23.1.1 旋转的定义及性质 -【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）河北专版

九年级上册 数学 人教版 2024 1 第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 第1课时 旋转的定义及性质 单元内容结构图 1.通过引入具体实例，让学生在发现、探索的过程中完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，发展学生直观想象能力，分析、归纳，抽象概括的思维能力。 2.通过探索图形旋转基本性质的探究，培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识，进一步发展空间观念的核心素养。 3.通过让学生从事实验探究、知识应用等数学活动，进一步体会旋转的内涵，增强学生的数学应用意识，调动学生学习数学的主动性。 学习目标 学习重点：图形旋转的性质 学习难点：旋转概念的形成过程及性质的探究过程 学习重难点 导入新课 (1)以上现象有什么共同特点? (2)钟表的指针、电扇的风叶在转动过程中，其 形状、大小、位置是否发生变化呢？ 导入新课 B O A 45° 【观察】观察下列图形的运动，它有什么特点？ 知识点 1 旋转的概念 探究新知 钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时针转动了______度. 120° 把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度. 【思考】怎样来定义这种图形变换？ 探究新知 风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置. 怎样来定义这种图形变换？ 把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度. 探究新知 这个定点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角. 把一个平面图形绕着平面内某一个定点O转动一个角度，叫做图形的旋转. 旋转的概念 探究新知 旋转角 旋转中心 A O B P P’ 如果图形上的点P经过旋转变为点P’，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 线段OP与OP’叫做对应线段. 探究新知 12 B O A 45 0 点A绕＿＿点， 往＿＿＿＿方向， 转动了＿度到点B． Ｏ 顺时针 45 探究新知 旋转的三要素: 旋转中心、 旋转方向、 旋转角度. 探究新知 例1 如图,△ABC为等边三角形,点P在△ABC中,将△ABP旋转后能与△CBQ重合. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转角是多少度? (3)△BPQ是什么三角形? 旋转的相关概念识别 素养考点 1 典例精讲 分析： (1)根据对应点到旋转中心的距离相等来确定旋转中心的位置.(2)对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角.(3)由旋转角和对应边的关系可以得到答案. 典例精讲 解：(1)旋转中心是点B. (2)因为△ABC为等边三角形, 当边AB旋转到边BC的位置时,正好转过了60°, 所以旋转角的度数是60°. (3)BP=BQ,而旋转角又等于60°,所以∠PBQ=60°,这样△BPQ就是一个等边三角形. 典例精讲 17 【想一想】图形在旋转时,旋转的方向有几种? 提示:有两种情况，分别为逆时针方向旋转和顺时针方向旋转. 探究新知 若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋转角等于____度，其中的对应点有_______、 _______、 _______、 _______、 _______、 _______ . O A C D E F O ∠AOB 60 F与A A与B B与C C与D D与E E与F B 填一填. 巩固练习 旋转中心 旋转角 旋转方向 必须明确 确定平面图形旋转时, 旋转的判定 温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换同样属于全等变换. 探究新知 A．30° B．45° C．90° D．135° 例2 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(　　) C 旋转角度的计算 素养考点 2 典例精讲 解析: 对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角为90°. 典例精讲 如右图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕B点顺时针方向旋转到△CBP′的位置时，其旋转中心是点 ，旋转角度为 . B 90° 巩固练习 绕点C逆时针旋转45°. △ABC是如何运动到△A′B′C的位置？ 知识点 2 旋转的性质 A B B′ A′ C ． M′ M ． ． ． ． 45° 探究新知 旋转中心是点__________； 图中对应点 _______________________________________; 图中对应线段有_____________________________________. 每对对应线段的长度 . 图中旋转角等于________. C 点A与点A′,点B与点B′,点M与点M′,点N与点N′ 线段CA与CA′、CB与CB′、AB与A′B′ 45° 相等 根据上图填空. 探究新知 B' A' C' A B C O 线： AO=A'O ，BO=B'O ，CO=C'O 角：∠AOA'=∠BOB' =∠COC' 观察下图，你能得到什么结论？ 1.对应点到旋转中心的距离相等.（OD=OA，OE=OB，OF=OC） 2.两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.（∠DOA=∠EOB=∠FOC） 3.旋转中心是唯一不动的点. （旋转中心O） 4.旋转不改变图形的形状和大小. 旋转的性质 D E A B F C O 探究新知 例3 如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度． 135 旋转性质的应用 素养考点 3 典例精讲 解析：连接EE′， 由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°， ∴∠BE'E=45°， 在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3， EE′= EE′= 由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°， ∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°. 典例精讲 29 如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F． 求证：△BCF≌△BA1D. 巩固练习 分析：根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A1=∠A=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D. 巩固练习 证明：∵△ABC是等腰三角形， ∴AB=BC，∠A=∠C， 由旋转的性质，可得 A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1， 在△BCF与△BA1D中， △BCF≌△BA1D（ASA）. 巩固练习 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）当AD=BF时，求∠BEF的度数． 链接中考 解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB， ∠BCE=∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD与△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）. AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE 链接中考 解：（2）∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=45°， 由（1）可知∠A=∠CBE=45°， ∵AD=BF， ∴BE=BF， ∴∠BEF=67.5°. （2）当AD=BF时，求∠BEF的度数． 链接中考 1.下列现象中属于旋转的有( )个 ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动. A.2 B.3 C.4 D.5 C 基础巩固题 当堂训练 2. 下列说法正确的是( ) A.旋转改变图形的形状和大小 B.平移改变图形的位置 C. 图形可以向某方向旋转一定距离 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到 B 当堂训练 A B C D E 3.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得Rt △ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC= , ∠B=60 °，则CD的长为（ ） 0.5 B. 1.5 C. D. 1 D 当堂训练 38 4. △A ′ OB ′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.已知∠AOB=20 °, ∠ A ′ OB =24°， AB=3,OA=5,则A ′ B ′ = ,OA ′ = , 旋转角等于 . 3 5 44 ° 当堂训练 5.△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE， 若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（ 　） A. DE=3 B. AE=4 C. ∠CAB是旋转角 D. ∠CAE是旋转角 D 当堂训练 1. 如图（1）中，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠D都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与△ADE重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着A点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（ ） A.45°，90° B.90°，45° C.60°，30° D.30°，60° A 能力提升题 当堂训练 2. 如图，△ADE可由△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，在平面直角坐标系中，三点坐标为A（1,0）、B（3,0）、C（1,4）.请找出旋转中心P的位置，并写出P的坐标. A B O C D E x y 当堂训练 解：根据旋转中心到对应点距离相等可以知道，旋转中心P既在线段AD的垂直平分线上，又在线段BE的垂直平分线上，它们的交点就是点P. A B O C D E x y P（3,2） P 当堂训练 3.如图所示，AB是长为4的线段，且CD⊥AB于O.你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法. 当堂训练 旋转到同一个象限，构成四分之一个圆. 解：把所有的阴影部分通过旋转都转移到同一个BC所在的圆中，则有大圆的半径OC=2. 因此：S阴影=π×22=π. 当堂训练 将一个直角三角板绕30°角的顶点顺时针旋转，使一直角边与原斜边在同一条直线上(如图所示).你知道旋转角是多少吗？连结BB ′ ，△ABB ′有什么特征吗？ 150° △ABB′是等腰三角形 拓广探索题 当堂训练 旋转 定义 三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度 性质 旋转前后的图形全等； 对应点到旋转中心的距离相等; 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 课堂总结 1.课本P62 习题23.1第2题，第10题； 2.完成《素养达标.分层训练》第23章 第1节 第1课时； 3.思考：旋转还要研究哪些内容？怎样研究？ 课后作业 $$