“两边夹”思想在三角函数中的运用讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

“两边夹”思想在三角函数中的运用 1.夹逼准则 在高等数学中有一个夹逼定理,英文原名Sandwich Theorem.也称作夹逼准则,是函数极限的定理. 准则(1) 如果数列,,满足(1)(2), ,则数列的极限存在,且. 准则(2) 如果当(或)时,有(1)(2), (或),则(或) 在高等数学中,夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限,间接通过求得和的极限来确定的极限.这个定理在高中数学虽然没有学习,但是该定理体现出来的夹逼思想却渗透在高中数学学习当中.“若,则”,这就是不等式两边夹的性质,又如:若恒成立,则.在解决某些数学问题时,运用这些夹逼性质逼出某个变量的值或不等式,从而实现由不等向相等,由变量向常量的转化,这是在不等中寻找相等关系的重要途径. 2.应用 例1.中,设是的面积,若,求的值. 解析:由,得, 化简得.即. 由于,可得,. 简析:结合余弦定理及三角形面积公式,将已知条件转化为.等式左边为,根据正弦函数的有界性可知;右边为,根据重要不等式可得.因此结合夹逼准则可知,从而求出. 例2.中,若,求的值. 解析:由已知有. 即. 即,则. 由于,可得,. 简析:结合正弦定理化角为边,将已知条件转化为.等式左边为,根据正弦函数的有界性可知;右边为,根据重要不等式可得.因此结合夹逼准则可知,从而求出. 例3.已知为坐标原点,对于函数,称向量为函数的伴随向量,同时称函数为向量的伴随函数. (1) 设函数,试求的伴随向量. (2) 记向量的伴随函数为,求当且时的值. (3) 由(1)中函数的图象(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的2倍,再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象.已知,,问在的图象上是否存在一点,使得.若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由. 解析: (1)略(2)略.(3)由已知可得,则. 设,则,. 又,所以,即. 整理得.由于,,所以当且仅当时, 和同时等于.因此在的图象上存在一点,使得. 简析:结合条件题目条件将向量的垂直关系,转化为坐标运算,继而整理得到.等式左边为,结合余弦函数的有界性以及二次函数的性质可知,当且仅当时取等号;等式右边为,由二次函数的性质可知,当且仅当时取等号.因此结合夹逼准则可知在的图象上存在一点,使得. 例4.已知,且,求的值. 解析:由,得,则,即,故,因此,所以,故. 由,得,因此,所以,故.因此有. 简析:借助三角函数的有界性和不等式的性质分别得到和,根据夹逼准则可知. 例5.设单位向量,,对任意实数都有,则,的夹角为 解析:由,两边同时平方得.该不等式对任意都成立,所以,解得.又,所以,即. 简析:由已知条件得到得,结合完全平方式的性质,根据夹逼准则可知. 例6.已知，，且，若关于的方程有实数根，则代数式 解析：由已知有， 令得， 则， 所以 结合，得 综上，故。 又，，且，所以，，。 综上，。 简析:结合三角函数的有界性以及夹逼准则,可知. 通过上述试题不难发现,“两边夹”思想在三角函数解题中有着重要的应用.事实上,不仅在三角函数中,在涉及到不等式问题的解决中,如果能够借助“两边夹”思想,往往能够迅速寻找到解题的突破口,使得问题柳暗花明. 例7.若关于的不等式在恒成立,则实数的取值范围是 解析:由已知有 . 由已知有夹在两函数与之间.故有,即. 简析:将题目所给不等式巧妙地转化成,看成是直线夹在两曲线之间. 例8. 已知关于的函数,与()在区间上恒有.(1)若,,,求的表达式.(2)略.(3)略. 解析:由已知可得,故当时,有,所以.由 得,又, 所以,,此时. 简析由于不等式对任意恒成立,故取特殊值,得到,从而夹逼出. 由于,结合完全平方式的性质可得,从而夹逼出.因此,本道试题的求解体现了不等式中夹逼的思想,通过两边夹逼求出相应参数的值. 三.练习 已知的内角的对边分别是,若,判断的形状. 解析:由已知有.由于,,因此有,.此时,即.故为等腰直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$