专题02 一元二次方程（基础类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题02一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的认识 【解惑】下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（　　） （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．请写一个一元二次方程 ． 3．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中一定是关于x的一元二次方程的有 （把所有正确选项的序号都填上） 类型二、一元二次方程的一般形式 【解惑】将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（　　） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 【融会贯通】 1．将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．5，7， B．，7，1 C．5，， D．5，，0 2．方程的一次项系数是．则常数项是 ， 3．若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为 ． 类型三、一元二次方程的解 【解惑】关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【融会贯通】 1．若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为（　　） A． B． C．2 D．6 2．若是方程的一个根，则的值是 ． 3．已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 类型四、判断一元二次方程的根 【解惑】关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【融会贯通】 1．已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．一元二次方程的根的判别式的值为 ． 3．对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 类型五、运用根与系数关系公式求解 【解惑】已知一元二次方程的两根为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【融会贯通】 1．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如果α、β是一元二次方程的两个根，那么α与β的和是 ． 3．方程 的两个实数根分别是，，则 的值是 ． 类型六、解一元二次方程——直接开平方法 【解惑】解方程：； 【融会贯通】 1．解方程：． 2．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 3．解方程 (1) (2) 类型七、解一元二次方程——配方法 【解惑】解下列方程: (1) ； (2) 【融会贯通】 1．解方程： (1)． (2)． 2．选取最恰当的方法解方程： (1)； (2)． 3．解方程： (1)； (2)． 类型八、解一元二次方程——公式法 【解惑】用公式法解方程：． 【融会贯通】 1．解方程： (1)； (2)． 2．解下面方程 (1); (2)． 3．选用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 类型九、解一元二次方程——因式分解法 【解惑】解方程：． 【融会贯通】 1．解方程：． 2．解方程：． 3．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 类型十、一元二次方程的应用——数字问题 【解惑】已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数． 【融会贯通】 1．一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 2．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是119，请求出最小数与最大数分别是多少． 3．已知3个连续整数的和是，它们的平方和是，且，求这3个连续整数． 【一览众山小】 1．方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 3．方程的根是（    ） A．， B．， C． D． 4．若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为 5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 6．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 7．判断下列方程是否为一元二次方程： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 8．解一元二次方程： (1) (2) 9．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 10．阅读探究有关个位数是5的整数的平方简便计算问题. 观察下列算式： 152=1×2×100＋25=225；252=2×3×100＋25=625；352=3×4×100＋25=1225…… （1）请你写出952的简便计算过程及结果； （2） 其实这种方法也可以推广到个位数是5的三位数的平方，证明略. ① 请你写出1152的简便计算过程及结果. ② 用计算或说理的方式确定9852－8952的结果末两位数字是多少？ （3）已知一个个位数是5的整数的平方是354025，请用方程的相关知识求这个数. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的认识 【解惑】下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（　　） （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为是一元二次方程． 【详解】解：（1）符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； （2）由已知方程得到，属于一元一次方程，不是一元二次方程； （3）方程二次项系数可能为0，不是一元二次方程； （4）不是整式方程，不是一元二次方程． ∴是一元二次方程是（1），共有1个， 故选：A． 【融会贯通】 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是． 本题根据一元二次方程的定义求解． 【详解】解：A、该方程属于分式方程，不符合题意； B、该方程中，当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意； C、化简得：符合一元二次方程的定义，符合题意； D、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2．请写一个一元二次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义写出一个一元二次方程即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式是（，，为常数，）， 是一个一元二次方程， 故答案为：（答案不唯一）． 3．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中一定是关于x的一元二次方程的有 （把所有正确选项的序号都填上） 【答案】④⑦ 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答此题的关键．根据一元二次方程的概念：含有一个未知数且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；据此即可判断得解． 【详解】解：①虽然是只含有一个未知数的整式，并且未知数的最高次数是2，但它不是等式，故不是方程； ②不是整式方程；不是一元二次方程； ③是整式方程，可整理为，符合一元二次方程的概念，故是一元二次方程，但不是关于x的方程； ④整理为，是一元二次方程； ⑤不一定是一元二次方程，因为当时，它不是一元二次方程，只有当时，它是一元二次方程； ⑥整理为，它是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑦可整理为，因为不可能等于0，所以是一元二次方程； ⑧不是整式方程，不是一元二次方程． 答案：④⑦ 类型二、一元二次方程的一般形式 【解惑】将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（　　） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据完全平方公式、移项把原方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 【融会贯通】 1．将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．5，7， B．，7，1 C．5，， D．5，，0 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵方程化成一般形式是， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为、、， 故选：D． 2．方程的一次项系数是．则常数项是 ， 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项，进行求解即可． 【详解】解：方程化为一般形式是的常数项是1， 故答案为；1． 3．若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为． 先将原方程括号展开，再合并同类项，化为一般式，根据原方程化为一般形式后为，得出，求出a、b、c的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∵原方程化为一般形式后为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 类型三、一元二次方程的解 【解惑】关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．将代入得到关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：是x的一元二次方程，且一个根是0， 故，即， 将代入， 即， 解得， 由于， ． 故选：B． 【融会贯通】 1．若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为（　　） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 把代入一元二次方程中即可解得的值． 【详解】解：把代入一元二次方程中得：， 解得：． 故选：A． 2．若是方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：． 故答案为： 3．已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义得到，再根据，代入求解即可求． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 即， ， 将代入得：原式， 故答案为：0． 类型四、判断一元二次方程的根 【解惑】关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值，即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【融会贯通】 1．已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式．熟练掌握点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由点在第二象限，可得，则，由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】57 【分析】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 直接利用根的判别式求出答案． 【详解】解：一元二次方程整理成一般形式为： ∴根的判别式的值是：． 故答案为57． 3．对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 【答案】方程没有实数根 【分析】本题考查了根的判别式，计算方程根的判别式，判断其符号即可，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 【详解】∵， ∴ ， ∴不论k为何值，，即， ∴方程没有实数根， 故答案为：方程没有实数根． 类型五、运用根与系数关系公式求解 【解惑】已知一元二次方程的两根为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系：，直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】由题意得： 故选：C． 【融会贯通】 1．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到和的值，整体代入即可． 【详解】根据根与系数的关系得：， 所以 故选：A． 2．如果α、β是一元二次方程的两个根，那么α与β的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由根与系数的关系直接可解．掌握根与系数的关系：、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． 【详解】解：，是方程的两个根， ， 故答案：． 3．方程 的两个实数根分别是，，则 的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为：． 类型六、解一元二次方程——直接开平方法 【解惑】解方程：； 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 【融会贯通】 1．解方程：． 【答案】或 【分析】把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴或； 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用直接开平方法解方程是解本题的关键． 2．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法即可求解． （2）利用直接开方法即可求解． （3）利用直接开方法即可求解． 【详解】（1）解：原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （2）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （3）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． 【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，熟练掌握其方法是解题的关键． 3．解方程 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先将二次项系数化为1，再根据平方根的定义即可求解； （2）先将常数项移到等式右边，再根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：， 二次项系数化1得：， 开平方得：， 解得：或． （2）解： 移项得：， 开立方得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了利用平立方根及立方根解方程，解题的关键是熟记开平方及开立方的定义． 类型七、解一元二次方程——配方法 【解惑】解下列方程: (1) ； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 配方，得， 即， 根据平方根的意义，得， 即或， 解得， ； （2）解：， ， ， 或， 解得，． 【融会贯通】 1．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）利用配方法求解即可； （2）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）， ， ， 或， 解得，． 2．选取最恰当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． （1）先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 所以， ； （2）， ， ， 或， 所以． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴； （2） 或， ∴． 类型八、解一元二次方程——公式法 【解惑】用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，先求出，再由求根公式，即可求解；掌握求根公式“”是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ，． 【融会贯通】 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ，． 2．解下面方程 (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程,一元一次方程及整式的加减． （1）利用公式法解一元二次方程相对更容易; （2）利用因式分解法解一元二次方程更容易． 【详解】（1）解:, , , , ∴; （2）解:, 移项得:, 因式分解得:, 整理得:, ∴或, ∴． 3．选用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用直接开平方法，因式分解法，公式法解一元二次方程是解本题的关键． （1）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可； （2）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可； （3）先计算，再利用求根公式解方程即可； （4）先把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴，， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， ∴， ∴或， 解得：，． 类型九、解一元二次方程——因式分解法 【解惑】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程．用提公因式法即可求解． 【详解】解：分解因式得：， 可得或， 解得：，． 【融会贯通】 1．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，注意计算的准确性即可． 【详解】解：， ∴ ∴ 2．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程；将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程即可； 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 即或， 解得，； 3．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 两边同除以2得：， 开平方得：， ∴，； （2）解：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 类型十、一元二次方程的应用——数字问题 【解惑】已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知数量关系列一元二次方程，再解方程即可，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：，即， 解得， 即这个数为． 【融会贯通】 1．一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 【答案】16或49 【分析】设一位数为，则两位数为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】设一位数为，则两位数为． 则根据题意可得：，   整理得：． 分解得：， 解得：，． 答：这个两位数为16或49． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示为；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键． 2．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是119，请求出最小数与最大数分别是多少． 【答案】最小数为7，最大数为17 【分析】设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可．本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为7，最大数为17． 3．已知3个连续整数的和是，它们的平方和是，且，求这3个连续整数． 【答案】这3个连续整数为4，5，6 【分析】本题考查有理数的加法和二元一次方程的应用，根据题意列出方程再进行计算即可． 【详解】设这3个连续整数为，，， 由题意可得，， ， 又知， 即， 解得或（舍去）， 故， ，． 故这3个连续整数为4，5，6． 【一览众山小】 1．方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了因式分解法解方程，解方程求出两个根，可得结论．正确分解因式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴， 故选：C． 2．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据得判断即可．本题考查了方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 3．方程的根是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直接开方法解方程，利用直接开方法进行求解即可． 【详解】解：由，得， 两边开平方，得， ∴，． 4．若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：将代入原方程得， ， 解得． 故答案为：． 5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式即可求解．当判别式时，方程有两个不相等的实数根；当判别式时，方程有两个相等的实数根；当判别式时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴ 故答案为：． 6．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 7．判断下列方程是否为一元二次方程： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 【答案】①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义逐个判定即可求解．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：①是一元二次方程； ②中有2个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④中未知数在分母上，是分式方程，不是一元二次方程； ⑤，即不是一元二次方程； ⑥是一元二次方程； 综上，①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是． 8．解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，并能灵活选择合适的解法进行求解是解题的关键．根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： 或 ， （2） 或 ， 9．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程和分式方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用配方法求解即可； （4）两边都乘以，化分式方程为整式方程，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， ， 则或， 解得，； （2）， ， 则， 或， 解得，； （3）， ， 则，即， ， 则，； （4）两边都乘以，得：， 整理，得：， 解得，， 检验：当时，，舍去； 当时，； 所以分式方程的解为． 10．阅读探究有关个位数是5的整数的平方简便计算问题. 观察下列算式： 152=1×2×100＋25=225；252=2×3×100＋25=625；352=3×4×100＋25=1225…… （1）请你写出952的简便计算过程及结果； （2） 其实这种方法也可以推广到个位数是5的三位数的平方，证明略. ① 请你写出1152的简便计算过程及结果. ② 用计算或说理的方式确定9852－8952的结果末两位数字是多少？ （3）已知一个个位数是5的整数的平方是354025，请用方程的相关知识求这个数. 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②0；（3）595． 【分析】（1）结果=十位数字×（十位数字+1）×100+25； （2）①结果=前两位数字×（前两位数字+1）×100+25；②末两位数字都是25，那么可得相减后的末两位数字； （3）可设未知数位上的数字为x，那么x（x+1）×100+25=354025，求得正整数x，进而加上最后一位上的5即可． 【详解】解：（1）952=9×10×100+25=9025； （2）①1152=11×12×100+25=13225； ②因为9852的末两位为25，而8952的末两位也为25，所以9852-8952的末两位数字都为零； （3）笼统地设未知数位上的数为x，由题意有 x（x+1）×100+25=354025， x（x+1）×100=354000， x（x+1）=3540， 左边为相邻两整数的积，把3540“分解”为两个相邻整数，即3540=59×60， 故 x=59． 所以这个三位数为595． 【点睛】考查规律性的数字问题及一元二次方程的应用；得到末尾数字是5的数的平方的计算规律是解决本题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$