专题02 整式的乘除（基础类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题02整式的乘除思维导图 【类型覆盖】 类型一、判断是否是因式分解 【解惑】下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是 ．（填序号） 3．下列各式能在实数范围内因式分解的是：①；②；③；④；⑤；⑥． （请填序号）． 类型二、科学记数法 【解惑】2023年8月29日华为公司上市的华为Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟900处理器，这款处理器是华为首款采用制程技术的手机芯片，．其中数据用科学记数法表示为，则n的值为（    ） A．8 B． C．9 D． 【融会贯通】 1．2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 2．一个正方体的棱长为，则它的体积是 （结果用科学记数法表示）． 3．中国天宫空间站以米/秒的速度绕地球飞行，每天能绕地球飞行约16圈，每圈约需秒，则天宫空间站绕地球飞行一圈的路程约为 米（结果用科学记数法表示）． 类型三、同底数幂相乘 【解惑】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知，则的值（    ） A．32 B．16 C．4 D．2 2．若，则 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 类型四、幂的乘方运算 【解惑】若，则的值为 （    ） A．16 B．−16 C．8 D．4 【融会贯通】 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．若，则m的值为 3．计算： (1) (2) 类型五、积的乘方运算 【解惑】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 2．已知，，则的值为 ． 3．阅读下列各式：… 回答下列三个问题： (1)验证：　　，　　； (2)通过上述验证，归纳得出：　　；　　． (3)请应用上述性质计算：． 类型六、同底数幂的除法运算 【解惑】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已 知， 求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 2．计算 ； ； 3．已知， (1)求和的值； (2)求的值． 类型七、单项式乘单项式 【解惑】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 2． ． 3．计算： (1)； (2)． 类型八、单项式乘多项式 【解惑】李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 2．若，代数式的值是 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型九、多项式乘多项式 【解惑】已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知，则的值为（　　） A． B． C．-8 D．9 2．若，则的值为 ． 3．计算： (1)； (2) 类型十、运用平方差和完全平方公式运算 【解惑】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列四个多项式是完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算 (1) (2) (3) (4) 【一览众山小】 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则a的值是 ． 5．（1）若，则的值为 ； （2）已知是一个完全平方式，则 k的值为 ． 6．已知多项式是完全平方式，则的值为 ． 7．计算：． 8．计算： 9．计算图中阴影部分的面积． 10．如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形(阴影部分)．观察图形，解答下列问题： (1)用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1∶ ； 方法2∶ ； (2)运用你发现的结论，解决问题； 已知，，求 的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02整式的乘除思维导图 【类型覆盖】 类型一、判断是否是因式分解 【解惑】下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的判断，理解题意，熟练掌握因式分解的定义是解题关键． 根据因式分解的意义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，这个过程叫因式分解）逐个判断即可． 【详解】解：A、是多项式的乘法，不符合题意； B、，不是因式分解，不符合题意； C、，左边是单项式，不是因式分解，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意. 【融会贯通】 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的定义．因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，是完全平方公式，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，属于整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； C、，右边不是整式乘积的形式，不属于因式分解，故不符合题意； D、，是因式分解，故符合题意； 故选：D． 2．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：①是因式分解，符合题意； ②是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：①． 3．下列各式能在实数范围内因式分解的是：①；②；③；④；⑤；⑥． （请填序号）． 【答案】①②④⑤⑥ 【分析】利用公式法分解因式，即可判断①；利用十字相乘法分解因式，即可判断②；根据因式分解的定义，即可判断出③；利用配方法和公式法分解因式，即可判断④；利用公式法分解因式，即可判断⑤；对式子整理后得出，然后再利用配方法和公式法分解因式，即可判断⑥． 【详解】解：①，∴能在实数范围内因式分解； ②，∴能在实数范围内因式分解； ③，∴不能在实数范围内因式分解； ④ ， ∴能在实数范围内因式分解； ⑤，∴能在实数范围内因式分解； ⑥ ， ∴能在实数范围内因式分解； 综上所述，各式能在实数范围内因式分解的是：①②④⑤⑥． 故答案为：①②④⑤⑥ 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键． 类型二、科学记数法 【解惑】2023年8月29日华为公司上市的华为Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟900处理器，这款处理器是华为首款采用制程技术的手机芯片，．其中数据用科学记数法表示为，则n的值为（    ） A．8 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】 故选：D 【融会贯通】 1．2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】1亿，1991.2亿，再利用科学记数法将写成，再根据同底数幂相乘法则即可得解． 本题考查了用科学记数法表示大数以及同底数幂相乘，科学记数法的标准形式为：．熟练掌握科学记数法的表示方法以及同底数幂相乘的法则是解题的关键． 【详解】解：∵1亿， ∴1991.2亿， 故选：C． 2．一个正方体的棱长为，则它的体积是 （结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，科学记数法，先根据正方体的体积公式计算，再将结果写成的形式即可，其中，n是正整数． 【详解】解：， 故答案为：． 3．中国天宫空间站以米/秒的速度绕地球飞行，每天能绕地球飞行约16圈，每圈约需秒，则天宫空间站绕地球飞行一圈的路程约为 米（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的乘法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．根据路程速度时间计算，把结果写成科学记数法的形式． 【详解】解：天宫空间站绕地球飞行一圈的路程约为米， 故答案为：． 类型三、同底数幂相乘 【解惑】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法、合并同类项法则分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意； 、与不是同类项，不能合并，，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【融会贯通】 1．已知，则的值（    ） A．32 B．16 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题关键．根据代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 2．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：， ， 解得． 故答案为：6． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算． （1）按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （2）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （3）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 类型四、幂的乘方运算 【解惑】若，则的值为 （    ） A．16 B．−16 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的除法运算与乘法运算、幂的乘方，同底数幂的除法法则为：底数不变，指数相减．掌握同底数幂的除法运算与乘法运算、幂的乘方是解本题的关键． 根据同底数幂的除法运算与乘法运算、幂的乘方将整理为，再将代入即可求解． 【详解】解： ． ， 原式． 故选A． 【融会贯通】 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．若，则m的值为 【答案】3 【分析】本题主要考查幂的乘方 、同底数幂的乘法，先根据幂的乘方算出 ，然后根据同底数幂的乘法得出，即可求出m的值． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：3． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． （1）首先利用幂的乘方运算化简，进而利用同底数幂的乘法运算得出即可； （2）首先利用幂的乘方运算化简，进而利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则得出即可． 【详解】（1） ； （2） ． 类型五、积的乘方运算 【解惑】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方及幂的乘方．根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意， C、，故该选项符合题意， D、，故该选项不符合题意， 故选：C． 【融会贯通】 1．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，积的乘法运算，先按照同底数幂的乘法的逆用将 转化为，然后根据积的乘法运算先计算，最后再乘以即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方运算以及幂的乘方运算，本题属于基础题型．根据积的乘方运算以及幂的乘方运算即可求出答案． 【详解】解：当，时， ，， ， ， 故答案为：． 3．阅读下列各式：… 回答下列三个问题： (1)验证：　　，　　； (2)通过上述验证，归纳得出：　　；　　． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方，掌握运算法则是解答此题的关键． （1）先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法； （2）根据有理数乘方的定义求出即可； （3）根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：1，1； （2）解：； 故答案为：，； （3）解： ． 类型六、同底数幂的除法运算 【解惑】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的除法计算解答即可． 本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：． 故选B． 【融会贯通】 1．已 知， 求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的除法运算，利用幂的乘方的逆用，同底数幂的除法运算法则，以及整体思想，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 2．计算 ； ； 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法以及积的乘方法则，解题时牢记法则是关键，此题比较简单，但要特别注意指数的变化．根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的除法，底数不变指数相减分别计算即可． 【详解】 解：， ． 故答案为：，． 3．已知， (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘方与同底数幂的除法的运算法则． （1）由已知等式利用幂的运算法则得出、，据此可得答案； （2）将、的值代入计算可得 【详解】（1）解：，， ，， 则，； （2）当，时， ． 类型七、单项式乘单项式 【解惑】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘单项式．根据单项式乘单项式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【融会贯通】 1．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据单项式乘以单项式的运算法则：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．进行计算即可得解． 【详解】解： ， 故选：A． 2． ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算，根据单项式乘法法则即可计算，掌握单项式乘法法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘法运算．熟练掌握单项式乘以单项式法则是解决问题的关键． （1）根据单项式乘以单项式运算法则得出即可； （2）应把与分别看成一个整体，那么此题也属于单项式的乘法，可以根据单项式乘以单项式运算法则得出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型八、单项式乘多项式 【解惑】李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘多项式法则求解即可． 【详解】解：长方形的面积为=， 故选：D． 【融会贯通】 1．已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握将未知数进行降幂是解题的关键．先将降次，然后代入代数式即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选D． 2．若，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键．首先根据，可得，把代入，然后把代入化简后的算式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，熟练掌握相关的运算法则是解题关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可； （3）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可； （4）根据单项式乘多项式的运算法则进行运算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 类型九、多项式乘多项式 【解惑】已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为含、的形式，再整体代入计算即可． 本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘多项式的计算法则． 【详解】解：； 把，，代入原式得，； 故选：D． 【融会贯通】 1．已知，则的值为（　　） A． B． C．-8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 先根据多项式相等则对应项的系数相等求出m与n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．若，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查多项式乘法，掌握多项式乘法展开是解题关键. 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴， 解得， 则 故答案为：0 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 【详解】（1）解： ； （2） 类型十、运用平方差和完全平方公式运算 【解惑】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式进行整式乘法运算，两次利用平方差公式进行运算，即可求解；掌握是解的关键． 【详解】解：原式 ； 故选：B． 【融会贯通】 1．下列四个多项式是完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对完全平方式的运用，注意：完全平方式有和．完全平方式有和，根据式子的特点判断即可． 【详解】解：A、此式子不是完全平方式，故此选项不符合题意； B、此式子不是完全平方式，故此选项不符合题意； C、此式子不是完全平方式，故此选项不符合题意； D、，此式子是完全平方式，故此选项符合题意． 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解本题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的乘法运算； （1）先进行幂的运算，再进行单项式乘以单项式运算，即可求解； （2）进行单项式乘以多项式运算，即可求解； （3）化成符合平方差公式特征的形式，利用平方差公式进行运算，即可求解； （4）化成，先利用平方差公式进行运算，再利用完全平方公式进行运算，最后进行加减运算，即可求解； 掌握单形式乘以单项式法则，单项式乘以多项式法则，平方差公式，，是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【一览众山小】 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选A． 3．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是因式分解的意义，根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可． 【详解】解：A. ，是因式分解； B. ，是整式的乘法，不是因式分解； C. ，右边最后运算减法，不是因式分解； D. ，右边为分式，不是因式分解； 故选：A． 4．若，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式，把展开后与比较即可求解．掌握完全平方公式结构特点是关键． 【详解】解：由于， 即， 所以； 故答案为：4． 5．（1）若，则的值为 ； （2）已知是一个完全平方式，则 k的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运用，完全平方公式，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运用，常数项是一次项系数一半的平方是解题的关键． （1）由幂的乘方的逆运用，再由同底数幂的乘法法则即可解出． （2）符合形式的式子叫完全平方，要明确常数项是一次项系数一半的平方，即可解题． 【详解】（1） 即 解得： 故答案为：2． （2）是一个完全平方式， 故答案为：． 6．已知多项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了完全平方式，牢记完全平方式有两个——和，并熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的定义即可得出答案． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得：或， 故答案为：或． 7．计算：． 【答案】 【分析】先根据幂的运算法则计算出，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算，最后利用单项式除以单项式的运算法则即可解答．本题考查了幂的运算法则，单项式乘以单项式的运算法则，单项式除以单项式的运算法则，牢记相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 8．计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的乘法运算，，，即可． 【详解】 ． 9．计算图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法．图中阴影部分的面积可以用大的矩形的面积减去小的矩形的面积即可． 【详解】解： ． 10．如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形(阴影部分)．观察图形，解答下列问题： (1)用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1∶ ； 方法2∶ ； (2)运用你发现的结论，解决问题； 已知，，求 的值． 【答案】(1)， (2)24 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键． （1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积； （2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，可得，代入计算即可． 【详解】（1）解：方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即， 方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积， 即， 故答案为：，． （2）解：在（1）两种方法表示面积相等可得，， ∴当，时， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$