21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（人教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 人教版 2 第二十一章　一元二次方程 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 利用根与系数的关系求两根之和或两根之积 1. 【教材第17页习题21.2第7题改编】已知 x1和 x2是一元二次方程 x2－3 x ＋2＝10的两个根，则 x1＋ x2的值为(　B　) A. 2 B. 3 C. －3 D. －2 2. 若一元二次方程 x2－2 x ＝0的两根分别为 x1和 x2，则 x1 x2等于(　D　) A. －2 B. 1 C. 2 D. 0 B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 3. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积. (1)2 x2－3 x ＝5； 解：方程化为2 x2－3 x －5＝0.∴ x1＋ x2＝－ ＝ ， x1 ＝－ . (2)2 x2＋3＝7 x2＋ x . 解：方程化为5 x2＋ x －3＝0.∴ x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值 4. 已知 x1， x2是一元二次方程 x2＋2 x － k －1＝0的两根，且 x1 x2＝－3，则 k 的值为(　B　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 x1 x2＝ ＝－ k －1＝－3，可得 k ＝2. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 5. 已知 x1， x2是关于 x 的方程 x2＋ bx －3＝0的两个根，且满足 x1＋ x2－ 3 x1 x2＝5，那么 b 的值为(　A　) A. 4 B. －4 C. 3 D. －3 【解析】由 x1 x2＝－3可得 x1＋ x2＋9＝5，则 x1＋ x2＝－4，∴ b ＝4. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 6. 下列一元二次方程是以2＋ 和2－ 为根的是(　D　) A. x2＋4 x －2＝0 B. x2－4 x －2＝0 C. x2＋4 x ＋2＝0 D. x2－4 x ＋2＝0 【解析】由题可得方程的 x1 x2＝2， x1＋ x2＝4，只有方程 x2－4 x ＋2＝0 符合. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 利用根与系数的关系求相关代数式的值 7. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－3 x －2＝0的两实数根分别为 x1， x2， 则 x1 x2＋ x1＋ x2的值为(　B　) A. －1 B. 1 C. 5 D. －5 【解析】由方程可得 x1 x2＝－2， x1＋ x2＝3， ∴ x1 x2＋ x1＋ x2＝－2＋3＝1. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 8. 若一元二次方程 x2－ x －2＝0的两根分别为 x1， x2，则(1＋ x1)＋ x2(1 － x1)的值是 ⁠. 【解析】(1＋ x1)＋ x2(1－ x1)＝1＋ x1＋ x2－ x1 x2＝1＋1＋2＝4. 9. 若 m ， n 是方程 x2－ x －101＝0的两个实数根，则 m2＋ m ＋2 n 的值 为 . 【解析】把 x ＝ m 代入方程得 m2－ m －101＝0， m2－ m ＝101，则 m2＋ m ＋2 n ＝ m2－ m ＋2 m ＋2 n ＝ m2－ m ＋2( m ＋ n )＝101＋2×1＝103. 4　 103　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 10. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ ax －6＝0的两个根是2， b ，则代数 式(2 a ＋ b )2 023的值为 ⁠. 【解析】由题可得 x1 x2＝2 b ＝－6，∴ b ＝－3，两根和 x1＋ x2＝－3＋2 ＝－1，∴ a ＝1，因此(2 a ＋ b )2 023＝(2－3)2 023＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 11. 在解关于 x 的一元二次方程 x2＋ px ＋ q ＝0时，小红看错了常数项 q ，得到方程的两个根是－3，1.小明看错了一次项系数 p ，得到方程的两个根是5，－4，则原来的方程是(　B　) A. x2＋2 x －3＝0 B. x2＋2 x －20＝0 C. x2－2 x －20＝0 D. x2－2 x －3＝0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 12. 若一元二次方程 x2－7 x ＋5＝0的两个实数根分别是 a ， b ，则一次 函数 y ＝ abx ＋ a ＋ b 的图象一定不．经．过．(　D　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析】 a ＋ b ＝7， ab ＝5，则一次函数为 y ＝5 x ＋7，此函数图象经 过第一、二、三象限，不过第四象限. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 13. 已知实数 a ， b 满足 ＋｜ b ＋3｜＝0，若关于 x 的一元二次方 程 x2－ ax ＋ b ＝0的两个实数根分别为 x1， x2，则 ＋ ＝ 　－ 　. 【解析】实数 a ， b 满足 ＋｜ b ＋3｜＝0，可得 a －2＝0和 b ＋3 ＝0，则 a ＝2， b ＝－3，则方程为 x2－2 x －3＝0，∴ ＋ ＝ ＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 14. 若关于 x 的方程 x2＋( a －1) x ＋ a2＝0的两个根互为倒数，求 a 的值. 解：∵方程的两根互为倒数，∴两根的积为1. 由根与系数的关系，得 a2＝1. 解得 a ＝±1. 当 a ＝1时，原方程化为 x2＋1＝0.∵Δ＝ b2－4 ac ＝0－4＝－4＜0，∴此 方程没有实数根，不符合题意，舍去.当 a ＝－1时，原方程化为 x2－2 x ＋1＝0.∵Δ＝ b2－4 ac ＝(－2)2－4×1＝0. ∴此方程有实数根. ∴ a ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 若关于 x 的一元二次方程 x2－(2 m ＋3) x ＋ m2＝0有两个不相等的 实数根 x1， x2，且 x1＋ x2＝ x1 x2，则 m 的值是(　B　) A. －1 B. 3 C. 3或－1 D. －3或1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 15. 已知关于 x 的方程 x2－( k ＋2) x ＋2 k ＝0. (1)求证：无论 k 为何值，方程总有两个实数根； 证明：∵Δ＝[－( k ＋2)]2－4×2 k ＝ k2－4 k ＋4＝( k －2)2≥0， ∴无论 k 为何值，该方程总有两个实数根. (2)求证：无论 k 为何值，方程总有一个定根； 证明：∵ x2－( k ＋2) x ＋2 k ＝0， ∴( x － k )( x －2)＝0. ∴ x1＝ k ， x2＝2. ∴无论 k 为何值，方程总有一个定根为 x ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 (3)若等腰三角形 ABC 的一边长 a ＝3，另两边长 b ， c 恰好是这个方程 的两个根，则△ ABC 的周长是多少？ 解：①当 b ＝ c 时，则Δ＝0，即( k －2)2＝0， ∴ k ＝2. 则方程可化为 x2－4 x ＋4＝0， ∴ x1＝ x2＝2，即 b ＝ c ＝2. ∴△ ABC 的周长＝ a ＋ b ＋ c ＝3＋2＋2＝7； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 ②当 b ＝ a ＝3时，∵ x2－( k ＋2) x ＋2 k ＝0， 由(2)知 x1＝ k ， x2＝2. ∵另两边长 b ， c 恰好是这个方程的两个根， ∴ k ＝ b ＝3， c ＝2. ∴△ ABC 的周长＝ a ＋ b ＋ c ＝3＋3＋2＝8. 综上所述，△ ABC 的周长为7或8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 16. 有理数 a ， b ， c 对应的点在数轴上的位置如图所示，则下 列关于方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的根的说法正确的是(　C　) A. 两根都是正数 B. 两根都是负数 C. 两根一正一负，正根绝对值较大 D. 两根一正一负，负根绝对值较大 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】由 x1＋ x2＝－ ＞0， x1 x2＝ ＜0可得两个根为异号且正根的 绝对值大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 17. 已知实数 a ， b 分别满足 a2－6 a ＋4＝0， b2－6 b ＋4＝0， 则 ＋ 的值是多少？ 解：∵实数 a ， b 分别满足 a2－6 a ＋4＝0， b2－6 b ＋4＝0，当 a ＝ b 时， ＋ ＝2； 当 a ≠ b 时，实数 a ， b 可看作方程 x2－6 x ＋4＝0的两根， ∴ a ＋ b ＝6， ab ＝4. ∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝7. 综上所述， ＋ 的值是2或7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 素养达标 能力突破 基础通关 $$