21.2.3 因式分解法-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学课件（人教版）河北专版

九年级上册 数学 人教版 2024 1 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法 1.学会用因式分解法来解方程. 2.学生经历观察、探究等教学过程，发展学生的思维能力， 培养学生的创新能力. 3.学生通过自主探究、合作交流，激发学生的学习兴趣，提高学习效率. 学习目标 学习重点：学会利用因式分解法解一元二次方程. 学习难点：多项式分解因式. 学习重难点 1. 解一元二次方程的方法有哪些？ 直接开平方法： 配方法： x2=a (a≥0) (x+m)2=n (n≥0) 公式法： x= （b2-4ac≥0） 导入新课 5 2. 什么叫因式分解? 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式. 导入新课 3. 分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: （2）公式法: 【思考】下面的方程如何使解答简单呢？ am+bm+cm=m(a+b+c). a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ². x2+25x=0. （3）十字相乘法: 导入新课 根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位：m）为 因式分解法的概念 知识点 探究新知 提示：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即 【思考】根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s） 探究新知 解： 配方法 公式法 解： a = 4.9，b =－10，c = 0. b2－4ac= (－10)2－0=100 探究新知 因式分解 如果a · b = 0，那么 a = 0或 b = 0. 或 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 探究新知 可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法． 【思考】以上解方程 10x-4.9x2=0 的方法是如何使二次方程降为一次的？ ① ② x(10-4.9x)=0 x=0或10-4.9x=0 探究新知 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的方法; 3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”. 【提示】 探究新知 13 分解因式法解一元二次方程的步骤是: 2. 将方程左边因式分解为A×B； 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程； 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根. 1. 将方程右边化为等于0的形式； 归纳总结 解：（1）因式分解，得 于是得 x－2＝0 或 x＋1=0, x1=2，x2=－1. (x－2)(x＋1)=0. 例1 解下列方程： （1）x(x-2)+x-2=0 素养考点 1 因式分解法解一元二次方程 典例精讲 15 （2）5x2-2x- =x2-2x+ (2)移项、合并同类项，得 因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 于是得 2x＋1=0或2x－1=0, 4x2-1=0 x1= ， x2= - . 典例精讲 右化零　　 左分解 两因式　　 各求解 一.因式分解法简记歌诀： 归纳总结 二.选择解一元二次方程的技巧： 1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程. 2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程. 3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程. 归纳总结 解下列方程： 巩固练习 解： 因式分解，得 （1） x2+x=0 x ( x+1 ) = 0. 于是得 x = 0 或 x + 1 =0， x1=0 , x2=－1. 解：因式分解，得 （2）x2- 2 x=0 x（x-2 ）=0 于是得 x=0 或 x-2 =0 x1=0，x2=2 巩固练习 解：将方程化为 因式分解，得 x2－2x+1 = 0. ( x－1 )( x－1 ) = 0. 于是得 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 于是得 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0， x1=-5.5 ， x2=5.5 . （3） （4） 巩固练习 解：将方程化为 因式分解，得 6x2 － x －2 = 0. ( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0. 有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0， 解：将方程化为 因式分解，得 ( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0. ( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0. ( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0. 有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0， x1 = 3 , x2 = 1. x1= ， x2=- （5） （6） 巩固练习 22 例2 用适当方法解下列方程： (2)x2－6x－19＝0； (3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y； (5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0； (6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2. 灵活选择方法解一元二次方程 素养考点 2 思路点拨：四种方法的选择顺序是： 直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法． 典例精讲 (2)x2－6x－19＝0； 解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1＝±. ∴x1＝1＋，x2＝1－. (2)移项，得x2－6x＝19. 配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28. ∴x－3＝±2 .∴x1＝3＋2 ，x2＝3－2 . 典例精讲 (3)移项，得 3x2－4x－1＝0. ∵a＝3，b＝－4，c＝－1， (4)移项，得 y2－2y－15＝0. 把方程左边因式分解， 得(y－5)(y＋3)＝0. ∴y－5＝0 或 y＋3＝0. ∴y1＝5，y2＝－3. (3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y； 典例精讲 (5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0. ∴(x－3)(4x－1)＝0. (5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0； 典例精讲 (6)移项，得 4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0. ∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0. ∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0. ∴(11x－8)(x＋12)＝0. (6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2. 典例精讲 (1)x2－ ＝0； 用适当的方法解下列方程： 巩固练习 解：原方程可变形为 5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0， ∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0. (2) 5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)． 巩固练习 1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ． ﹣3 链接中考 2. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）． 解： 2（x﹣3）=3x（x﹣3）， 移项得 2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0， 因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0， x﹣3=0或2﹣3x=0， 解得：x1=3, x2= ． 链接中考 1.解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11； （2）x(x+4)=8x+12. 解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解. 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6, x2=-2. 基础巩固题 当堂训练 2.小华在解一元二次方程 x2－x＝0 时，只得出 一个根 x＝1，则被漏掉的一个根是（ ） A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝0 D 当堂训练 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①x2－3x＋1＝0； ②(x－1)2＝3； ③x2－3x＝0； ④x2－2x＝4. 我选择______________________ 能力提升题 当堂训练 解：答案不唯一．若选择①， ①适合公式法， x2－3x＋1＝0， ∵a＝1，b＝－3，c＝1， ①x2－3x＋1＝0； ②(x－1)2＝3； ③x2－3x＝0； ④x2－2x＝4. 当堂训练 ②适合直接开平方法， ∵(x－1)2＝3， 若选择②， ①x2－3x＋1＝0； ②(x－1)2＝3； ③x2－3x＝0； ④x2－2x＝4. 当堂训练 ③适合因式分解法， x2－3x＝0， 因式分解，得 x(x－3)＝0. 解得 x1＝0，x2＝3. 若选择③ ， ①x2－3x＋1＝0； ②(x－1)2＝3； ③x2－3x＝0； ④x2－2x＝4. 当堂训练 ④适合配方法， x2－2x＝4， x2－2x＋1＝4＋1＝5， 即(x－1)2＝5. ①x2－3x＋1＝0； ②(x－1)2＝3； ③x2－3x＝0； ④x2－2x＝4. 若选择④， 当堂训练 解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0. 拓广探索题 当堂训练 【点拨】把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解. 解：设 x2＋3＝y，则原方程化为 y2－4y＝0. 分解因式，得 y(y－4)＝0，解得 y＝0，或 y＝4. ①当 y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解； ②当 y＝4 时，x2＋3＝4，即 x2＝1.解得 x＝±1. 所以原方程的解为 x1＝1，x2＝－1. 当堂训练 ax2+c=0 ====> ax2+bx=0 ====> ax2+bx+c=0 ====> 因式分解法 公式法（配方法） 1. 直接开平方法 因式分解法 课堂总结 2.公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法） 课堂总结 3.方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法 课堂总结 1.因式分解的方法有哪些？ 2.因式分解法解方程的一般步骤？ 3.用因式分解法解方程时，我们要应注意什么？ 回顾反思 1.教材第17页复习巩固：第6、8、9、10题， 2.七彩作业. 3.比较：一元二次方程所有解法的各自特点？ 课后作业 ∴x＝.＝ ∴x1＝.，x2＝ ∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝. ∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝，x2＝－12. 解：(1)∵x2－＝0， ∴x2＝.，即x＝± ∴x1＝.，x2＝－ ∴3x＋2＝0或12x＋10＝0. ∴x1＝－.，x2＝－ ∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝. ∴x1＝.，x2＝ x－1＝±， ∴x1＝1＋.，x2＝1－ 开方，得x－1＝±. ∴x1＝1＋.，x2＝1－ $$