专题02 一元二次方程（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题02一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程解的估算 【解惑】解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 2．根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 3．根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 类型二、一元二次方程的应用——传播问题 【解惑】鸡瘟是一种传播速度很快的传染病．一鸡场3月12日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数是多少？ 【融会贯通】 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 2．某教育局组织教职工男子篮球比赛． (1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛? (2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长． 3．2023年10月15日，公众号“健康南海”发布公益推文：“家长最关心的5大传染病，专家在线指导预防”，文中指出，“登革热”高发季节为夏秋季，一般为每年的5-11月份，预防“登革热”主要做好防蚊、灭蚊．“登革热”是一种传播速度很快的传染病，云南某市在9月2日发现一位确诊患者，两天后，该市共有81位确诊患者． (1)求每天平均一个人传染了多少人？ (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共多少人？ 类型三、一元二次方程的应用——动态几何问题 【解惑】如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    【融会贯通】 1．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 2．已知：如图，在矩形中，，，动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动．当点停止运动时点也停止运动，设运动的时间为． (1)点和点两点从出发开始到几秒，四边形的面积是； (2)点和点两点从出发开始到几秒，点和点之间的距离是； (3)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形． 3．如图所示，中，，．    (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为? (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于? (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为? 类型四、配方法的应用 【解惑】先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【融会贯通】 1．（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 2．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 3．阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 类型五、换元法的应用 【解惑】阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 【融会贯通】 1．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 2．阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体， 设…①， 那么原方程可化为，解得，， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴， 故原方程的解为，，， 以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； 请利用以上知识解方程： 3．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)利用换元法解方程得到方程的解为______． (2)若，求的值． (3)利用换元法解方程：． 类型六、根与系数的对称式 【解惑】如果方程的两个根是、，那么，．请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知关于的方程，求出一个关于的一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数； (2)已知、满足，，求的值； (3)已知、、为实数，且，，若为中最大值，求的最小值． 【融会贯通】 1．阅读与思考 阅读材料并解决下列问题： 材料1 若一元二次方程的两根为，则，． 材料2 已知实数m，n满足，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，， ． 根据上述材料解决下面的问题： (1)一元二次方程的两根为，，则_________，_________． (2)已知实数m，n满足，且，求的值． (3)已知实数p，q满足，且，求的值． 2．十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 3．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为， 则，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴， 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t满足，且，求的值． 类型七、一元二次方程的规律 【解惑】【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 【融会贯通】 1．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)第5个图案有___________颗黑色棋子，第n个图案中黑色棋子的颗数为___________； (2)据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由． 2．【观察思考】 如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，… 【规律发现】 依此规律，完成以下问题： （1）图⑤中共有小正方形的个数为______； （2）图中共有小正方形的个数为______； 【规律应用】 （3）已知一个物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第次测量时移动的距离多米，那么该物体在第次测量时移动了多少米？ 3．高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： (1)图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：…； 图n的彩色正方形有： (2)图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； …；图n 的白色正方形有 个． (3)若图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n 中白色正方形的个数． 类型八、一元二次方程的新定义 【解惑】对于实数a，b，定义运算“”：，例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，求的值． 【融会贯通】 1．对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 2．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 3．若是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)判断下列方程是否是“差根方程”： ①______； ②______；（填是或否） (2)已知关于的方程是“差根方程”，求a的值； (3)若关于的方程（是常数，）是“差根方程”，请写出与之间的数量关系式． 类型九、阅读理解题 【解惑】阅读理解 材料一：若p，q，m为整数，且三次方程有整数解t，则将t代入方程得，移项得，即有，由于与t及m都为整数，因此t是m的因数．所以，对整数系数方程的整数解只可能是m的因数． 材料二：类比多位数的竖式除法，可以利用竖式除法进行多项式的除法． 例  解方程． 解：∵2的因数有，，将它们分别代入原方程， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴是方程的整数解． ∴有因式． 利用竖式除法，可得 ∴． ∴原方程化为． ∴或． ∴原方程的解为，，． 根据以上的阅读材料，解答下列问题： (1)方程的整数解可能有哪些？并求出它的整数解； (2)把多项式在有理数范围内因式分解； (3)解方程． 【融会贯通】 1．阅读理解： 解方程：， 解：（1）当时，原方程化为， 解得：，（舍去）． （2）当时，原方程化为， 解得：（舍去），． 综上所述，原方程的解为，． 请参照上述方法解方程：． 2．阅读理解： 转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验． 例如：解方程 解：两边平方得： 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． ∴原方程的根是． 解决问题： （1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为 ； （2）求满足的x的值； （3）代数式的值能否等于8 ? 若能，求出的值；若不能，请说明理由． 3．阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”，例如三个实数，3，4，因为的倒数为，而3与4的倒数和为，所以三个实数，3，4构成“和谐三数组”． 材料二：若关于x的一元二次方程的两根分别为，，则有，． 问题解决： (1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 　 　； (2)若，是关于x的方程（a，b，c均不为0）的两根，是关于x的方程（b，c均不为0）的解．求证：，，可以构成“和谐三数组”； (3)若A(m，)，B(m+1，)，C(m+3，)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值． 类型十、一元二次方程与几何结合 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点． (1)求b的值和点B的坐标； (2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标； (3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【融会贯通】 1．如图1，在平面直角坐标系中，已知边长为8的正方形的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上.点P是x轴正半轴上的一动点，连接，直线绕点P顺时针旋转与过A点的直线相交于点D，连接    (1)求k的值； (2)当点P在边上时（点P与点A不重合），判断形状，并说明理由； (3)如图2，取的中点E，连接，以，为邻边构造平行四边形.问是否存在点P使得平行四边形是菱形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，中，，，点D是上一点，点M是上一动点，连接，将绕点M顺时针旋转得到，连接． (1)如图1，当点M与点A重合时，连接，猜想，和有怎样的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点M不与点A重合时，连接，求的度数； (3)若，，请直接写出当长度达到最小时的长． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点B在x轴上，，． (1)直接写出点A、B的坐标；A 、B ； (2)若点C从O点出发，沿射线运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，连接．求的面积S与时间t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． (3)加图3，在（2）的条件下，点C在线段上且时，点E在的延长线上，点D在的延长线上，，连接，．点F在上，点G在x轴负半轴上，点C是的中点．过点F作轴，点P在第一象限，连接，当，时，第一象限内存在一点Q，使四边形成为平行四边形，求出点Q的坐标． 【一览众山小】 1．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 2．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 3．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的n倍（n是正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”.以下是关于“2倍根方程”的说法： ①方程是2倍根方程； ②若关于x的方程是2倍根方程（m，t为常数）， 则； ③若，则关于x的方程是2倍根方程； ④若关于x的方程是2倍根方程，且，则方程有一个根为1. 则以上关于“2倍根方程”的说法中，正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 4．设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 5．如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 6．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 ． 7．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． (3)阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中． 解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题：    ①求等腰三角形的面积； ②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积． 8．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)方程_______________（选填“是”或“不是”）“邻根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程是常数，且是“邻根方程”，令，试求的最大值． 9．【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数的图象； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移________个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为________； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为的矩形的周长的取值范围为________． 10．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点，若点为的中点，． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线上一动点且位于直线下方，若有，请求出点坐标； (3)如图3，将直线平移得到直线，使得直线经过点，并交轴于点，点为直线上一动点，是否存在以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程解的估算 【解惑】解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴当在1与之间取某一个数时，可使， 即方程的其中一个解满足的范围是． 故选：B． 【融会贯通】 1．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可得：在和之间有一个值能使的值为0，于是可判断方程一个解x的取值范围为． 【详解】解：由题意得： 当时，， 当时，， ∴方程一个解x的取值范围为． 故选：C． 2．根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 3．根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 类型二、一元二次方程的应用——传播问题 【解惑】鸡瘟是一种传播速度很快的传染病．一鸡场3月12日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数是多少？ 【答案】每只病鸡传染健康鸡12只 【分析】设每只病鸡传染健康鸡只，则第一天有只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解． 【详解】解：设每只病鸡传染健康鸡只，由题意得： ， 整理，得， 解，得，（不符合题意舍去）． 答：每只病鸡传染健康鸡12只． 【融会贯通】 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染个人． (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染个人． （2）则第三轮的患病人数为：． 故答案为：． 2．某教育局组织教职工男子篮球比赛． (1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛? (2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长． 【答案】(1)有8支队参加比赛 (2)每个正方形的边长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，算术平方根的意义； （1）设有支队参加比赛，根据采用单循环赛制，共安排了28场比赛列方程求解即可； （2）先求出每个正方形的面积，再根据算术平方根的意义求出每个正方形的边长． 【详解】（1）解：设有支队参加比赛， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：有8支队参加比赛； （2）每个正方形的面积是平方米， 则每个正方形的边长为米． 3．2023年10月15日，公众号“健康南海”发布公益推文：“家长最关心的5大传染病，专家在线指导预防”，文中指出，“登革热”高发季节为夏秋季，一般为每年的5-11月份，预防“登革热”主要做好防蚊、灭蚊．“登革热”是一种传播速度很快的传染病，云南某市在9月2日发现一位确诊患者，两天后，该市共有81位确诊患者． (1)求每天平均一个人传染了多少人？ (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共多少人？ 【答案】(1)每天平均一个人传染了8人 (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共729人 【分析】（1）设每天平均一个人传染了x人，根据题意列方程即可解答； （2）根据（1）的数据即可求解； 本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每天平均一个人传染了x人． 由题意得，， 解得：（舍去）． ∴每天平均一个人传染了8人． （2）（人） 答：如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共729人． 类型三、一元二次方程的应用——动态几何问题 【解惑】如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    【答案】(1)； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【分析】（）根据题意列出关系式即可； （）列出方程，然后求解即可； （）的面积等于的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有实数根； 本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，， ∴， ∴； （2）∵， ∴当的面积是面积的时，， 整理得：， 解得：； （3）解：不存在，理由： 由（）得， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， 则不存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半． 【融会贯通】 1．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【答案】(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 2．已知：如图，在矩形中，，，动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动．当点停止运动时点也停止运动，设运动的时间为． (1)点和点两点从出发开始到几秒，四边形的面积是； (2)点和点两点从出发开始到几秒，点和点之间的距离是； (3)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)当为或或或时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形 【分析】本题属于动点问题，动点几何问题的解题方法：根据图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置），利用动点位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用数形结合的转化的思想将几何问题转化为函数和方程问题，进而通过函数的性质或解方程就可以解决问题了． （1）由题意，根据运动的时间为，表示出，根据四边形的面积是可列方程，解方程即可解答； （2）过于，则，由勾股定理可求出t的值，从而解答题目． （3）过于，由勾股定理得：，，，分为三种情况：①时，②时，③时，分别求解即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：作于，则， 由勾股定理得， 解得：(舍)． （3）解：作于， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， ， ， 分为三种情况：①时，即， 解得：(舍)， ②时，即， 解得：或， ∵时，，此时舍去； ③时，， 解得：或， 当为或或或时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形． 3．如图所示，中，，．    (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为? (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于? (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为? 【答案】(1)点之间的距离不可能为 (2)秒或秒 (3)秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，数形结合，分类讨论以及找准等量关系是解题的关键． （1）设经过秒，点之间的距离为，根据勾股定理列式求解即可； （2）设经过秒，使的面积等于，根据三角形面积公式列式求解即可； （3）分三种情况根据三角形面积公式列出方程：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在射线上；③点在射线上，点在射线上． 【详解】（1）解：设经过秒，点之间的距离为， 则， ， ， 在中，， 故， 化简得：， ， 故方程无解， 故点之间的距离不可能为； （2）解：设经过秒，使的面积等于， 则， ， ， 由题意得：， 解得， 故经过秒或秒，的面积等于； （3）解：①点在线段上，点在线段中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， 解得（舍去），， 故符合题意； ②点在线段上，点在射线中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， ， 解得符合题意； ③点在射线上，点在射线中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， 解得，（舍去）， 故符合题意； 综上所述，经过秒，秒，秒后的面积为． 类型四、配方法的应用 【解惑】先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)4 (2)4 (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用： （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可； 熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． （2）， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值是4． （3）设，则， 由题意，得花园的面积是， ， ， 的最大值是50，此时，，符合题意， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 【融会贯通】 1．（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 2．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据配方法进行配方即可求得答案； （2）根据配方法进行配方，得到即可求解； （3）根据，得到，设，得到面积关于x的表达式，再对表达式进行配方，即可求得最大值． 【详解】解：（1） ， ∵， 故答案为：1； （2）∵， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ， 设，则, ， ∴四边形的面积最大值为：50． 【点睛】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方 3．阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 【答案】(1)， (2) (3)当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元 【分析】（）由题意求出的最小值，即可求出的最小值； （）把代入化成的 形式，即可求出最小值； （）设参加活动的同学人数为人，人均投入为 ，化成的形式，即可求出答案； 本题考查了配方法的应用，解题的关键是要正确理解题意，把所求代数式化成公式中完全平方的形式． 【详解】（1）解：由题意得，当 即时，取最小值为，     ∴的最小值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∴当，即时，取最小值为， ∴的最小值为； （3）解：设参加活动的同学人数为人，则人均投入为， 当，即时，取最小值为， ∴最低费用是(元)， 答：当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元． 类型五、换元法的应用 【解惑】阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确材料中的换根法，根据实际的问题进行换根． （1）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． （2）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． 【详解】（1）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求方程为：． 故答案为：． （2）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求的方程为：． 故答案为：． 【融会贯通】 1．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，把视为一个整体，设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得即的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， ∵， 则． 2．阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体， 设…①， 那么原方程可化为，解得，， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴， 故原方程的解为，，， 以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； 请利用以上知识解方程： 【答案】， 【分析】运用换元法解一元二次方程即可求解，本题主要考查解一元二次方程的特殊解法，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设， ∴原方程可化为，解得，，， 当时，， ∵， ∴原方程无解； 当时，， ∴，解得  ； 故原方程的解为：，． 3．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)利用换元法解方程得到方程的解为______． (2)若，求的值． (3)利用换元法解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）设，代入得到，解得，，当时，，得到，此方程无解；当时，，得到，； （2）设，代入得到． 解得，，根据，得到； （3）设，则，代入得到，得到，解得，检验后得到，得到，得到，，检验后即得． 【详解】（1）设，则， 于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，， 移项得：， ∵， ∴此方程无解， 当时，， 解得，； 故答案为：，； （2）设，则该方程变为． 解得：，． ∵ ∴，即 （3）设，则， 原方程变形为：， 去分母，得， 即 解得，．    经检验，是分式方程的根． ∴ 即 解得：，． 经检验，是分式方程的根．   ∴原分式方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解决问题的关键是熟练掌握换元法的一般步骤设元、换元、解元、还原几步．解分式方程注意验根． 类型六、根与系数的对称式 【解惑】如果方程的两个根是、，那么，．请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知关于的方程，求出一个关于的一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数； (2)已知、满足，，求的值； (3)已知、、为实数，且，，若为中最大值，求的最小值． 【答案】(1) (2)的值为2或 (3)最小值为4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）根据题意可得，，进而得到，，据此可得答案； （2）当时，；当时，、可看作方程的两实数根，则，，据此求出答案即可； （3）先求出，，，进而得到是关于x的一元二次方程的两实根，再利用判别式求出c的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设方程的两根分别为、， 由题意得，，， ∴，， ∴所求新方程为， 整理得； （2）解：当时，； 当时，、可看作方程的两实数根，则，， ∴ ， 综上所述，的值为2或； （3）解：∵，，是，，中的最大者， ∴，，． ∴是关于x的一元二次方程的两实根， ∴ ∴， 整理得， ∴， ∴最小值为4． 【融会贯通】 1．阅读与思考 阅读材料并解决下列问题： 材料1 若一元二次方程的两根为，则，． 材料2 已知实数m，n满足，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，， ． 根据上述材料解决下面的问题： (1)一元二次方程的两根为，，则_________，_________． (2)已知实数m，n满足，且，求的值． (3)已知实数p，q满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求整式的值；理解一元二次方程根与系数的关系，会用整体代换法求整式的值是解题的关键． （1）中，，，代入 ，，即可求解； （2）由（1）得m，n是方程的两个不相等的实数根，即可求解； （3）由（1）得、是方程的两个不相等的实数根，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， 故答案：，； （2）解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得 ，， ； （3）解：， ， ， ， 、是方程的两个不相等的实数根， ，， ， ， ． 2．十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)k的值为1 (2)①，；②猜想：当时，，证明见解析 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义； （1）根据根与系数的关系即可求出答案． （2）①根据根与系数的关系，可得由根的定义可知，，，根据一元二次方程的解的定义可得，进而求得； ②根据题意，，，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实根， ∴ 解得：， 由根与系数的关系可知∶， ，即， 整理得：， 解得： (舍去)， ， ∴k的值为1． （2）①由根的定义可知，， 又∵是一元二次方程的两个实数根， ， ②猜想：当时， 证明：因为为方程的根，所以有，等式两边都乘以，得 同理可得： 两式相加可得： 根据题意，，， ∴，且根据题意，因此， 所以当3时，有． 3．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为， 则，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴， 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系直接作答即可； （2）根据根与系数的关系，得到，整体代入计算即可； （3）由题意可知，为方程的两个根，根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：． （2）∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）∵实数s、t满足，，且， ∴可以看作方程的两个根， ∴，， ∴． 类型七、一元二次方程的规律 【解惑】【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 【答案】（1）；（2）；（3）n的值为2或7 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“▲”的个数为，即可作答． （2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）观察图形，得出 第1个图案中，“▲”的个数为； 第2个图案中，“▲”的个数为； 第3个图案中，“▲”的个数为； 第4个图案中，“▲”的个数为； 以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为， 第2个图案中，“★”的个数可表示为， 第3个图案中，“★”的个数可表示为， …， 第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4 ∴ ∴ 解得 ∴n的值为2或7 【融会贯通】 1．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)第5个图案有___________颗黑色棋子，第n个图案中黑色棋子的颗数为___________； (2)据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)34； (2)不能，理由见解析 【分析】此题考查了图形变化规律的问题，能熟练运用归纳的方法从特殊到一般是解此题的关键． （1）根据图形中黑色棋子的个数总结规律，即可求解； （2）令第n个图形的代数式等于2024，求得n的值为正整数就能，否则就不能． 【详解】（1）解：由图可得，第一个图形有个黑色棋子； 第二个图形有个黑色棋子； 第三个图形有个黑色棋子； 第四个图形有个黑色棋子； ⋯， 由此可得，第五个图形有个黑色棋子， 第n个图形有个黑色棋子； 故答案为：34；； （2）解：不能；理由如下： 设第n个图形有2024颗黑色棋子， 由（1）可得，， 解得，， ∴用2024颗黑色棋子不能摆放成一个图案． 2．【观察思考】 如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，… 【规律发现】 依此规律，完成以下问题： （1）图⑤中共有小正方形的个数为______； （2）图中共有小正方形的个数为______； 【规律应用】 （3）已知一个物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第次测量时移动的距离多米，那么该物体在第次测量时移动了多少米？ 【答案】（1）35；（2）；（3）该物体在第次测量时移动了195米 【分析】该题是图形类规律题，主要考查了图形规律以及解一元二次方程，解题的关键是根据题意得出图象变化规律． （1）根据图得出规律即可解答； （2）根据图得出规律即可解答； （3）由（2）中规律结合题意得出，解答即可求解； 【详解】解：（1）图①中共有3个小正方形， 图②中共有个小正方形， 图③中共有个小正方形， 图④中共有个小正方形， 图⑤中共有个小正方形． 故答案为：35； （2）图①中共有3个小正方形， 图②中共有个小正方形， 图③中共有个小正方形， 图④中共有个小正方形， 图n中共有个小正方形． 故答案为：； （3）由题意得， 整理得，， 解得（舍去）， ． 答：该物体在第次测量时移动了195米． 3．高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： (1)图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：…； 图n的彩色正方形有： (2)图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； …；图n 的白色正方形有 个． (3)若图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n 中白色正方形的个数． 【答案】(1) (2) (3)图n中有66个白色正方形 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程： （1）求出前面几个图形中彩色正方形的个数，进而得到规律求解即可； （2）求出前面几个图形中白色正方形比彩色正方形的多的个数，进而得到规律求解即可； （3）求出前面几个图形中等边三角形的个数，进而得到规律求解即可； （4）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：， ……， 以此类推可知，图n的彩色正方形有， 故答案为：； （2）解：图1中，白色正方形比彩色正方形多1个； 图2中，白色正方形比彩色正方形多2个： 图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； ……， 以此类推可知，图n 的白色正方形比彩色正方形多n个， ∴图n 的白色正方形有个， 故答案为：； （3）解：图1中，等边三角形的个数为2个； 图2中，等边三角形的个数为3个： 图3 中，等边三角形的个数为4个； 图4中，等边三角形的个数为5个； ……， 以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个， ∵图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个， ∴， 解得或舍， 当时，， ∴图n 中白色正方形的个数为66个． 类型八、一元二次方程的新定义 【解惑】对于实数a，b，定义运算“”：，例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】的值为4或 【分析】本题考查了一元二次方程解法和新定义运用，解题时正确理解新定义并能够运用新定义是解题关键． 先解一元二次方程，再根据新定义进行计算． 【详解】解：∵ ∴ ∴或 ∴或； 当，时，； 当，时，． 【融会贯通】 1．对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算： （1）根据题目已知定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1） ； ； （2）是一元二次方程的根， ， 根据根与系数的关系得， ． 2．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 3．若是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)判断下列方程是否是“差根方程”： ①______； ②______；（填是或否） (2)已知关于的方程是“差根方程”，求a的值； (3)若关于的方程（是常数，）是“差根方程”，请写出与之间的数量关系式． 【答案】(1)否，是 (2) (3) 【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可． （2）根据是“差根方程”，解方程求得得到，从而得到； （3）设是一元二次方程（是常数，）的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到． 【详解】（1）解：①设是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴方程不是差根方程； ②设是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴方程是差根方程； （2）解：， 因式分解得：， 解得：， ∵关于x的方程是“差根方程”， ∴，即； （3）解：设是一元二次方程（是常数，）的两个实数根， ∴，， ∵关于x的方程（是常数，）是“差根方程”， ∴， ∴=1，即， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键． 类型九、阅读理解题 【解惑】阅读理解 材料一：若p，q，m为整数，且三次方程有整数解t，则将t代入方程得，移项得，即有，由于与t及m都为整数，因此t是m的因数．所以，对整数系数方程的整数解只可能是m的因数． 材料二：类比多位数的竖式除法，可以利用竖式除法进行多项式的除法． 例  解方程． 解：∵2的因数有，，将它们分别代入原方程， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴是方程的整数解． ∴有因式． 利用竖式除法，可得 ∴． ∴原方程化为． ∴或． ∴原方程的解为，，． 根据以上的阅读材料，解答下列问题： (1)方程的整数解可能有哪些？并求出它的整数解； (2)把多项式在有理数范围内因式分解； (3)解方程． 【答案】(1)可能有，；整数解为 (2) (3)，， 【分析】（1）根据题意可得方程的整数解可能有，．再分别代入方程，即可求解； （2）由（1）可知，方程的整数解为，所以有因式．然后利用竖式除法计算，即可求解； （3）的因数有，，将它们分别代入方程，可得有因式．然后利用竖式除法计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵3的因数有，， ∴方程的整数解可能有，． 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴是方程的整数解． （2）解：由（1）可知，方程的整数解为，所以有因式． ∵ ∴． （3）解：∵的因数有，，将它们分别代入方程， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴有因式． 利用竖式除法得: ∵ ∴． ∴原方程化为． ∴或． ∴原方程的解为，，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，理解阅读材料，利用类比思想解答是解题的关键． 【融会贯通】 1．阅读理解： 解方程：， 解：（1）当时，原方程化为， 解得：，（舍去）． （2）当时，原方程化为， 解得：（舍去），． 综上所述，原方程的解为，． 请参照上述方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据题意分为两种情况：（1）当时，原方程化为，（2）当时，原方程化为，求出方程的解即可． 【详解】解：(1)当即时， 原方程化为，即， 解得，， ∵ ， ∴ 或均不符合题意； (2)当即时， 原方程化为，即， 解得， ， 综上所述， 原方程的解为，． 【点睛】本题考查解一元二次方程的应用，解答此题的关键是进行分类讨论并正确去掉绝对值符号． 2．阅读理解： 转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验． 例如：解方程 解：两边平方得： 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． ∴原方程的根是． 解决问题： （1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为 ； （2）求满足的x的值； （3）代数式的值能否等于8 ? 若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）3；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）根据方程解的定义把x=1代入方程，解关于a的无理方程即可； （2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解； （3）将原方程变形为，两边平方，整理，再平方，得到此方程无解，得出结论即可． 【详解】解：（1）把x=1代入方程得， 两边平方得 3-a=1， 解得a=2， 经检验，a=2是方程的解， 故答案为：a=2； （2） 两边平方得： 解得：， 经检验，x2=-2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x1=3是原方程的根 ∴原方程的根是x=3； （3）不能． ， 原方程变形得， 两边平方得 整理得， 两边平方得， 此方程无解， ∴代数式的值不等于8． 【点睛】本题考查了学生的学习能力，能理解文本和提供的例题并结合所学知识灵活运用是解题的关键． 3．阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”，例如三个实数，3，4，因为的倒数为，而3与4的倒数和为，所以三个实数，3，4构成“和谐三数组”． 材料二：若关于x的一元二次方程的两根分别为，，则有，． 问题解决： (1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 　 　； (2)若，是关于x的方程（a，b，c均不为0）的两根，是关于x的方程（b，c均不为0）的解．求证：，，可以构成“和谐三数组”； (3)若A(m，)，B(m+1，)，C(m+3，)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)证明见解析 (3)m的值为-4或-2或2 【分析】（1）根据题意“和谐三数组”的定义直接写出即可； （2）根据材料2可得出，，从而可求出．再解出一元一次方程的解，即得出，从而得出，即证明，，可以构成“和谐三数组”； （3）先用m表示出，，，再根据“和谐三数组”的定义分类讨论①当时，②当时和③当时，分别解出m即可． 【详解】（1）根据题意得，能够成“和谐三数组”的实数为：和． 理由：实数的倒数为2，实数的倒数为3，实数的倒数为5． ∵5=3+2， ∴和能构成“和谐三数组”． 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：∵，是关于x的方程（a，b，c均不为0）的两根， ∴，． ∵是关于x的方程（b，c均不为0）的解， ∴． ∵，，的倒数分别为，，， 又∵，， ∴， ∴，，可以构成“和谐三数组”； （3）∵A(m，)，B(m+1，)，C(m+3，)三个点均在反比例函数的图象上， ∴，，． ∵A，B，C三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”， ∴可分类讨论：①当 时，即 ∴解得，经检验符合题意； ②当 时，即 ∴解得，经检验符合题意； ③当 时，即 ∴解得，经检验符合题意． 综上可知当m的值为-4或-2或2时A，B，C三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”． 【点睛】本题主要考查新定义的理解与运用，反比例函数图象上的点的坐标特征．读懂题意，理解“和谐三数组”的定义是解题关键． 类型十、一元二次方程与几何结合 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点． (1)求b的值和点B的坐标； (2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标； (3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）过点P作轴于点E，设点P的坐标为，则，根据，得到关于m的方程，即可； （3）设点D的坐标为，点Q的坐标为，分三种情况：若以为对角线时，若以为对角线时，若以为对角线时，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，    设点P的坐标为，则， 对于， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∵，的面积等于10， ∴， 解得：（舍去）， ∴点P的坐标为； （3）解：设点D的坐标为，点Q的坐标为， 若以为对角线时， ，解得：， ∴点Q的坐标为；此时，共线，经检验不符合题意； 若以为对角线时， ，解得：，经检验符合题意； ∴点Q的坐标为； 若以为对角线时， ，解得：，经检验符合题意； ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，中点坐标公式的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【融会贯通】 1．如图1，在平面直角坐标系中，已知边长为8的正方形的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上.点P是x轴正半轴上的一动点，连接，直线绕点P顺时针旋转与过A点的直线相交于点D，连接    (1)求k的值； (2)当点P在边上时（点P与点A不重合），判断形状，并说明理由； (3)如图2，取的中点E，连接，以，为邻边构造平行四边形.问是否存在点P使得平行四边形是菱形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)的值为1 (2)形状为等腰直角三角形，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或．理由见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的性质与菱形的性质，正方形的性质．综合运用以上知识点是解题的关键． （1）将点坐标代入求解即可； （2）根据等腰直角三角形的判定方法判定即可； （3）利用证明，得到，，，设，则，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，点坐标为． 代入， 可得：， 解得：． 的值为1． （2）直线绕点P顺时针旋转与过A点的直线相交于点D， ，， 形状为等腰直角三角形． （3）解：存在点P使得平行四边形是菱形． 则有．      理由：如图，过点作轴于点， ， ， ， 又， ， 又， ． ，， ， ， ． 设，则，， 是的中点， 是的中线， 在， ， ． 根据勾股定理： 在中，， ， 解得：，． 点的坐标为或． 2．如图，中，，，点D是上一点，点M是上一动点，连接，将绕点M顺时针旋转得到，连接． (1)如图1，当点M与点A重合时，连接，猜想，和有怎样的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点M不与点A重合时，连接，求的度数； (3)若，，请直接写出当长度达到最小时的长． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）证明，即可证明； （2）过点M作，交于点N，按照（1）的方法同理证明，问题即可作答； （3）过点M作，交于点G，根据，可得，再根据垂线段最短可知，当时，最短，再结合勾股定理以及等腰直角三角形的性质即可作答． 【详解】（1），理由： 根据旋转的性质有：，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （2）过点M作，交于点N，如图， ∵中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 根据旋转的性质有：，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过点M作，交于点G，如图， 在（2）中已求得， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，最短， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴在等腰中，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：（时，无法满足，故舍去）， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程以及垂线段最短等知识，灵活构造全等三角形，证明，是解答本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点B在x轴上，，． (1)直接写出点A、B的坐标；A 、B ； (2)若点C从O点出发，沿射线运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，连接．求的面积S与时间t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． (3)加图3，在（2）的条件下，点C在线段上且时，点E在的延长线上，点D在的延长线上，，连接，．点F在上，点G在x轴负半轴上，点C是的中点．过点F作轴，点P在第一象限，连接，当，时，第一象限内存在一点Q，使四边形成为平行四边形，求出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)； (3)． 【分析】（1）利用三角形面积公式列式计算即可求解； （2）由题意得，再分和时，两种情况讨论，利用角形面积公式列式计算列式即可求解； （3）求得，作，使，证明，推出是等腰直角三角形，证明四边形是平行四边形，求得，得到，，设，利用已知求得，在中，利用勾股定理列式计算求得，再平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， 解得， ∴点A、B的坐标分别为，， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 当时，； 当时，； 综上，； （3）解：∵点C在线段上且， ∴，解得， ∴，即， 作，使，如图， 设， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∴，， 设， ∴， ∵点C是的中点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵，即， 在中，，即， 整理得， 解得（舍去），， ∴，， ∴，， ∵， ∵四边形成为平行四边形， ∵点是由点向右平移5个单位，向上平移3个单位得到， ∴将点向右平移5个单位，向上平移3个单位得到． 【点睛】本题考查了坐标与的性质，勾股定理，解一元二次方程，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【一览众山小】 1．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、完全平方公式的几何背景等知识点，通过图形直观得到面积之间的关系并用代数式表示出来是解答本题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系即可解答． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示： 中间小正方形的边长，其面积为25， 大正方形的面积：，其边长为7， 因此，D选项所表示的图形符合题意． 故选：D． 2．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：由题意知，甲中， 丙中， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 3．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的n倍（n是正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”.以下是关于“2倍根方程”的说法： ①方程是2倍根方程； ②若关于x的方程是2倍根方程（m，t为常数）， 则； ③若，则关于x的方程是2倍根方程； ④若关于x的方程是2倍根方程，且，则方程有一个根为1. 则以上关于“2倍根方程”的说法中，正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据新定义推导一元二次方程根与系数的新关系、一元二次方程的解法等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 通过解出一元二次方程，结合“n倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“2倍根方程”的定义，得出或，进而得出、，然后再用十字相乘法分解即可判定②；通过解出一元二次方程，结合“2倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“2倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而得出，求出解即可判断说法④． 【详解】解：①解方程得可得：， ∴方程不是2倍根方程，故①错误； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴，， ∴，即，故②错误； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是2倍根方程， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则，故④正确． 综上所述，关于2倍根方程的说法正确的为：③④． 故选：D． 4．设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系； 首先根据根的判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系求出满足条件的k值即可解答． 【详解】方程的两个实数根， ，，， 解得：， ， ， ， 解得：，， ， ． 故答案为：1． 5．如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．设经过x秒，的面积等于，分类讨论当秒时，Q点在上运动，P在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，Q点在上运动，P在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值． 【详解】解：设经过x秒，的面积等于， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ，， ∴， 解得或4， 又知， 故符合题意， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ， 解得． 故答案为：2或． 6．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，则原方程可化为，根据关于x的一元二次方程的解为，得到，于是得到结论． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ∵关于x的一元二次方程的解为， ∴， ∴或， 解得． 故答案为：． 7．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． (3)阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中． 解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题：    ①求等腰三角形的面积； ②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积． 【答案】(1) (2)10 (3)①；② 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知一元二次方程根的判别式大于或等于0列出不等式求解即可； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，然后运用三角形的周长公式即可解答； （3）①由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积；②根据角平分线的性质以及的面积看求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：． （2）解：由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：． （3）解：①由(2)知：的三边长为， ∴， ∴． ②过I分别作，    ∵和的角平分线交于点I， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 8．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)方程_______________（选填“是”或“不是”）“邻根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程是常数，且是“邻根方程”，令，试求的最大值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)当时，有最大值，最大值为16 【分析】本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． （1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出最大值； 【详解】（1）解：∵， ， 解得：， ∵，不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵关于的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ， ， ∴或； （3）解：∵关于的方程是常数是邻根方程， 设两个根分别为， ， 由韦达定理：， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为16， 答：的最大值为16． 9．【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数的图象； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移________个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为________； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为的矩形的周长的取值范围为________． 【答案】（1）一；（2）①见解析；②；（3）① ；； ②见解析，个交点时，；个交点时，；个交点时，；（4） 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据x、y是边长求解即可； （2）①利用描点法画函数 的图象即可；②利用描点法画函数的图象，的图象即可，根据图象平移规则：上加下减求解即可； （3）①联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求解即可； ②由①并结合图象可求解； （4）仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可． 【详解】解：（1），都是边长，周长为， ，，， 满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①的图象如图所示： ②的图象如图所示， 与轴的交点为， 的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：； （3）①联立方程组可得：， 整理得：， 两图象有唯一交点， ， ， ， 解得：， 交点坐标为，周长， 故答案为：，； ②由①知：个交点时，；个交点时，；个交点时，； （4）设相邻的两边长为、，则，，即，， 联立方程组可得， 整理得：， 两函数有交点， ， ， 故答案为：． 10．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点，若点为的中点，． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线上一动点且位于直线下方，若有，请求出点坐标； (3)如图3，将直线平移得到直线，使得直线经过点，并交轴于点，点为直线上一动点，是否存在以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）分别令求得点，，根据题意得出，，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，进而根据三角形的面积公式求得，根据建立方程，即可求解； （3）根据平移可得的解析式为，得出，设，又，根据勾股定理表示出，进而分三种情况讨论，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线：，当，则，当，则， ∴， ∴ ∵，点在轴负半轴，则， ∵是的中点， ∴ 设直线的解析式为，代入，， 解得： ∴直线的解析式为； （2）∵， ∴ 联立， 解得： ∴ ∵在直线上，设， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴坐标为 （3）解：将直线平移得到直线，使得直线经过点，并交轴于点， ∴的解析式为 当时，，则， ∵点为直线上一动点， 设，又， ∴，， ①当时，，解得： ∴ ②当时，，解得： ∴或 ③当时，，解得：或 ∴ 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，解一元二次方程，三角形的面积问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$