21.2.2 公式法 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（人教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 人教版 2 第二十一章　一元二次方程 21.2.2　公式法 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 1. 一元二次方程 x2－4 x ＋4＝0的根的情况是(　B　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【解析】∵Δ＝ b2－4 ac ＝16－16＝0，∴方程有两个相等的实数根. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 2. 下列一元二次方程无实数根的是(　C　) A. x2＋ x －1＝0 B. x2＋8 x ＝0 C. x2＋ x ＋3＝0 D. x2－2 x ＋1＝0 【解析】A. Δ＝ b2－4 ac ＝1＋4＝5＞0，因此方程有两个不相等的实数 根，故A选项不符合题意；B. Δ＝ b2－4 ac ＝64＞0，因此方程有两个不 相等的实数根，故B选项不符合题意；C. Δ＝ b2－4 ac ＝1－12＝－11＜ 0，因此方程无实数根，故C选项符合题意；D. Δ＝ b2－4 ac ＝4－4＝0，因此方程有两个相等的实数根，故D选项不符合题意. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 3. 一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)的根的情况可由根的判别式Δ＝ b2－4 ac 来判断： 当Δ＝ b2－4 ac ＞0时，方程有 的实数根； 当Δ＝ b2－4 ac ＝0时，方程有 的实数根； 当Δ＝ b2－4 ac ＜0时，方程 实数根. 4. 一元二次方程 x2－3 x －2＝0的根的判别式的值为(　C　) A. －1 B. 1 C. 17 D. －17 【解析】Δ＝ b2－4 ac ＝(－3)2－4×1×(－2)＝9＋8＝17. 两个不相等　 两个相等　 无　 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 利用根的判别式确定字母的值 5. 若关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋ c ＝0有两个相等的实数根，则 c 的 值是(　C　) A. －9 B. 9 C. D. － 【解析】∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝ b2－4 ac ＝0，即9－4 c ＝0，∴ c ＝ . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 6. 若关于 x 的方程 x2＋2 x ＋ a ＝0不存在实数根，则 a 的取值范围是 ⁠ ⁠. 【解析】∵方程无实数根，∴Δ＝ b2－4 ac ＜0，即4－4 a ＜0， 解得 a ＞1. a ＞1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 用公式法解一元二次方程 7. 小颖解一元二次方程3 x2□ x －1＝0时，一次项系数印刷不清楚，查看 答案为 x ＝ ，则□代表的数为(　B　) A. 6 B. －6 C. 3 D. 48 【解析】方程3 x2□ x －1＝0中，Δ＝ b2－4 ac ＝ b2＋12，利用公式解方程 可得两根为 x ＝ ，∴ b 为－6. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 8. 将方程3 x2＝5 x ＋2化为一般形式后，判别式的值为 ⁠. 【解析】方程化成一般形式为3 x2－5 x －2＝0，可得Δ＝ b2－4 ac ＝49. 49　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 9. 用公式法解下列方程： (1) x2＋3 x －2＝0； 解：∵ a ＝1， b ＝3， c ＝－2， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝32－4×1×(－2)＝17＞0. ∴ x ＝ ＝ . ∴ x1＝ ， x2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 (2) x2－2 x ＝1； 解：将方程整理，得 x2－2 x －1＝0， ∵ a ＝1， b ＝－2， c ＝－1， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0. ∴ x ＝ ＝ ＝1± . ∴ x1＝1＋ ， x2＝1－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 (3)2 x2－3 x ＋1＝0； 解：∵ a ＝2， b ＝－3， c ＝1， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0. ∴ x ＝ ＝ . ∴ x1＝ ， x2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 解：将方程整理，得 x2－3 x －3＝0. ∵ a ＝ ， b ＝－3， c ＝－3， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－3)2－4× ×(－3)＝15＞0. ∴ x ＝ ＝ ＝3± . ∴ x1＝3＋ ， x2＝3－ . (4) x2－3＝3 x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 10. (2023·石家庄二模)嘉嘉在解方程－2 x2＋3 x ＝8－ x 时，经过一系列 的计算后得到 x1＝ ， x2＝－ ，淇淇看了一眼嘉嘉的答案，说：“你 这一看就不对，这个方程只有一个解.”请你根据以上叙述，判断下列 结论正确的是(　C　) C A. 嘉嘉的解是正确的，因为他认真计算了 B. 淇淇说得对，因为 b2－4 ac ＝0 C. 嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为 b2－4 ac ＜0，该方程无解 D. 由 b2－4 ac ＞0可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错误的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】方程化成一般形式为 x2－2 x ＋4＝0， b2－4 ac ＝4－16＝－12＜0，因此方程无实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 11. 若一元二次方程 x2－2 x － a ＝0没有实数根，则一次函数 y ＝ ax ＋ a －2的图象不经过(　A　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析】∵方程无实数根，∴ b2－4 ac ＜0，即4＋4 a ＜0，解得 a ＜－1.∴一次函数中的 a 和 a －2都小于0，可得一次函数的图象不经过第一象限. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 12. 若关于 x 的一元二次方程( k －1) x2＋ x ＋1＝0有两个实数 根，则 k 的取值范围 是(　D　) A. k ≤ B. k ＞ C. k ＜ 且 k ≠1 D. k ≤ 且 k ≠1 【解析】∵关于 x 的一元二次方程( k －1) x2＋ x ＋1＝0有两个实数根， ∴解得 k ≤ 且 k ≠1. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 易错警示 　　不要忽略隐含条件 k －1≠0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 13. 【教材第17页习题21.2第5题改编】用公式法解下列方程： (1) x2＋2 x ＋2＝0； 解：∵ a ＝1， b ＝2 ， c ＝2， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(2 )2－4×1×2＝4＞0. x ＝ ＝ ＝－ ±1. ∴ x1＝－ ＋1， x2＝－ －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 (2)4 x2＋4 x －1＝－10－8 x ； 解：整理成一般形式为4 x2＋12 x ＋9＝0. ∵ a ＝4， b ＝12， c ＝9， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝122－4×4×9＝0. ∴ x1＝ x2＝ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 (3)3 x ( x ＋3)＝2 x2＋2. 解：整理成一般形式为 x2＋9 x －2＝0. ∴ a ＝1， b ＝9， c ＝－2， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝92－4×1×(－2)＝89＞0. ∴ x ＝ ＝ . ∴ x1＝ ， x2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 14. 定义：如果一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ， b ， c 为常 数，且 a ≠0)满足 a － b ＋ c ＝0，那么我们称这个方程为“负一”方程，已知方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ， b ， c 为常数，且 a ≠0)是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中错误的是(　D　) A. a ＝ c B. b ＝2 c C. b ＝2 a D. a ＝ b ＝ c 【解析】由 a － b ＋ c ＝0可得 b ＝ a ＋ c .∵方程有两个相等的实数根，∴ b2－4 ac ＝0.∴ b2－4 ac ＝( a ＋ c )2－4 ac ＝( a － c )2＝0.∴ a ＝ c .∴ b ＝2 a ＝2 c . D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 15. 解方程3( x －2)2＋7( x －2)＋4＝0. 解：设 x －2＝ y ，则原方程化为3 y2＋7 y ＋4＝0. ∵ a ＝3， b ＝7， c ＝4， ∴ b2－4 ac ＝72－4×3×4＝1. ∴ y ＝ ＝ . ∴ y1＝－1， y2＝－ . 当 y ＝－1时， x －2＝－1，∴ x ＝1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 当 y ＝－ 时， x －2＝－ ，∴ x ＝ . ∴原方程的解为 x1＝1， x2＝ . 请仿照上面的解题方式，解一元二次方程2( x －3)2－5( x －3)－7＝0 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 解：2( x －3)2－5( x －3)－7＝0， 设 x －3＝ y ，则原方程化为2 y2－5 y －7＝0， ∵ a ＝2， b ＝－5， c ＝－7， ∴ b2－4 ac ＝(－5)2－4×2×(－7)＝81. y ＝ ，∴ y1＝ ， y2＝－1. 当 y ＝ 时， x －3＝ ，解得 x ＝ ； 当 y ＝－1时， x －3＝－1， 解得 x ＝2； 所以原方程的解为 x1＝ ， x2＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21.2.2　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 $$