21.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时）-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 人教版 1 七彩城就梦想 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时） 【思考】通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么？ 步骤：①审题；②设元；③列式；④解答；⑤验根；⑥答案. 导入新课 【思考】现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm²，问剪去的小正方形的边长应是多少? 导入新课 解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则纸盒的长为（19-2x），宽为（15-2x）cm，依题意得（19-2x）（15-2x）=77 . 整理得：x²-17x+52=0. 解方程，得：（x-13）（x-4）=0. 解得：x1=4，x2=13（舍去）. 因此剪去的小正方形的边长应为3cm. 导入新课 1. 能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程. 2. 进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识． 学习目标 6 七彩城就梦想 学习重点：学会找作为列方程依据的等量关系. 学习难点：建立方程模型来解决实际问题. 学习重难点 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？ 27cm 21cm 几何图形的面积问题 知识点 1 探究新知 解法一：依据题意知，中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意得：中央矩形的长为 cm，宽为 cm． 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的______,则中央矩形的面积是封面面积的____． (27-18x) (21-14x) 探究新知 所以可列方程得： （27-18x）（21-14x）= ×27×21. 整理，得 16x2-48x+9=0. 解方程，得 x= ，x1≈2.8cm，x2≈0.2. 所以，9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm. 因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm． 探究新知 解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm， 列方程得： 解得 x 2.6. 上、下的边衬的宽为（27-9 2.6） 0.5=1.8cm. 左、右的边衬的宽为（21-7 2.6） 0.5=1.4cm. 探究新知 例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺） 利用一元二次方程解答一般面积问题 素养考点 1 典例精讲 解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得：（6+2x）（3+2x）=2×6×3. 整理方程得：2x²+9x-9=0. 解得：x1≈0.84，x2≈-5.3（不合题意，舍去）. 因此：台布的长为：2×0.84+6≈7.7（尺）. 台布的宽为：2×0.84+3≈4.7（尺）. 即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺. 典例精讲 要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位）？ 巩固练习 解：设镜框的宽为xcm，根据题意，得 整理得8x2+204x-319=0,解得 . ∴x1= ,x2= (不合题意，舍去). ∴x= ≈1.5. 答：镜框的宽度约为1.5cm. 巩固练习 例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图.一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m. （1）若所围的面积为150m²，试求此长方形鸡场的长和宽； 靠墙问题的解答 素养考点 2 A B C D 典例精讲 A B C D 解：设BC=xcm,则AB=CD= （35-x），依题意可列方程： (35-x)x=150.整理得：x2-35x+300=0, 解方程，得（x-20）(x-15)=0. 即：x1=20，x2=15. 当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m， 当BC=15m时，AB=CD=10m，即这个长方形鸡场的长与 宽分别为20m和7.5m或15m和10m. 典例精讲 （2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？ 解：当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽值能是15m和10m. 点拨：在寻找关系式时，切记三边之和等于总长，而不是四边之和等于总长. 典例精讲 （3）能围成面积为160m²的长方形鸡场吗？说说你的理由. 解：不能围成面积为160m²的长方形鸡场，理由如下： 设BC=xm，由（1）知AB=(35-x)，从而有(35-x)x=160， 方程整理为x²-35x+320=0.此时Δ=35²-4×1×320=-55＜0， 原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不能围成面积为160m²的鸡场. 典例精讲 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？ 住房墙 1m 巩固练习 住房墙 1m 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m， 由题意得 x(25-2x+1)=80. 整理，得 x2-13x+40=0. 解方程，得 （x-5）（x-8）=0. 即： x1=5 , x2=8. 当x=5时，26-2x=16>12 (舍去）;当x=8时，26-2x=10<12 故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m. 则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m. 巩固练习 20 32 x x 解：设道路的宽为x米，依题意得 例3 如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少？ 还有其他方法吗？ 20×32-32x-20x+x2=540. 修路问题的图形面积 素养考点 3 典例精讲 解：设道路的宽为 x 米. 20 32 x x 20-x 32-x (32-x)(20-x)=540. 整理，得x2-52x+100=0. 解方程，得（x-50)(x-2）=0. 即 x1=2,x2=50. 当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去. ∴取x=2. 答：道路的宽为2米. 方法二: 典例精讲 在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米. (32-x)(20-x)=540. 可列方程为 变式一 拓展应用 20 32 x x x 20-x 如图，在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米. (32-2x)(20-x)=540. 可列方程为 变式二 32-2x 拓展应用 20 32 x x x x 20 32 2x 2x 32-2x 20-2x 如图，在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32-2x)(20-2x)=540. 可列方程为 变式三 拓展应用 在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？ 变式四 拓展应用 小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三 解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x， 于是可列方程 (30-4x)(20-6x)= ×20×30. 20㎝ 30㎝ 3x 2x 30-4x 20-6x 3x 2x 6x 4x 30-4x 20-6x 拓展应用 28 七彩城就梦想 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出结果，至于实际施工，仍可按原图的位置进行）. 方法点拨 归纳总结 如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米? 巩固练习 解:设道路宽为x米， 依题意得 整理得，x2-36x+35=0. 其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去. 答:道路的宽为1米. （32-2x）（20-x）=570. 解方程，得（x-35）（x-1）=0. 即：x1=35，x2=1. 巩固练习 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　） A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0 C 链接中考 1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ） A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0 B 基础巩固题 当堂训练 2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽． 当堂训练 解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm，依题意得： 5(2x-10)(x-10)=3000. 整理得x2-15x-250=0. 解方程，得（x-25）（x+10）=0. 即 x1=25 x2=-10(舍去）,所以 2x=50. 答：铁板的长50cm,宽为25cm. 当堂训练 如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？ 能力提升题 D C B A 25米 当堂训练 解：设AB长是x m，依题意得： (100-4x)x=400. 整理得 x2-25x+100=0. 解方程得（x-20）（x-5）=0. 即 x1=5，x2=20. x=20,100-4x=20<25 , x=5,100-4x=80>25 x=5(舍去). 答：羊圈的边长AB和BC的长各是20m,20m. D C B A 25米 当堂训练 如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 拓广探索题 当堂训练 解：设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm，依题意得： (20-6x)(30-4x)=20×30× . 整理得 6x2-65x+50=0. 解方程得 答：每个横竖彩条的宽度分别是 cm , cm . 则 当堂训练 利用一元二次方程解决面积问题时， 我们在建模时注意哪些细节？ 回顾反思 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 类 型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移能聚零为整关系一同了解，从而列方程 课堂总结 1.随堂练习：课堂8分钟 2.课时练 课后作业 $$