22.3 实际问题与二次函数（第1课时）-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 人教版 1 七彩城就梦想 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 （第1课时） 2.会应用二次函数的性质解决实际问题. 1. 掌握几何问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求图形面积的最值. 学习目标 　 排球运动员从地面竖直向上抛出排球，排球的高度 h（单位：m）与排球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 20t - 5t 2 （0≤t≤4）．排球的运动时间是多少时，排球最高？排球运动中的最大高度是多少？ 0 h t 4 【思考】 导入新课 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 二次函数与几何图形面积的最值 知识点 1 探究新知 t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t - 5t 2 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. 探究新知 6 七彩城就梦想 2.公式法：由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 【想一想】 如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 1. 配方法：将 y = ax 2 + bx + c化为y=a(x-h)2+k的形式 探究新知 7 七彩城就梦想 小球运动的时间是 3s 时，小球最高; 小球运动中的最大高度是 45 m． t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t - 5t 2 解： 公式法 探究新知 8 七彩城就梦想 例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 素养考点1 利用二次函数求几何图形的面积的最值 素养考点 典例精讲 l S 解： 场地的面积 S=l (30-l)， 即S= -l2+30l (0<l<30). 即当 l 是15m时，场地的面积 S 最大. 矩形场地的周长是60m,一边长为 l m, 所以另一边长为 m. 因此，当 时， S有最大值 探究新知 方法点拨 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 探究新知 变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60-2x 问题1 变式1与例题有什么不同？ 探究新知 12 七彩城就梦想 问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 设垂直于墙的边长为x米. 探究新知 问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？ 问题5 如何求最值？ 最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2. 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 探究新知 变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x 探究新知 问题1 变式2与变式1有什么异同？ 问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ 问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示 另一边与面积？ 答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则 探究新知 16 七彩城就梦想 问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？ 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18. 问题6 如何求最值？ 由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378. 不正确. 探究新知 17 七彩城就梦想 方法点拨 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值. 探究新知 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？ 巩固练习 解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x, ∴ 另一边长为8-x. 则该直角三角形面积： 即： 当 S有最大值 ＝ ∴当 时，直角三角形面积最大，最大值为8. S=（8-x）x÷2, x= =4,另一边为4时, 8, 两直角边都是4 巩固练习 1. 用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________. 基础巩固题 当堂训练 21 七彩城就梦想 2.如图1，在△ABC中， ∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小. 3 A B C P Q 图1 当堂训练 能力提升题 1. 如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？ 当堂训练 解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面 积为y，则DG=1-x. 即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小. 当x= 时，y有最小值 . ∴ 当堂训练 2. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围. 当堂训练 解： 即 当堂训练 (2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ 解： ∵0＜x＜25， ∴当x=20时，满足条件的绿化带面积ymax=200. 当堂训练 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； 解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6. 拓广探索题 当堂训练 28 七彩城就梦想 (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000（元）. (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 解： 当堂训练 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； 链接中考 解：设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45. 当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45时，100﹣2x=10. 答：AD的长为10m； 链接中考 解：设AD=xm， ∴S= x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250， 当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250； 当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大； 当x=a时，S的最大值为50a﹣ a2， 综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250； 当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣ a2． （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 链接中考 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 课堂总结 1.从课后习题中选取. 2.七彩作业. 课后作业 $$