1.3空间向量基本定理及其坐标表示讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2024-2025学年高一数学上学期同步复习讲义 第2讲 空间向量基本定理及其坐标表示 教学目标 1．掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的，通过向量坐标表示，能综合运用向量的数量积知识解决有关立体几何问题； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：空间向量的坐标表示及运算； 难点：运用向量的数量积知识解决有关立体几何问题。 教学内容 空间向量基本定理及其坐标表示 知识点一：空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 证明：存在性：设不共面，过点作，， 过点作直线平行于交平面于点在平面内， 过点作直线， 存在三个数，使得，，， ， ； 唯一性：设另有一组实数，使得， 则 ， 不共面，，即且且 故实数是唯一的. 知识点二：基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点三：空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 2、空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组 ，使有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标. 3、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴（x轴）的对称点是； 点关于纵轴（y轴）的对称点是； 点关于竖轴（z轴）的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 知识点四：空间向量的坐标运算 1、空间两点的距离公式 若，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②，或. 2、空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 3、向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①； ②； ③； 4、向量数量积的坐标运算 若，则： 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 5、空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 （1）. （2）. 6、空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 考点一：基底的判断 【例1】已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】设是空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D．或 【变式1-2】已知是空间向量的一组基底，，一定可以与向量，构成空间向量的另一组基底的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（    ） A． B． C． D． 考点二：基底表示空间向量 【例2】如图，在平行六面体中，已知，则用向量可表示向量为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（　　）    A． B． C． D． 【变式2-2】已知正方体，点是的中点，点是的三等分点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（    ） A． B． C． D． 考点三：空间向量的坐标表示 【例3】在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】平行六面体中，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点四：空间向量的坐标运算 【例4】已知，，求，，． 【变式4-1】已知 =（3，2，－1）， （2，1，2），则=___________． 【变式4-2】已知，，则_______. 【变式4-3】已知点，，，，求： （1），，； （2）； 考点五：空间向量的共面的计算 【例5】已知空间向量，，，若，，共面，则 ． 【变式5-1】在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则 . 【变式5-2】若空间向量共面，则实数 . 【变式5-3】如图，在空间直角坐标系中，，，，． （1）求向量在向量上的投影的数量． （2）是否存在实数，使得点，，，共面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 考点六：空间向量模长的计算 【例6】设空间向量，，若，则 ． 【变式6-1】设，向量，则 . 【变式6-2】已知空间向量，，则 . 【变式6-3】已知，若，，那么的最小值为 ． 【变式6-4】已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 考点七：空间向量的平行与垂直 【例7-1】已知空间向量，且，则实数 ． 【例7-2】已知向量，，且与互相垂直，则的值是 . 【变式7-1】已知，，若向量与平行，则 ． 【变式7-2】已知向量，，其中m，，且，则 . 【变式7-3】已知空间向量，且与垂直，则等于 . 【变式7-4】已知向量，，且，则 . 【变式7-5】已知向量，，. （1）求 （2）当时，若向量与垂直，求实数和的値； （3）当时，求证：向量与向量，共面. 考点八：空间向量夹角的计算 【例8-1】已知，，，夹角为，则 ． 【例8-2】已知，若夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 【变式8-1】若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________. 【变式8-2】已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______ 【变式8-3】设，向量，，，且，. （1）求； （2）求向量与夹角的大小． 考点九：空间向量的投影 【例9-1】已知，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例9-2】已知向量，，则在的方向上的数量投影为（    ） A． B． C． D． 【例9-3】已知，在上的投影为1，则在上的投影为（   ） A．-1 B．2 C．3 D． 【变式9-1】已知，，则在上的投影向量为（       ） A．1 B． C． D． 【变式9-2】已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（       ） A． B． C． D． 【变式9-3】在等腰中，若，，则向量在向量方向上的投影为（       ） A． B． C．1 D． 【题组一：空间向量基本定理】 一、单选题 1．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（       ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，不共面，且，则x，y，z的值分别是（       ） A．2，1，2 B．2，1， C．1，，3 D．l，，3 3．如图，在空间四边形中，，，，，则与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 4．设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（       ） A．{ B． C． D． 5．已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（        ） A． B． C． D． 6．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（       ） A．0 B．2 C． D． 7．如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（       ） A． B． C． D． 8．在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点，则的长为（       ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在以下命题中，不正确的命题有（       ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D．若两个非零空间向量，满足，则 10．定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1），，且､和构成右手系（三个向量的方向依次与拇指､食指､中指的指向一致）；（2）的模 （表示向量､的夹角）.如图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有（       ） A．与方向相反 B． C．与正方体表面积的数值相等 D．与正方体体积的数值相等 三、填空题 11．如图，在平行六面体中，，，，，，则________．（用基底表示） 12．如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________. 四、解答题 13．如图，已知正方体.点是上底面的中心，取 为一个基底，在下列条件下，分别求的值. （1）; （2）. 14．在平行六面体中，，.若. （1）用基底表示向量； （2）求向量的长度. 【题组二：空间向量及其运算的坐标表示】 一、单选题 1．若，则=（       ） A． B． C． D． 2．若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（       ） A．0 B．－ C．0或－ D．0或 3．已知空间向量，，且，则（       ） A． B． C． D． 4．已知，，则等于（       ） A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23 5．已知向量，若与互相垂直，则的值为（       ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，，且，则实数（       ） A． B． C． D． 7．定义，若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（       ） A．[6，12] B．[0，6] C．[-1，5] D．[0，12] 8．已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（       ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，，与的夹角为120°，则的值为（       ） A． B．17 C．1 D． 10．已知向量，，则（       ） A． B． C．向量，的夹角的余弦值为 D．若向量（，为实数），则 三、填空题 11．已知，若与垂直，则___________. 12．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______ 四、解答题 13．已知空间三点，设，. （1）若向量与互相垂直，求的值； （2）求向量在向量上的投影向量. 14．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题. 问题：如图，在正方体中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为，E为棱上的动点，F为棱上的动点，___________，试问是否存在点，满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 一、本节课我们学习的向量你了解到了哪些？ 二、本节课我需要努力的地方是： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期同步复习讲义 第2讲 空间向量基本定理及其坐标表示 教学目标 1．掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的，通过向量坐标表示，能综合运用向量的数量积知识解决有关立体几何问题； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：空间向量的坐标表示及运算； 难点：运用向量的数量积知识解决有关立体几何问题。 教学内容 空间向量基本定理及其坐标表示 知识点一：空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 证明：存在性：设不共面，过点作，， 过点作直线平行于交平面于点在平面内， 过点作直线， 存在三个数，使得，，， ， ； 唯一性：设另有一组实数，使得， 则 ， 不共面，，即且且 故实数是唯一的. 知识点二：基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点三：空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 2、空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组 ，使有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标. 3、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴（x轴）的对称点是； 点关于纵轴（y轴）的对称点是； 点关于竖轴（z轴）的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 知识点四：空间向量的坐标运算 1、空间两点的距离公式 若，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②，或. 2、空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 3、向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①； ②； ③； 4、向量数量积的坐标运算 若，则： 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 5、空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 （1）. （2）. 6、空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 考点一：基底的判断 【例1】已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A中，由，所以不能作为一组空间基底； 对于B中，假设共面，则存在，使得， 即，可得，此时方程组无解，所以不共面，所以向量可以作为空间的一组基底； 对于C中，由，所以不能作为空间的一组基底； 对于D中，由，所以不能作为空间的一组基底. 故选：B. 【变式1-1】设是空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为是空间的一组基底，所以向量不共面， 而向量，，则，， 故，与或共面，则不与共面. 故选：C. 【变式1-2】已知是空间向量的一组基底，，一定可以与向量，构成空间向量的另一组基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，因为不共面，所以不共面． 若存在，使成立，则共面，这与已知是空间一组基底矛盾，故不共面，故C正确； 对于D，显然 共面，故D错误. 故选：C. 【变式1-3】若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误； 对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误； 对于C，假设向量共面，则， 即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确； 对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误； 故选：C. 考点二：基底表示空间向量 【例2】如图，在平行六面体中，已知，则用向量可表示向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平行六面体中，， 所以 故选：D． 【变式2-1】已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 所以. 故选：D. 【变式2-2】已知正方体，点是的中点，点是的三等分点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示， ， . 故选：D. 【变式2-3】如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在平行六面体中，M为，的交点，，，， 所以 , 故选：B 考点三：空间向量的坐标表示 【例3】在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以，解得：，，． 所以点的坐标为． 故选：D 【变式3-1】如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，所以， 所以. 故选：D 【变式3-2】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 【变式3-3】已知平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则，， 由题意得：，即，解得：， 故顶点的坐标为. 故选：D 【变式3-4】平行六面体中，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， ∵，又， ∴， 解得，即. 故选：B. 考点四：空间向量的坐标运算 【例4】已知，，求，，． 【答案】，， ， ， ． 【变式4-1】已知 =（3，2，－1）， （2，1，2），则=___________． 【答案】2 因为， 故答案为：2 【变式4-2】已知，，则_______. 【答案】6 由，，得 ，， . . 故答案为：. 【变式4-3】已知点，，，，求： （1），，； （2）； 【答案】（1），，；（2）； （1）由题设，，，. （2）由（1），. 考点五：空间向量的共面的计算 【例5】已知空间向量，，，若，，共面，则 ． 【答案】 【解析】若，，共面，则存在实数，使， 即 所以，解得，，． 所以． 故答案为： 【变式5-1】在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则 . 【答案】1 【解析】∵， ∴，，， 又∵四点共面， ∴由平面向量基本定理可知存在实数使成立, ∴, ∴，解得， 故答案为：1 【变式5-2】若空间向量共面，则实数 . 【答案】1 【解析】由题可知，，故，有，解得 故答案为：1 【变式5-3】如图，在空间直角坐标系中，，，，． （1）求向量在向量上的投影的数量． （2）是否存在实数，使得点，，，共面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为，，， 所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为： ， （2），，， 若点，，，共面，则存在实数和使得， 所以，解得：， 所以存在实数使得点，，，共面. 考点六：空间向量模长的计算 【例6】设空间向量，，若，则 ． 【答案】9 【解析】因为空间向量，，且， 所以， 即， 可得，解得，， 所以， 则， 所以． 故答案为：9 【变式6-1】设，向量，则 . 【答案】 【解析】由，得，则， 所以. 故答案为：. 【变式6-2】已知空间向量，，则 . 【答案】 【解析】因为空间向量，，则， 因此，. 故答案为：. 【变式6-3】已知，若，，那么的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，，所以， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式6-4】已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【解析】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 考点七：空间向量的平行与垂直 【例7-1】已知空间向量，且，则实数 ． 【答案】 【解析】由空间向量， 因为，可得，即，解得. 故答案为：. 【例7-2】已知向量，，且与互相垂直，则的值是 . 【答案】/ 【解析】， ， 因为与互相垂直， 所以, 即， 解得：. 故答案为： 【变式7-1】已知，，若向量与平行，则 ． 【答案】或 【解析】由，， 则，， 又向量与平行，即存在使得成立， 则有，解得或． 故答案为：或． 【变式7-2】已知向量，，其中m，，且，则 . 【答案】-4 【解析】向量，，且， 则有，解得，则有. 故答案为：-4 【变式7-3】已知空间向量，且与垂直，则等于 . 【答案】4 【解析】因为，且与垂直， 所以，解得， 故答案为：4 【变式7-4】已知向量，，且，则 . 【答案】/-0.5 【解析】向量，，且， 则有，解得. 故答案为： 【变式7-5】已知向量，，. （1）求 （2）当时，若向量与垂直，求实数和的値； （3）当时，求证：向量与向量，共面. 【解析】（1），， ， . （2）因为， 所以，解得， 因为，且向量与垂直， 所以， 即， . 所以实数和的值分别为和； （3）证明：当时，， 设， 则， ，解得， 即， 所以向量与向量，共面. 考点八：空间向量夹角的计算 【例8-1】已知，，，夹角为，则 ． 【答案】 【解析】由，，得，， 由，夹角为，得，解得， 所以. 故答案为： 【例8-2】已知，若夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线， 因为，所以，解得， 当与共线时，，即，则，解得， 所以且. 故答案为：且. 【变式8-1】若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________. 【答案】 因为向量若与的夹角为锐角， 所以，且、不同向共线. 只需满足，解得：或. 所以的范围为. 故答案为：. 【变式8-2】已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______ 【答案】 由于与的夹角为钝角，则且与不共线， ，，，解得且， 因此，实数的取值范围是且， 故答案为：且. 【变式8-3】设，向量，，，且，. （1）求； （2）求向量与夹角的大小． 【解析】（1）由题意，，， 可得，解得， 则，，所以， 故. （2）因为， 所以， 故向量与的夹角为. 考点九：空间向量的投影 【例9-1】已知，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 因为，所以， 所以， 所以在上的投影向量为 故选：B 【例9-2】已知向量，，则在的方向上的数量投影为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 由题意知：在的方向上的数量投影为. 故选：C. 【例9-3】已知，在上的投影为1，则在上的投影为（   ） A．-1 B．2 C．3 D． 【答案】C 在上的投影为，即， 在上的投影为， 故选：C 【变式9-1】已知，，则在上的投影向量为（       ） A．1 B． C． D． 【答案】C 解：因为，，所以， 所以， 所以在上的投影向量为 故选：C 【变式9-2】已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 因空间向量，，，， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：C 【变式9-3】在等腰中，若，，则向量在向量方向上的投影为（       ） A． B． C．1 D． 【答案】A 易得，则向量在向量方向上的投影为. 故选：A. 【题组一：空间向量基本定理】 一、单选题 1．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（       ） A． B． C． D． 【答案】B . 故选：B 2．已知空间向量，，不共面，且，则x，y，z的值分别是（       ） A．2，1，2 B．2，1， C．1，，3 D．l，，3 【答案】C 由题设知：，解得. 故选：C 3．如图，在空间四边形中，，，，，则与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 解： 设异面直线与的夹角为则 故选A 4．设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（       ） A．{ B． C． D． 【答案】C 因为向量与共面，选项A，B不正确， 是共面向量， 不能作为基底，选项D不正确； 若是共面向量， 则， 得到为共面向量，与已知向量不共面矛盾， 所以是不共面向量，可以作为基底. 故选：C 5．已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（        ） A． B． C． D． 【答案】C 如图， ， 所以， 所以. 故选：C 6．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（       ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B P∈平面ABC，若则x+y+z＝1． .又动点Q在所在平面内运动， 所以，解得. 故选：B 7．如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 依题意 ，所以. 故选：C. 8．在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点，则的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 如图， , 所以 ， 所以， 所以的长为， 故选：D 二、多选题 9．在以下命题中，不正确的命题有（       ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D．若两个非零空间向量，满足，则 【答案】AB 当，满足与共线，与共线，而与不一定共线，A错误；若与均为零向量时，能够保证，则存在无数多的实数，使，B错误；因为，即，故，由平面向量基本定理可得：P，A，B，C四点共面，C正确；因为非零空间向量满足，故，所以，D正确. 故选：AB 10．定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1），，且､和构成右手系（三个向量的方向依次与拇指､食指､中指的指向一致）；（2）的模 （表示向量､的夹角）.如图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有（       ） A．与方向相反 B． C．与正方体表面积的数值相等 D．与正方体体积的数值相等 【答案】ABD A选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同，故A错， B选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反， 不可能相等，故B错， C选项，根据向量外积的第二个性质可知正方形的面积为，则与正方体表面积的数值相等，故C对， D选项，与的方向相反，则，故D错， 故选：ABD. 三、填空题 11．如图，在平行六面体中，，，，，，则________．（用基底表示） 【答案】 在平行六面体中 由题意， ， 所以 故答案为：． 12．如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________. 【答案】 解：由题意三棱柱中，､分别是B､上的点， 且，， 则 ， ， . 故答案为：. 四、解答题 13．如图，已知正方体.点是上底面的中心，取 为一个基底，在下列条件下，分别求的值. （1）; （2）. 【答案】（1）（2） （1）解：， ， 又因为， 所以; （2）， ， ， ， 又因为， 所以. 14．在平行六面体中，，.若. （1）用基底表示向量； （2）求向量的长度. 【答案】（1）（2） （1）由题意可得 ， 故. （2）由条件得， ， 故 【题组二：空间向量及其运算的坐标表示】 一、单选题 1．若，则=（       ） A． B． C． D． 【答案】D . 故选：D 2．若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（       ） A．0 B．－ C．0或－ D．0或 【答案】C 由题知， 即，解得或. 故选：C 3．已知空间向量，，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 因为空间向量，，且， 所以，解得：. 故选：B 4．已知，，则等于（       ） A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23 【答案】C ∵，， ∴， ∴. 故选：C. 5．已知向量，若与互相垂直，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 由题意，向量， 可得，， 与互相垂直，可得， 即，解得. 故选：B. 6．已知空间向量，，且，则实数（       ） A． B． C． D． 【答案】A 由题设，使，即，可得. 故选：A. 7．定义，若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（       ） A．[6，12] B．[0，6] C．[-1，5] D．[0，12] 【答案】A 由题意知，． 设，则． 又，∴，∴． 故选：A 8．已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 因点Q在直线上运动，则，有，于是有， 因此，，， 于是得， 则当时，，此时，点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为. 故选：C 二、多选题 9．若，，与的夹角为120°，则的值为（       ） A． B．17 C．1 D． 【答案】BD 由题意得 解得或 故选：BD 10．已知向量，，则（       ） A． B． C．向量，的夹角的余弦值为 D．若向量（，为实数），则 【答案】BC 解：对于选项A，由，故A选项不正确； 对于选项B，由，，故B选项正确； 对于选项C，由，得，故C选项正确； 对于D选项，由，得，解得，，有，故D选项错误. 故选：BC. 三、填空题 11．已知，若与垂直，则___________. 【答案】## 因为， 所以，， 因为与垂直， 所以，解得. 故答案为：. 12．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______ 【答案】 设，因为，所以，所以点的坐标为. 又，， 所以，所以当时，取最小值，此时点的坐标为. 故答案为：. 四、解答题 13．已知空间三点，设，. （1）若向量与互相垂直，求的值； （2）求向量在向量上的投影向量. 【答案】（1）或（2） （1）解：由已知得，. 所以， . 因为与互相垂直，所以 ， 即，解得或. （2）解：因为，，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量. 14．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题. 问题：如图，在正方体中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为，E为棱上的动点，F为棱上的动点，___________，试问是否存在点，满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 解：由题意， 正方体棱长为2， 则， 设， 则， 所以. 选择①：， 所以， 得， 若得， 则， 故存在点， 满足，. 选择②：因为， 所以， 得， 若， 即， 得. 故存在点， 满足，. 选择③：因为， 所以与不共线， 所以， 即， 则， 故不存在点满足. 一、本节课我们学习的向量你了解到了哪些？ 二、本节课我需要努力的地方是： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$