专题02 一元二次方程（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题02一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据一元二次方程定义求参 【解惑】若关于的方程是一元二次方程，则的值不能为（  ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程，则 ． 3．已知关于的方程是一元二次方程，则为 . 类型二、代入方程解求参 【解惑】如果2是方程的一个根，则常数k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【融会贯通】 1．已知是关于x的方程的一个根，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 2．已知是方程的根，则代数式的值为 ． 3．若m是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 类型三、整体代入求值 【解惑】若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【融会贯通】 1．已知一元二次方程的一个根是，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．设、是方程的两根，则 ． 3．已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 类型四、变形求值 【解惑】已知，则式子的值是（    ） A．1 B． C．2 D．0 【融会贯通】 1．已知a是方程的一个根，则的值为（    ）． A． B．2022 C．2021 D．无法计算 2．已知是方程的一个根，则= ． 3．已知a是方程的一个根，则 ． 类型五、赋值求解 【解惑】已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，2 D．，2 【融会贯通】 1．方程的一个根为（    ） A．1 B． C． D． 2．如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程的根是 ． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … 3．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为 ． 类型六、根据判别式求参 【解惑】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 类型七、根与系数关系变形求解 【解惑】若方程 的两根为，，则 的值为：（   ） A．2 B． C． D． 【融会贯通】 1．已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 2．已知是一元二次方程的两根，则的值为 ． 3．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 类型八、一元二次方程的应用——增长、降低率问题 【解惑】2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来共建“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年进出口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出口贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率． 【融会贯通】 1．刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利元．4月份的盈利达到元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同． (1)求每个月盈利的增长率； (2)按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元． 2．我国高铁发展迅速，年国内某高铁制造企业的净利润为亿元，年它的净利润比年增加了．“一带一路”又使中国高铁发展进入快车道，预计2015年该企业的净利润为亿元． (1)求年该企业的净利润； (2)求年到年该企业净利润的平均增长率是多少． 3．聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元． (1)求该市改造小区投入资金的年平均增长率； (2)2023年小区改造的平均费用为每个80万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 类型九、一元二次方程的应用——图形问题 【解惑】如图是一张长dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm（用含x的式子表示）． (2)若要制作一个底面积是40 dm2的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【融会贯通】 1．某单位组织员工前往南京保利大剧院欣赏表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？    2．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成． (1)若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 3．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为位置的墙最大可用长度为），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留宽的门（不用木栏），建成后木栏总长． (1)若饲养场（矩形）的一边长为，则_______________m． (2)若饲养场（矩形）的面积为，求边的长． (3)饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 类型十、一元二次方程的应用——销售问题 【解惑】某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件）． (1)与的函数关系式为________； (2)要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？ 【融会贯通】 1．某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价； (1)2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率； (2)若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？ 2．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个． (1)当售价小于25元时，试求第二天起每天的销售量y（个）与每个售价x（元）之间的函数关系式； (2)如果前两天共获利525元，且第二天销售数量不低于30个，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元？ 3．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 【一览众山小】 1．某商场在“五·一”当天将定价为200元的某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元，已知两次降价的百分率相同，则要求每次降价的百分率，可列式为（    ） A． B． C． D． 2．若方程没有实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 3．用长的篱笆，围成一个一面靠墙面积为的长方形场地，求这个长方形的长和宽．设平行于墙的一边为，可得方程（    ） A． B． C． D． 4．已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 5．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 6．将个数、、、排成行列，两边各加一条竖直线记成，定义．若，则 ． 7．某菜农每年的种植成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为5万元，可变成本逐年增长．已知该菜农第1年的可变成本为万元，如果该菜农第3年的种植成本为万元，求可变成本每年平均增长的百分率． 8．已知一元二次方程的两实数根为、，不解方程，求的值． 9．某商店以元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售（元/千克）之间函数关系如图所示． (1)求与函数关系式； (2)商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为多少？ 10．关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据一元二次方程定义求参 【解惑】若关于的方程是一元二次方程，则的值不能为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，据此即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义可知二次项的系数不能为0，即可得到，从而解题． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， 即， 故选：B． 2．若是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】0 【分析】此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义求出m的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：0． 3．已知关于的方程是一元二次方程，则为 . 【答案】 【分析】一元二次程的一般形式：（），据此进行求解即可． 【详解】解：由题意得 ， 解得：； 故答案：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键，含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程． 类型二、代入方程解求参 【解惑】如果2是方程的一个根，则常数k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，把代入已知方程，从而列出关于的新方程，通过解方程来求的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 解得 ； 故选：A． 【融会贯通】 1．已知是关于x的方程的一个根，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解求参数，将代入方程求解即可． 【详解】解：是关于x的方程的一个根， ， 解得：， 故选：A． 2．已知是方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】此题考查了代数式的值、方程根的定义，整体代入是解题的关键．由一元二次方程根的定义得到，再整体代入代数式即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若m是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程得到，再计算即求值即可． 【详解】解：把代入方程得： ，即， 则， 故答案为：4． 类型三、整体代入求值 【解惑】若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．已知一元二次方程的一个根是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，然后利用整体代入求值即可，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， 则， 故选：． 2．设、是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入式子求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，， ∴ 故答案为：． 3．已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义．理解一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．将代入即可求解． 【详解】解：已知是一元二次方程的一个解 ，即， 故答案为：． 类型四、变形求值 【解惑】已知，则式子的值是（    ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的求根公式即可求出答案； 【详解】由一元二次方程的求根公式可知：的其中一个解为, 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的求根公式，本题属于基础题型． 【融会贯通】 1．已知a是方程的一个根，则的值为（    ）． A． B．2022 C．2021 D．无法计算 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程的解的定义，得到，然后将其变形得到a2=2022a-1，a2+1=2022a，最后整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴a2=2022a-1，a2+1=2022a， ∴原式=2022a-1-2021a+ =a-1+= =-1 =2021，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，整体代入求代数式的值，关键是运用整体代入的思想． 2．已知是方程的一个根，则= ． 【答案】2026 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根的定义，由根的定义得到，恒等变形代入代数式化简求值即可得到答案． 【详解】解：是方程的一个根， ，则，且， ， 故答案为：2026． 3．已知a是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 【详解】∵a是方程的一个根，且， ∴，即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 类型五、赋值求解 【解惑】已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，2 D．，2 【答案】C 【分析】根据方程的两个根分别为，3，得到，或，即可求解， 本题考查了，一元二次方程的解，解题的关键是：理解方程的解． 【详解】解：∵的两个根分别为，3， ∴中，，或， 解得：或， 故选：C． 【融会贯通】 1．方程的一个根为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】分别把各选项代入方程，判断方程两边是否相等即可求解． 【详解】解：把代入方程得，， ∴是方程的解，故A符合题意； 把代入方程得，， ∴不是方程的解，故B不符合题意； 把代入得，， ∴不是方程的解，故C不符合题意； 把代入方程得，， ∴不是方程的解，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟记方程的解的定义是解题的关键． 2．如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程的根是 ． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … 【答案】， 【分析】观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和3时，， ∴方程的根是：，， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 3．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为 ． 【答案】/1.5/ 【分析】根据方程根的定义得到，，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54变形后，利用整体代入，得到关于a的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可． 【详解】解：∵关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n， ∴， ∴， ∵(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54， ∴[2（am2－2bm＋a）] [3(an2－2bn)－2a]＝54 ∴ 解得或 ∵ab≠0 ∴a，b均为非零实数， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键． 类型六、根据判别式求参 【解惑】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．牢记“当方程有两个不相等的实数根时，”是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 【融会贯通】 1．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解不等式，对于（1），根据题意可知，再求出解即可； 对于（2），根据取值范围求出m的值，再求出方程的解即可． 【详解】（1）解：依题意，得 ． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴． ∴； （2）解：∵m为满足条件的最大整数， ∴． ∴， ∴． 类型七、根与系数关系变形求解 【解惑】若方程 的两根为，，则 的值为：（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据方程 的两根为，得，，根据进行计算即可得；掌握一元二次方程根与系数的关系，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，． 先把通分后化为，根据根与系数的关系得代入进行计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ， ， 故选：A． 2．已知是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 3．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， ∴ 解得：． （2）解：原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去）， 类型八、一元二次方程的应用——增长、降低率问题 【解惑】2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来共建“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年进出口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出口贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程实际问题．根据题意设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为，再根据题干信息列出方程并正确计算即为本题答案． 【详解】解：设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为， ∵2021年进出口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元， ∴，解得：或（舍）， ∴这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为， 【融会贯通】 1．刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利元．4月份的盈利达到元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同． (1)求每个月盈利的增长率； (2)按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元． 【答案】(1)每个月盈利的增长率为 (2)按照这个增长率，估计这家商店5月份的盈利将达到元 【分析】（1）设每个月盈利的增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解增长率． （2）由第一问所求增长率即可求解． 【详解】（1）解：设每个月盈利的增长率为，依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每个月盈利的增长率为． （2）解：（元）． 答：按照这个增长率，估计这家商店5月份的盈利将达到元． 【点睛】本题考查一元二次方程中的增长率问题．正确理解题意是解题关键． 2．我国高铁发展迅速，年国内某高铁制造企业的净利润为亿元，年它的净利润比年增加了．“一带一路”又使中国高铁发展进入快车道，预计2015年该企业的净利润为亿元． (1)求年该企业的净利润； (2)求年到年该企业净利润的平均增长率是多少． 【答案】(1)年该企业利润为亿元 (2)年到年该企业净利润的平均增长率是 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键． （1）年国内某高铁制造企业的净利润为亿元，年它的净利润比年增加了．据此列式计算即可； （2）设2013年到2015年该企业净利润的平均增长率为x，预计2015年该企业的净利润为亿元．据此列方程并解方程即可． 【详解】（1）年该企业利润（亿元）． （2）设2013年到2015年该企业净利润的平均增长率为x，依题意得 解得 （不合题意，舍去） 答：年到年该企业净利润的平均增长率是． 3．聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元． (1)求该市改造小区投入资金的年平均增长率； (2)2023年小区改造的平均费用为每个80万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 【答案】(1) (2)21个小区 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x，根据2023年投入资金金额2021年投入资金金额（年平均增长率），列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）用2024年投入的费用除以改造的平均费用即可求解． 【详解】（1）解：设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为； （2）解：． 答：该市在2024年最多可以改造21个小区． 类型九、一元二次方程的应用——图形问题 【解惑】如图是一张长dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm（用含x的式子表示）． (2)若要制作一个底面积是40 dm2的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】(1)， (2) dm 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意即可求解； （2）求解方程即可． 【详解】（1）解：由图示可知：无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm 故答案为：， （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 dm 【融会贯通】 1．某单位组织员工前往南京保利大剧院欣赏表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？    【答案】长方形等候区的边为15米，为20米 【分析】如图：设长方形等候区的边为x米，则米，然后再根据“设立一个面积为300平方米的长方形等候区”列一元二次方程即可解答． 【详解】解：如图：设长方形等候区的边为x米，则米，    由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，应舍去；当时，，符合题意． 答：长方形等候区的边为15米，为20米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、正确表示出长方形的长和宽、列出一元二次方程是解答本题的关键． 2．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成． (1)若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)长和宽分别为18米，10米 (2)不能达到200m2，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出长方形面积，由此建立方程求解即可； （2）利用长方形的面积公式列方程，解答即可． 【详解】（1）解：设，则； 根据题意列方程，得： ， 解得； 当时，（米）， 当时，（米），不合题意舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为18米，10米； （2）根据题意列方程得， ， 整理得出：； ， 故此方程没有实数根， 答：满足条件的花园面积不能达到． 3．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为位置的墙最大可用长度为），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留宽的门（不用木栏），建成后木栏总长． (1)若饲养场（矩形）的一边长为，则_______________m． (2)若饲养场（矩形）的面积为，求边的长． (3)饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】(1)27 (2)边的长为 (3)饲养场的面积不能达到，详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）直接根据图形计算即可； （2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解； （3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：(米)． 故答案为：27． （2）解：设米， 则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 当时，(米)， ，符合题意， 答：边的长为8米． （3）解：不能，理由如下： 设米， 则米， 依题意得：， 整理得：． ， ∴该方程没有实数根， ∴饲养场的面积不能达到198平方米． 类型十、一元二次方程的应用——销售问题 【解惑】某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件）． (1)与的函数关系式为________； (2)要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）由题意易得日销售量与销售单价成反比，得到，即可解得 （2）根据一次函数的性质即可求解 【详解】（1）根据题意得，， 故与的函数关系式为 （2）， 解得：，（舍去）， 故答案为：40元 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键 【融会贯通】 1．某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价； (1)2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率； (2)若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？ 【答案】(1)20% (2)当该商品每个销售定价为75元时，进货250个 【分析】（1）设该小家电出厂平均每年下调的百分率为，则2020年该小家电出厂价是每台，则2021年该小家电出厂价是每台，根据到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元可列方程为，解方程即可； （2）根据利润售价进价，进而求出即可． 【详解】（1）设平均每年下调的百分率为，根据题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：平均每年下调的百分率为20%； （2）设每个商品的定价是元， 由题意可得： 解得：，， 当时，进货个，不符合题意，舍去； 当时，进货个，符合题意． 答：当该商品每个销售定价为75元时，进货250个． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键． 2．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个． (1)当售价小于25元时，试求第二天起每天的销售量y（个）与每个售价x（元）之间的函数关系式； (2)如果前两天共获利525元，且第二天销售数量不低于30个，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元？ 【答案】(1) (2)第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元 【分析】（1）利用销售量每个降低的钱数，即可找出与之间的函数关系式，再结合每个“冰墩墩”的进价及从第二天起降价销售，即可得出自变量的取值范围； （2）利用总利润每个的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合（1）中的取值范围及第二天销售数量不低于30个，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：依题意得：． （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，，符合题意． 答：第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元． 3．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元； (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析 【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答； （3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答． 【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，． （2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要让利于顾客， ∴． 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． （3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元． 【一览众山小】 1．某商场在“五·一”当天将定价为200元的某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元，已知两次降价的百分率相同，则要求每次降价的百分率，可列式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均变化率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率均为，由题意，得： ； 故选C． 2．若方程没有实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“”时，该方程无实数根． 直接利用根的判别式进行判断，求出的取值范围即可． 【详解】由题意得： 故选：D． 3．用长的篱笆，围成一个一面靠墙面积为的长方形场地，求这个长方形的长和宽．设平行于墙的一边为，可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．根据长方形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， 根据题意得，， 故选：B． 4．已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的变形，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 先根据根与系数关系得出，再把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：12． 5．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，一元二次方程的根与系数的关系等知识．先通分计算括号里的，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，最后代值求解即可． 【详解】解： ∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴原式． 故答案为：3． 6．将个数、、、排成行列，两边各加一条竖直线记成，定义．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据新定义，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，可得：， 整理，得：， 解得：； 故答案为：． 7．某菜农每年的种植成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为5万元，可变成本逐年增长．已知该菜农第1年的可变成本为万元，如果该菜农第3年的种植成本为万元，求可变成本每年平均增长的百分率． 【答案】可变成本平均每年增长的百分率为20% 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设可变成本平均每年增长的百分率为x，根据该菜农第3年的种植成本为万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设可变成本平均每年增长的百分率为x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：可变成本平均每年增长的百分率为． 8．已知一元二次方程的两实数根为、，不解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是求出，， 由根与系数的关系可得出，，将转化为只含和的形式，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两实数根为、， ∴，， ∴． 9．某商店以元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售（元/千克）之间函数关系如图所示． (1)求与函数关系式； (2)商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为多少？ 【答案】(1)； (2)商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为元． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，利用数形结合的思想解答即可； （1）根据函数图像可以设出函数解析式，函数图像过点，，从而可以求出函数的解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程和不等式，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 则， 解得，， 即与函数关系式是； （2）商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，设销售单价应定为元/千克， ， 解得，或， 又， 解得，， 故， 即商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为元． 10．关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，解不等式即可得出答案； （2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可； （3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合题意求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，     解得； （2）解：∵是符合条件的最大整数， ∴的值为6， ∴方程变形为， 解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴的值为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$