22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 人教版 1 七彩城就梦想 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点. 1.正确理解抛物线的有关概念. 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关. 学习目标 （1） 你们喜欢打篮球吗？ （2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 导入新课 导入新课 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 画出二次函数y=x2的图象. 9 4 1 0 1 9 4 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 二次函数y=ax2的图象的画法 知识点 1 探究新知 2.描点：根据表中x, y的数值在坐标平面中描点（x, y） 3.连线： 如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2的图象. 3 6 9 y O -3 3 x 探究新知 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点. 3 6 9 y O -3 3 x 探究新知 画出函数y=-x2的图象. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 探究新知 y 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x 探究新知 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 二次函数y=ax2的图象性质 知识点 2 探究新知 1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． 探究新知 1.y＝-x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 探究新知 1. 顶点都在原点（0,0）; 3. 当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 2. 图像关于y轴对称; 二次函数y=ax2的图象性质 探究新知 1.观察图形，y随x的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 二次函数y=ax2的增减性 知识点 3 探究新知 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小. 二次函数y=ax2的性质 探究新知 (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 2.观察图形，y随x的变化如何变化？ 探究新知 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大. 二次函数y=ax2的性质 探究新知 二次函数y=ax2的开口大小与a的关系 知识点 4 在同一直角坐标系中，画出函数y= , y= 的图象． 探究新知 解：分别填表，再画出它们的图象，如图： x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 探究新知 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 【思考】二次函数 的图象开口大小与a的大小有什么关系？ 当a>0时， a越大，开口越小. 探究新知 【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 探究新知 O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小. 【思考】二次函数 的图象开口大小与a的大小有什么关系？ 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小． x y 探究新知 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 1.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 , 顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向上 y轴 (0,0) 减小 增大 x y O 基础巩固题 当堂训练 25 七彩城就梦想 2.函数y=-3x2的图象的开口 ,对称轴 , 顶点是 ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向下 y轴 (0,0) 减小 增大 x y O 当堂训练 26 七彩城就梦想 3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 . x y k>1 O 当堂训练 1.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围． 解：在二次函数y=x2中，a=1＞0 因此当x=0时，y有最小值. ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0． 能力提升题 当堂训练 2. 已知 y =(m+1)xm2+m是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式 解: 依题意有: m+1>0 , ① m2+m=2 , ② 解②,得m1=－2, m2=1. 由①,得m>－1. 因此 m=1. 此时,二次函数为 y=2x2. 当堂训练 (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2；(填“>”“＝”或“<”)； (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和． < 3.已知二次函数y＝2x2. 当堂训练 30 七彩城就梦想 (2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴， ∴OA＝OB, ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 当堂训练 方法点拨 二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． 探究新知 已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）,B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ） A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0 C 链接中考 33 七彩城就梦想 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂总结 1.从课后习题中选取. 2.七彩作业. 课后作业 $$