22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第1课时）-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 人教版 1 七彩城就梦想 第二十二章 二次函数 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质（第1课时） 3. 能说出抛物线y=ax²+k的开口方向、对称轴、 顶点. 1. 会画二次函数y=ax2+k的图象. 2. 理解抛物线y=ax²与抛物线 y=ax²+k之间的联系. 学习目标 这个函数的图象是如何画出来呢？ x y y=﹣ 导入新课 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2 ,y=2x2+1, y=2x2-1的图象. 二次函数y=ax2+k图象的画法 知识点 1 探究新知 解：列表： x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y=2x2 ··· ··· y=2x2+1 ··· ··· y=2x2 -1 ··· ··· 探究新知 6 6 七彩城就梦想 y x -3 -2 -1 o 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 问题1：观察图象，比较三个函数图象有何异同？ 1.相同点： ① 均为抛物线 ②开口向上，且大小相同 ③对称轴都是y轴； ④在对称轴左侧(x<0)y随x增大而减小 在对称轴右侧(x>0)y随x增大而增大 2.不同点： 顶点位置不同，函数最小值不同 描点、连线，画出三个函数的图象. 问题2：抛物线y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点是什么？ 观察图得： 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 ( 0,1 ) ( 0,-1 ) y 轴 y 轴 向上 ( 0,0 ) y 轴 y x -3 -2 -1 o 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 我们发现二次函数解析式中的常数项就是顶点坐标的纵坐标 y=2x2+0 y=2x2-1 y=2x2+1 七彩城就梦想 在同一坐标系内画出二次函数 y=-x2， y=-x2-2，y=-x2+2的图象. 问题3：观察图象，比较三个函数图象有何异同？ 1.相同点： ① 均为抛物线 ②开口向下，且大小相同 ③对称轴都是y轴； ④在对称轴左侧(x<0)y随x增大而增大 在对称轴右侧(x>0)y随x减小而减小 2.不同点： 顶点位置不同，函数最大值不同 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 七彩城就梦想 问题4：抛物线 y=-x2，y=-x2-2，y=-x2+2的开口方向、 对称轴和顶点是什么？ 观察图得： y=-x2+0 y=-x2-2 y=-x2+2 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向下 向下 ( 0,-2 ) ( 0,2 ) y 轴 y 轴 向下 ( 0,0 ) y 轴 我们发现二次函数解析式中的常数项也是顶点坐标的纵坐标 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 七彩城就梦想 y -2 -2 4 2 2 -4 x 0 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 探究新知 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 ; (2)三条抛物线的开口方向_______; (3)对称轴都是__________; (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________; 抛物线 向下 直线x=0 ( 0,0) ( 0，2) ( 0,-2) 探究新知 (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑_____; (6) 函数的增减性都相同： __________________________ __________________________ 高 大 y=0 y= -2 y=2 对称轴左侧y随x增大而增大, 对称轴右侧y随x增大而减小. 探究新知 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（x=0） y轴（x=0） 顶点坐标 （0,k） （0,k） 最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. 注意：k带前面的符号！ 二次函数y=ax2+k的性质 知识点 2 例 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析 由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c. c 二次函数y=ax2+k的性质的应用 素养考点 典例精讲 【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 归纳总结 抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小. （0,3） y轴 对称轴左 对称轴右 巩固练习 解析式 y=2x2 y=2x2+1 y=2x2-1 +1 -1 点的坐标 (x, ) (x, ) (x, ) 2x2-1 2x2 2x2+1 从数的角度探究 二次函数y=ax2+k的图象及平移 知识点 3 探究新知 函数对应值表 x … … y=2x2-1 … … y=2x2 … … y=2x2+1 … … 4.5 3.5 5.5 2 1 3 -1.5 -1 x 2x2 2x2-1 2x2+1 探究新知 4 O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 观察图象可以发现， 把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下 y=2x2+1 上 从形的角度探究 x y 探究新知 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移 个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移 个单位长度得到. 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系 探究新知 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将 (　　 ) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到 解析 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的． D 巩固练习 1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？ 第一种方法：平移法，分两步，即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax2的图象向上（或向下）平移︱k ︱单位. 第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线. 【想一想】 探究新知 23 七彩城就梦想 2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标. 探究新知 1.抛物线 y=2x2 向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　 2.填表： y = 2x2－4 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = 3x2 y = 3x2＋1 y = -4x2－5 向上 向上 向下 （0,0） (0,1) (0,-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 基础巩固题 当堂训练 25 七彩城就梦想 3.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上 ，点 (-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k . 在 =2 >2 <2 当堂训练 26 七彩城就梦想 5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2. （2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 . 向下平移1个单位. >0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 当堂训练 27 七彩城就梦想 （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标. 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）. 当堂训练 1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____. 2.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）， 则a=____. 3.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 2 -2 8 能力提升题 当堂训练 将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度， 得到的图象所对应的函数表达式是 ． y=x2+2　 链接中考 1.开口方向由a的符号决定； 2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴. 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂总结 1.从课后习题中选取. 2.七彩作业. 课后作业 $$