5.5三角恒等变换中角度范围的确定方法总结讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角恒等变换中角度范围的确定方法总结 人教A版必修第一册第五章第5.5节介绍了三角恒等变换.三角恒等变换解题的关键在于认真观察式子的结构特征,寻找代求式子与已知式子的关系,进而运用公式进行转换.在转换的过程中,有一点是十分重要的,就是确定角度的取值范围.只有把某个角的取值范围尽量缩小,才能得到准确结果.如何缩小角的取值范围?可以从以下几方面入手. 方法1:与特殊值进行比较 例1:在中,,,求. 解析:由,得. 由,得. 则或. 分析:在上述解法中,由于不清楚是锐角还是钝角,所以有两种取值,从而导致有两个结果.事实上,由可得为锐角.进一步,故.假设为钝角,由,可知.此时,矛盾.故为锐角.所以.故. 显然,为了确定是锐角还是钝角,将的值与特殊值进行比较,将的值与特殊值进行比较,最终确定为锐角. 例2:,,,.求. 解析:易求得. 由,得.又,故. 由,,得,又,故,因此. 从而. 结合,得. 由,得. 结合,得. 分析:将与特殊值进行比较,确定;将与特殊值进行比较,确定;将与特殊值进行比较,确定. 最终确定,从而得到. 例3:在中,,,求. 解析:将,分别两边同时平方,再相加得 ,即.结合可得或. 若,则为锐角.由得. 又,在单调递减,所以, 此时,矛盾.综上. 分析:由可得或.如何取舍?观察到,与特殊值进行比较,确定. 方法2:由倍角的范围确定单角的范围 例4:若,,,,则 解析:由得,结合得, 故,且. 由得,结合得. 则. 则 又,所以. 分析:首先由单角得到倍角,结合得,进一步确定单角,最终确定,. 例5:已知,,,,求. 解析:由,结合得, 故,且. 结合,可得.又,所以. 故. 所以. 由于,,所以,故. 分析:首先由单角得到倍角,结合得,进一步确定单角,最终确定,. 方法3:借助三角形的性质 例6:在中,,求. 解析:由得. 所以或. 又,故,所以. 分析:对于三角形而言,不管是锐角,直角还是钝角,均有. 例7:在中,若,求. 解析:由已知有, 即, 即,所以或 若,则,,,结合,得. 若,则,,,故. 综上. 分析:对分锐角和钝角两种情况讨论.若为锐角,可得,但是求出得到两个均不在该范围内;若为钝角,可得,所以. 练习1:已知,为锐角,,,求. 参考答案:由,,在单调递减,得. 得.又,所以, 则. 故. 练习2:在锐角中,,,求. 解析:由已知有,, 将两个式子分别两边同时平方再相加得. 由,得. 由于,所以,因此. 练习3: 锐角满足,则 解析:因为,,, 又,所以,所以,故. 由得, 即,.所以. 上述三种方法是常见的缩小角度的方法.在实际解题中,要根据题目条件灵活处理,将角度的范围确定在合理的区间内.当然,并不是对所有的题目而言,角度确定得越小越好.对于某些题目并不一定需要很精确的角度范围,只需大致范围就可以解决问题. 学科网(北京)股份有限公司 $$