第23章 微探究小专题7 有关旋转的基本模型 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（人教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 人教版 2 第二十三章　旋转 微探究小专题7　 有关旋转的基本模型 模型1　“奔驰”模型 1. 如图所示，等边三角形 ABC 内有一点 O ，已知 OA ＝4， OB ＝3， OC ＝5，求∠ AOB 的度数. 1 2 3 4 解：如图，将△ AOB 绕点 A 逆时针旋转60°，得到△ AMC ，连接 OM . 由旋转的性质可知 MC ＝ OB ， AM ＝ AO . ∵∠ OAM ＝∠ BAC ＝60°， ∴△ AMO 为等边三角形.∴ OM ＝ OA ＝4，∠ OMA ＝60°. 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 又∵ MC ＝ OB ＝3， OC ＝5， ∴在△ COM 中， OM2＋ MC2＝ OC2. ∴∠ OMC ＝90°. ∴∠ AMC ＝∠ OMA ＋∠ OMC ＝60°＋90°＝150°. ∴∠ AOB ＝∠ AMC ＝150°. 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 模型2　费马点模型 2. 问题的提出：如果 P 是锐角三角形 ABC 内一动点，如何确定一个位 置，使点 P 到△ ABC 的三个顶点的距离之和 PA ＋ PB ＋ PC 的值最小？ 想要解决这一问题，可按以下步骤进行证明： (1)问题的转化：把△ APC 绕点 A 逆时针旋转60°得到△AP'C'，连接PP'. 请你利用图1证明： PA ＋ PB ＋ PC ＝ BP ＋PP'＋P'C'； (1)证明：由旋转的性质可得∠PAP'＝60°， PA ＝P'A， PC ＝P'C'， ∴△ APP '是等边三角形.∴ PP '＝ PA . 又∵ PC ＝P'C'，∴ PA ＋ PB ＋ PC ＝ BP ＋PP'＋P'C'. 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 (2)解：由(1)可知，当 B ， P ，P'，C'在同一直线上时， PA ＋ PB ＋ PC 的值最小. ∵∠APP'＝60°，∠ APB ＋∠APP'＝180°， ∴∠ APB ＝120°. ∵∠AP'P＝60°，∠AP'C'＋∠AP'P＝180°， ∴∠AP'C'＝120°. 由旋转的性质，得∠ APC ＝∠AP'C'＝120°. (2)问题的结局：当点 P 到锐角三角形 ABC 的三个顶点的距离之和 PA ＋ PB ＋ PC 的值最小时，求∠ APB 和∠ APC 的度数； 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 (3)问题的延伸：图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2， P 是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点 P 到这个三角形各 顶点的距离之和的最小值. (3)解：在Rt△ ABC 中，∵ AB ＝2，∠ ABC ＝30°， ∴ AC ＝1， BC ＝ . 如图，连接 PA ， PB ， PC ，把△ BPC 绕点 B 逆时针旋转60°得到△BP'C'，连接PP'. 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 由旋转得 BP ＝BP'，∠PBP'＝60°， PC ＝P'C'， ∴△ BPP '是等边三角形.∴ PP '＝ PB . ∴ PA ＋ PB ＋ PC ＝ PA ＋PP'＋P'C'. ∴当点 A ， P ，P'，C'在同一直线上时， PA ＋ PB ＋ PC 的值最小，且 最小值为AC'. ∵∠ ABC ＝∠ ABP ＋∠ CBP ＝∠ ABP ＋∠C'BP'＝30°，　 ∴∠ABC'＝∠ ABP ＋∠PBP'＋∠C'BP'＝90°. ∴由勾股定理得AC'＝ ＝ ＝ . ∴点 P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为 . 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 模型3　手拉手模型 3. 如图，在等腰三角形 AOB 中， OA ＝ OB ，∠ AOB ＝120°，将△ AOB 绕点 O 顺时针旋转得到△ MON ，延长 MA 交 BN 延长线于点 D . 【问题发现】 (1)如图1，当旋转角度为60°时，线段 BD 与 MD 的数量关系是 ⁠ ，∠ MDB ＝ ⁠； BD ＝ DM 　 60°　 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 【解析】当旋转角度为60°时， ∴∠ AOM ＝∠ BON ＝60°.∵∠ AOB ＝120°， ∴∠ AOM ＋∠ AOB ＝180°. ∴点 B ， O ， M 共线. ∵ OA ＝ OM ＝ ON ＝ OB ， ∴△ AOM ，△ BON 都是等边三角形. ∴∠ AMO ＝∠ OBN ＝60°. ∴∠ D ＝180°－2×60°＝60°. ∴△ DBM 是等边三角形. ∴ BD ＝ DM ，∠ MDB ＝60°. 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 【类比探究】 (2)当旋转到如图2所示的位置时，请判断(1)中的结论是否成立，并说明 理由. 解：结论成立. 理由：如图，过点 O 作 OJ ⊥ AM 于点 J ， OK ⊥ BN 于点 K ，连接 OD . ∵∠ AOB ＝∠ MON ＝120°， ∴∠ AOM ＝∠ BON . ∵ OA ＝ OB ＝ OM ＝ ON ， 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 ∴△ AOM ≌△ BON (SAS). ∴ AM ＝ BN . ∵ OJ ⊥ AM ， OK ⊥ BN ， ∴ OJ ＝ OK . ∵ OD ＝ OD ，∠ OJD ＝∠ OKD ＝90°， ∴Rt△ DOJ ≌Rt△ DOK (HL). ∴ DJ ＝ DK . ∵ AJ ＝ JM ， NK ＝ KB ， AM ＝ BN ， 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 ∴ JM ＝ KB . ∴ DM ＝ DB . ∵△ AOM ≌△ BON ， ∴∠ MAO ＝∠ AMO ＝∠ ONB ＝∠ OBN . ∵∠ MAO ＋∠ DAO ＝180°， ∴∠ DAO ＋∠ OBN ＝180°. ∴∠ ADB ＋∠ AOB ＝180°. ∵∠ AOB ＝120°， ∴∠ MDB ＝60°. 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 模型4　半角模型 4. 已知，如图1，四边形 ABCD 是正方形， E ， F 分别在边 BC ， CD 上，且∠ EAF ＝45°，这样的模型称为半角模型.在解决“半角模型”的 问题时，旋转是一种常用的方法. (1)在图1中，连接 EF ，为了证明结论“ EF ＝ BE ＋ DF ”，小亮将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小亮的思 路写出证明过程； 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 (1)证明：由旋转的性质可得 BG ＝ DF ， AG ＝ AF ，∠ BAG ＝∠ DAF ，∠ ABG ＝∠ ADF ＝90°， ∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠ BAD ＝∠ ADF ＝∠ ABC ＝90°. ∴∠ ABC ＋∠ ABG ＝180°. ∴ G ， B ， C 三点在一条直线上.∵∠ EAF ＝45°， ∴∠ BAE ＋∠ DAF ＝45°. ∴∠ BAG ＋∠ BAE ＝∠ GAE ＝45°＝∠ FAE . 在△ AGE 和△ AFE 中， ∴△ AGE ≌△ AFE (SAS).∴ EG ＝ EF . ∵ EG ＝ GB ＋ BE ＝ BE ＋ DF ，∴ EF ＝ BE ＋ DF . 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 (2)如图2，当∠ EAF 绕点 A 旋转到图2位置时，试探究 EF 与 DF ， BE 之间有怎样的数量关系？ (2)解： EF ＝ DF － BE . 理由：如图，把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转90°，使 AB 与 AD 重合，点 E 与点 G 对应， 同(1)可证得△ AEF ≌△ AGF (SAS)， ∴ EF ＝ GF ，且 DG ＝ BE ， ∴ EF ＝ DF － DG ＝ DF － BE . 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 专题进阶小练 1. 如图， P 是正方形 ABCD 内一点，且点 P 到点 A ， B ， C 的距离分别 为2 ， ，4，则正方形 ABCD 的面积为 　14＋4 　. 14＋4 　 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 【解析】如图，将△ ABP 绕点 B 顺时针旋转90°得到△ CBM ，连接 PM ，过点 B 作 BH ⊥ PM 于点 H . ∵ BM ＝ BP ＝ ，∠ PBM ＝90°，　 ∴ PM ＝ PB ＝2. ∵ PC ＝4， CM ＝ PA ＝2 ， 又∵ PC2＝ CM2＋ PM2， ∴∠ PMC ＝90°. ∵∠ BPM ＝∠ BMP ＝45°， 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 ∴∠ CMB ＝∠ APB ＝45°＋90°＝135°， ∴∠ APB ＋∠ BPM ＝135°＋45°＝180°. ∴点 A ， P ， M 共线. ∵ BH ⊥ PM ， ∴ PH ＝ HM . ∴ BH ＝ PH ＝ HM ＝1. ∴ AH ＝2 ＋1. ∴ AB2＝ AH2＋ BH2＝(2 ＋1)2＋12＝14＋4 . ∴正方形 ABCD 的面积为14＋4 . 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 2. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△ ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD (不含点 B )上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转60°得到 BN ，连接 EN ， AM ， CM . (1)证明：△ ABM ≌△ EBN ； (1)证明：∵△ ABE 是等边三角形， ∴ BA ＝ BE ，∠ ABE ＝60°.∵∠ MBN ＝60°， ∴∠ ABE －∠ ABN ＝∠ MBN －∠ ABN ， 即∠ NBE ＝∠ MBA . 又∵ MB ＝ NB ，∴△ ABM ≌△ EBN (SAS). 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 (2)当点 M 在何处时， AM ＋ BM ＋ CM 的值最小？请说明理由. (2)解：如图，连接 CE ， MN ，当点 M 位于 BD 与 CE 的交点时， AM ＋ BM ＋ CM 的值最小. 理由：由(1)可知△ ABM ≌△ EBN ，∴ AM ＝ EN . ∵∠ MBN ＝60°， MB ＝ NB ， ∴△ MBN 是等边三角形.∴ BM ＝ MN . ∴ AM ＋ BM ＋ CM ＝ EN ＋ MN ＋ CM . 根据两点之间，线段最短，可得 EN ＋ MN ＋ CM ＝ EC 时最短. ∴当点 M 位于 BD 与 CE 的交点时， AM ＋ BM ＋ CM 的值最小，最小值 为 EC 的长. 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 3. 如图1， E ， G 分别是边长为6的菱形 ABCD 边 AB ， AD 上的点，且 AE ＝ AG ，以 AE ， AG 为邻边作菱形 AEFG . 将菱形 AEFG 绕点 A 逆时 针旋转一定角度得到图2，连接 BE ， DG . (1)求证： BE ＝ DG ； (1)证明：依题意可知 AE ＝ AG ， AB ＝ AD ，∠ BAD ＝∠ EAG ，　 ∴∠ BAE ＝∠ DAG . ∴△ ABE ≌△ ADG (SAS).∴ BE ＝ DG . 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 (2)若 AG ＝ DG ＝2 ，求△ ABE 的面积. (2)解：如图，过 G 作 GM ⊥ AD 于点 M ， ∵ AG ＝ DG ＝2 ，菱形 ABCD 边长为6， 即 AD ＝6，∴ AM ＝3. ∴ MG ＝ ＝ . ∴ S△ ADG ＝ × AD × MG ＝ ×6× ＝3 . 根据(1)可知△ ABE 的面积等于△ ADG 的面积， ∴△ ABE 的面积为3 . 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 4. 如图，△ ABC 是正三角形，△ BDC 是等腰三角形， BD ＝ CD ，∠ BDC ＝120°，以 D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交 AB ， AC 边于 M ， N 两点，连接 MN . (1)探究 BM ， MN ， NC 之间的关系，并说明理由. 解：(1) MN ＝ BM ＋ NC . 理由：如图所示，延长 AC 至点 E ，使得 CE ＝ BM ，连接 DE . 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 ∵△ BDC 为等腰三角形，△ ABC 为等边三角形，∠ BDC ＝120°， ∴ BD ＝ CD ，∠ MBC ＝∠ ACB ＝60°， ∴∠ DBC ＝∠ DCB ＝30°， ∴∠ ABC ＋∠ DBC ＝∠ ACB ＋∠ DCB ＝60°＋30°＝90°. ∴∠ MBD ＝∠ ECD ＝90°. 在△ MBD 和△ ECD 中， 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 ∴△ MBD ≌△ ECD (SAS). ∴ MD ＝ DE ，∠ BDM ＝∠ CDE ， BM ＝ CE . 又∵∠ BDC ＝120°，∠ MDN ＝60°， ∴∠ BDM ＋∠ NDC ＝∠ BDC －∠ MDN ＝60°. ∴∠ CDE ＋∠ NDC ＝60°，即∠ NDE ＝60°. 在△ DMN 和△ DEN 中， 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 ∴△ DMN ≌△ DEN (SAS). ∴ MN ＝ EN . 又∵ NE ＝ CE ＋ NC ， BM ＝ CE ， ∴ MN ＝ BM ＋ NC . 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 (2)若△ ABC 的边长为2，求△ AMN 的周长. 解：(2)∵△ ABC 为等边三角形， ∴ AB ＝ BC ＝ AC ＝2. 由(1)可知 MN ＝ BM ＋ NC ， ∴△ AMN 的周长为 AM ＋ MN ＋ AN ＝ AM ＋ BM ＋ NC ＋ AN ＝( AM ＋ BM )＋( NC ＋ AN )＝ AB ＋ AC ＝2＋2＝4. ∴△ AMN 的周长为4. 1 2 3 4 微探究小专题7　有关旋转的基本模型 $$