　　3.△ABC内接于☉O,AC是☉O的直径,∠ACB=50°,点D是BAC上一点,则∠D=　40°　.  第3题图 第4题图 4.如图,在☉O中,∠ACB=50°,点D是☉O上一点,则∠ADB=　50°或130°　.  设计意图:在教学活动中,通过设计一系列问题,我们能够有效地指导学生逐步深入理解和应用数学定理.首先,前三个问题侧重于定理的直接和间接应用,帮助学生巩固和运用新学的概念.其次,第四个问题则旨在加深学生对定理的理解,促使他们不仅仅停留在表面的应用层面,而是能够深入探究其背后的原理.此外,练习题的设计遵循了学生的认知发展规律,从简单到复杂,循序渐进,确保学生能够及时获得反馈,了解自己对知识的掌握情况,从而促进知识的消化吸收.通过这样的教学策略,学生能够更好地理解和运用数学定理,提高解决问题的能力. 1.小结:通过本节课的学习你有哪些收获? 2.课后延伸: 通过本节课的学习我们都知道:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等. 将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗? 设计意图:1.引导学生从知识、方法、数学思想等方面进行总结,优化认知结构,完善知识体系,使得知识方法结构化,充分发挥学生的主体作用. 2.最后作为课后的一个延伸,设计了一个学生容易犯错的问题,即将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”所对的圆周角还相等吗?为了做到对定理的真正理解,加强思维的变式训练,提高分析解决问题的能力,做到触类旁通. 课堂8分钟. 1.教材第88页练习第3题. 2.七彩作业. 第1课时　圆周角定理及其推论 　1.概念:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的两个重要推论: 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 教学反思   第2课时　圆内接四边形 课时目标 1.了解圆内接多边形及多边形的外接圆的定义,发展学生抽象思维能力的核心素养. 2.掌握圆内接多边形的性质的证明方法及应用,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养. 3.通过引导学生动手操作,对图形的观察发现,激发学生的学习兴趣.在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识,培养合作能力,体验学习的快乐. 学习重点 理解圆内接四边形的性质并能熟练运用圆周角定理及推论进行有关的计算和证明. 学习难点 快速识别出一个四边形是否是圆内接四边形并正确应用. 课时活动设计 回顾引入 师:上节课我们学了圆周角相关知识,你们还记得圆周角相关知识吗? 设计意图:教师通过回顾圆周角相关知识,从而引出本节课所学内容. 探究新知 师:如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆. 师:圆内接四边形的四个角之间有什么关系?我们分两个情况加以证明. 生:情况一 证明:∵BD是☉O的直径, ∴∠C=90°,∠A=90°. ∴∠A与∠C互补. ∵四边形内角和为360°, ∴∠ABC与∠ADC互补. 生:情况二 证明:连接OB和OD. ∵∠A所对的弧为,∠C所对的弧为, 又和所对圆心角的和为周角, ∴∠A+∠C=×360°=180°. 同理∠B+∠D=180°. 即圆内接四边形的对角互补. 追问:如果一个四边形的对角线互补,那么它的四个顶点在同一个圆上吗? 设计意图:理解圆内接四边形的概念,通过猜想-探究-证明的过程,掌握圆内接四边形的性质. 巩固训练 1.如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为(　C　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.45° B.50° C.60° D.75° 第1题图 第2题图 2.如图,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,=.若∠C=110°,则∠ABC的度数等于(　A　) A.55° B.60° C.65° D.70° 3.如图,四边形ABCD内接于☉O,∠BOD=140°,求∠BCD的度数. 解:∵∠BOD=140°, ∴∠A=∠BOD=70°. ∵四边形ABCD内接于☉O, ∴∠A+∠BCD=180°. ∴∠BCD=180°-∠A=110°. 扩展应用 为了更加的理解“圆内接四边形对角互补”这一性质,我们进行了深入思考:圆内接四边形的外角和内角之间有什么关系呢? 如图,四边形ABCD内接于☉O,E为CB延长线上一点,猜想∠ABE与∠D的数量关系? 解:∠ABE=∠D. 理由:∵四边形ABCD内接于☉O, ∴∠D+∠ABC=180°. ∵∠ABE+∠ABC=180°, ∴∠ABE=∠D. 即圆内接四边形的外角等于内对角. 追问:如果一个四边形的外角等于它的内对角,那么它是圆内接四边形? 课堂小结 圆周角 设计意图:将本节课所学内容用思维导图形式进行总结归纳,有助于学生理解与记忆. 课堂8分钟. 1.教材第88页练习第5题. 2.七彩作业. 第2课时　圆内接四边形 1.如果一个多边形的所有顶点均在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆. 2.圆内接四边形的性质: (1)对角互补:圆内接四边形的对角互补. (2)外角等于内对角:圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角. 3.圆内接四边形的判定定理: (1)如果一个四边形的对角互补,那么它是圆内接四边形. (2)如果一个四边形的外角等于它的内对角,那么它是圆内接四边形. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单元学习主题 本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“圆”单元. 二、单元学习内容分析 1.课标分析 《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系. 在《标准2022》中,与圆相关的知识点主要包括圆的有关性质、点与圆、直线与圆的位置关系、圆周角与圆心角及其所对弧的关系、三角形的内心和外心、尺规作图、弧长和扇形面积的计算、圆与正多边形的关系.学生需要理解圆的定义,掌握圆的半径、直径、弦、切线等概念,并能够运用这些概念解决实际问题.此外,学生还应该学会如何利用几何工具画圆,了解并证明圆周角定理及其推论,并能够运用这些定理解决与圆有关的几何问题.在计算方面,学生需要掌握弧长和扇形面积的公式,并能够运用这些公式计算具体的数值.最后,学生还应该了解圆与正多边形的关系,并能够运用这些关系解决复杂的几何问题.在教学过程中,教师应注重引导学生通过观察、思考和实践来探索与圆相关的数学知识,培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力. 综上所述,根据《标准2022》,圆的章节要求学生对圆的概念、性质、计算以及几何推理与证明有一定的了解和掌握.同时,学生需要能够应用所学知识解决实际问题,并具备批判性思维和创新能力. 2. 本单元教学内容分析 人教版教材九年级上册第二十四章“圆”,本章包括四个小节:24.1圆的有关性质;24.2点和圆、直线和圆的位置关系;24.3正多边形和圆;24.4弧长和扇形面积. 本章主要围绕“圆”这一核心概念展开,内容包括圆的基本性质、圆周角与圆心角、切线长定理、弧长与扇形面积等.通过这些内容的学习,使学生对圆有一个全面而深入的认识,同时培养学生的空间观念和几何直观. 这一章节的编写意图主要是为了让学生理解圆的基本概念、性质及其在实际问题中的应用.以下是几个关键的编写意图分析:首先,教材旨在让学生理解圆的基本概念,包括圆心、半径、直径、弦、弧、切线等,以及它们之间的相互关系.通过学习,学生应该能够准确地识别和描述这些概念,并理解它们在几何图形中的重要性.其次,教材强调了对圆的各种性质的学习,这些性质不仅有助于学生理解圆的内在规律,也为后续学习其他高级数学概念打下基础.同时,教材也展示了圆在实际问题中的应用,如测量、设计和工程等领域,这有助于学生认识到数学知识的实用价值.通过学习圆的相关知识,教材旨在培养学生的空间想象力,让他们能够在脑海中构建三维图象,理解圆和其他几何形状的空间关系.此外,通过分析和解决问题,学生还能锻炼逻辑思维能力,学会用数学的语言和方法去表达和交流.最后,教材通过提供各种实际案例和问题,激发学生的学习兴趣,使他们主动参与到学习中来.同时,鼓励学生进行创新思维的尝试,比如通过实验和探究来发现新的数学规律,或者将所学知识应用于解决现实世界中的问题.人教版《圆》这一章节的编写意图在于帮助学生全面理解圆的概念和性质,培养他们的空间想象力和逻辑思维能力,同时也激发他们对数学的兴趣和创新思维. 在数学教学中,特别是涉及圆的教学,通常会采用归纳与演绎的方法来教授圆的基本性质.学生通过观察和实验来归纳出圆的性质,然后再通过演绎推理来证明这些性质的正确性.这种方法有助于学生理解数学知识的逻辑结构,并且能够培养他们的数学直觉.在解决圆相关的问题时,分类讨论是一种常用的解题策略.根据问题的具体情况,学生需要对不同的变量进行分类,如圆周角的大小、圆心角的位置等,这样可以帮助学生更清晰地分析问题,找到解决问题的途径.转化思想是解决数学问题的另一种重要方法,尤其在处理圆的问题时,学生需要学会将复杂问题转化为更简单的形式,比如将求弧长的问题转化为求扇形面积的问题.这种转化可以简化问题的求解过程,使问题变得更加易于管理和解决.综上所述,在教学圆的相关知识时,教师应当引导学生掌握归纳与演绎的推理方法,培养分类讨论的解题技巧,以及灵活运用转化思想来处理问题,这样不仅能够提高学生解决数学问题的能力,还能够加深他们对数学知识的理解和应用. 三、单元学情分析 学生们已具备了一定的几何知识基础,包括对直线与角、三角形和四边形的理解,但对于圆的深入性质和计算还不够熟练.他们在空间想象和图形分析方面表现出色,部分学生在解决实际问题时能展现出创造性思维.然而,圆的抽象性质,尤其是圆周角和圆心角的关系,以及弧长和扇形面积的计算,因公式记忆和应用难度而成为学生的学习障碍.几何证明题因逻辑推理的连贯性和严密性要求而让学生感到困扰.鉴于此,教师计划通过实践操作和图形绘制来帮助学生加深对圆的理解,同时引导他们通过小组合作和讨论来锻炼抽象思维能力.针对学生的兴趣点,教师会结合现实生活中的应用题目,设计富有挑战性和创新性的学习活动,以此激发学生的学习热情,帮助他们克服难点,实现知识的有效掌握和能力的提升.考虑到不同区域和班级的学情差异,教师会根据具体情况灵活调整教学策略,确保每个学生都能得到适合自身需求的教育支持.教师在教学过程中应充分考虑学生的实际情况,采用多样化的教学方法和策略,以满足不同学生的学习需求,激发他们的学习兴趣,帮助他们克服学习过程中的困难.同时,教师也应关注学生的身心发展和个性差异,创造有利于所有学生发展的教学环境. 四、单元学习目标 1.经历圆的性质的探索过程,通过观察、实验和证明,体验从具体现象中提炼抽象概念的过程,感悟圆的对称性和美学价值,理解并掌握圆的基本性质,如定义、元素和性质,培养和发展学生的抽象思维能力. 2.在探究圆周角与圆心角的关系中,体验几何图形的构建和性质验证的过程,理解圆周角定理及其推论,掌握圆心角与圆周角之间的定量关系,通过解决实际问题,如计算圆环的面积,提升学生的直观想象能力和空间观念. 3.通过作图和实验活动,探索切线的性质和切线长定理,经历从具体到抽象的思维过程,理解切线的定义,掌握切线与半径垂直这一关键性质,并能在复杂图形中准确识别和应用切线的概念,增强模型的观念和应用意识. 4.经历弧长和扇形面积公式的推导过程,理解公式背后的数学原理,掌握计算技巧,通过解决实际问题,如设计圆形喷泉的装饰方案,培养创新意识. 5.在解决几何问题的过程中,通过逻辑推理和证明题目的训练,提升学生的数学论证能力和问题解决能力,形成严谨的数学思维习惯,为终身学习奠定基础. 五、单元学习内容及学习方法概览 六、单元评价与课后作业建议 本单元课后作业整体设计体现以下原则: 针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况. 层次性原则:教师注意将作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识. 根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业. 学科网（北京）股份有限公司 $$