22.2 二次函数与一元二次方程-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）河北专版

课时目标 1.理解二次函数与一元二次方程之间的联系.掌握二次函数的图象与x轴的三种位置关系.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 2.通过解决实际问题,培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点 理解并掌握二次函数图象与一元二次方程(不等式)之间的联系. 学习难点 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 课时活动设计 知识回顾 根据上节课所学二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质,回答问题,多媒体展示. 　　 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节课的内容学习做铺垫. 探究新知 探究1　二次函数的图象与x轴交点情况 多媒体展示问题:观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗? 教师利用多媒体展示二次函数的图象,学生观察图象,展开讨论,回答问题. 解:(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标分别是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1. (2)抛物线y=x2-6x+9与x轴只有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数的值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根是3. (3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点,由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根. 探究2　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 多媒体展示问题 如何求一元二次方程x2-2x-1=0根的近似值(精确到0.1)? 解:画出函数y=x2-2x-1的图象(如下图),由图象可知,方程有两个实数根,一个在-1与0之间,另一个在2与3之间. 位于-1到0之间的根,由图象可估计这个根是在-0.5左右,利用计算器进行计算,见下表: x … -0.4 -0.5 … y … -0.04 0.25 … 　　观察上表可以发现,当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4. 设计意图:让学生进行合作探究,通过解决问题,了解本节所学内容,培养学生的探究能力. 新知讲解 从上面的探究,我们发现,二次函数与一元二次方程联系紧密.已知二次函数y的值,求自变量x的值.可以看作解一元二次方程.反过来,解一元二次方程,就是已知二次函数y的值,求自变量x的值. 多媒体展示二次函数与一元二次方程的关系. 由探究可知,方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时,对应的方程无实数根.反过来,由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系. 多媒体展示二次函数的图象与x轴交点情况. 若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2-4ac≥0. 由探究容易得出利用二次函数的图象求一元二次方程近似根的基本步骤: 1.画出函数的图象; 2.根据图象确定抛物线与x轴的交点; 3.利用计算器探索交点横坐标,从而确定方程的近似根. 设计意图:知识梳理,让学生了解知识脉落,促进教学目标达成. 典例精讲 例1　根据下列表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是(　C　) x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 　　A.3<x<3.23　　　　　　　B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 例2　已知二次函数y=2x2-3x-4的函数值为1,则自变量x的值为　-1或2.5　,一元二次方程2x2-3x-5=0的解为x1=-1,x2=2.5,则抛物线2x2-3x-5=0与x轴的交点坐标为　(-1,0)和(2.5,0)　.  例3　已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点,则k的取值范围是　k>-1且k≠0　.  设计意图:通过例题讲解,加深学生对新学知识的理解与掌握. 巩固训练 1.二次函数y=x2-3x+2,当x=1时,y=　0　;当y=0时,x=　1或2　.  2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为　(0,-1)　;与x轴的交点坐标为　(0.5,0)和(-0.5,0)　.  3.已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0). (1)求证:此抛物线与x轴总有交点; (2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值. (1)证明:∵m≠0,a=m,b=-(m+2),c-2. ∴Δ=b2-4ac=[-(m+2)]2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2. ∵(m-2)2≥0, ∴Δ≥0,因此抛物线与x轴总有交点. (2)解:令y=0,则(x-1)(mx-2)=0,即x-1=0或mx-2=0,解得x1=1,x2=.当m为正整数1或2时,x2的值为整数,因为当m为2时,Δ=0,抛物线与x轴只有一个交点,所以正整数m的值为1. 4.如图,同学在扔铅球时,铅球沿抛物线y=-+x+运行,其中x(m)是铅球离初始位置的水平距离,y(m)是铅球离地面的高度. (1)当铅球离地面的高度为2.1 m时,它离初始位置的水平距离是多少? (2)铅球离地面的高度能否达到2.5 m,它离初始位置的水平距离是多少? (3)铅球离地面的高度能否达到3 m?为什么? (1)解:由题意,得2.1=-+x+, 即x2-6x+5=0, 解得x1=1,x2=5. 即当铅球离地面的高度为2.1 m时,它离初始位置的水平距离是1 m或5 m. (2)解:由题意,得2.5=-+x+, 即x2-6x+9=0, 解得x1=x2=3. 即当铅球离地面的高度为2.5 m时,它离初始位置的水平距离是3 m. (3)解:由题意,得3=-+x+, 即x2-6x+14=0, 因为Δ=(-6)2-4×1×14=-20<0, 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3 m. 设计意图:体会知识的不同考法.灵活应用所学知识,提高解题能力. 课堂小结 设计意图:帮助学生巩固知识,理清思路. 随堂小测 1.若一元二次方程x2-mx+n=0无实根,则抛物线y=x2-mx+n图象位于(　A　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x轴上方 B.第一、二、三象限 C.x轴下方 D.第二、三、四象限 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根为(　B　) A.x1≈-2.1,x2≈0.1 B.x1≈-2.5,x2≈0.5 C.x1≈-2.9,x2≈0.9 D.x1≈-3,x2≈1 3.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=,那么二次函数y=3x2+x-10图象与x轴的交点坐标是　(-2,0),　.  4.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示,且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,则另一个解x2=　-1　.  5.如图设水管AB高出地面2.5 m,在B处有一自动旋转的喷水头,喷出的水呈抛物线状,水流高度y(m)与水平距离x(m)之间具有函数关系y=-0.5x2+2x+2.5,在如图所示的直角坐标系中,求水流的落地点D到A的距离是多少? 解:根据题意,得-0.5x2+2x+2.5=0,解得x1=5,x2=-1(不符合题意,舍去). 答:水流的落地点D到A的距离是5 m. 设计意图:通过习题进一步对本节所学的知识点进行巩固,当堂训练,当堂检测,查漏补缺. 课堂8分钟. 1.教材第47页习题22.2第1,2,3,4,5题. 2.七彩作业. 教学反思     学科网（北京）股份有限公司 $$