第11章 数的开方 单元测试-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

第11章 数的开方 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第11章（数的开方）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．5 3．的算术平方根是（  ） A．4 B．8 C．16 D． 4．一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 5．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．在数学中定义了一种运算符号“”它表示的含义如下：如：，，，，…，由此，请同学们思考的值为（    ） A． B． C．2010 D． 7．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 8．若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知有理数a，b满足，则（    ） A．2 B． C． D． 10．规定：表示，之间的一种运算．运算法则如下：，，（，，，），例如：， ，则的值为的值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．的立方根是 ． 12．比较大小（用“，，”表示）： ． 13．若，则实数的取值范围为 ． 14．若，，且，则的值为 ． 15．在两个连续整数和之间，，那么 的立方根是 ． 16．对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 17．对于实数x，我们把不超过x的最大整数记作，例如已知，．若实数x满足，则实数x的值是 ． 18．如果一个四位自然数满足，那么称这个四位数为“2倍和数”．例如：四位数8103，因为，所以8103是“2倍和数”；又如：四位数9125，因为，所以9125不是“2倍和数”．若是“2倍和数”，则M的最小值是 ；是一个“2倍和数”，去掉其个位数字得到一个三位数，记，若是11的倍数，则的最大值与最小值的和为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．计算： (1)； (2)． 20．解方程： (1)； (2)． 21．已知某正数有两个不同的平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 22．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值：． 23．先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题： (1)已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值． 解：因为， 所以， 所以， 解得______， ______． (2)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 24．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小龙的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为___________； (2)求． ①由，可以确定是___________位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是___________； ③如果划去后面的三位得到数，而，可以确定的十位上的数是___________，由此求得___________． (3)已知：也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 25．某数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一个新的数学符号，规定如下： 对于三个实数，用表示这三个数中最大的数，例如，．请结合上述材料，解决下列问题： (1) ______，______； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 数的开方 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第11章（数的开方）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的识别，理解无理数的概念是解答的关键．根据无理数的概念判定解答即可． 【详解】解：、0和是有理数，是无理数， 故选：D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，绝对值，再算减法即可． 【详解】解：； 故选B 3．的算术平方根是（  ） A．4 B．8 C．16 D． 【答案】D 【分析】此题考查了算术平方根，根据算术平方根的意义进行解答即可. 【详解】解：， ∴的算术平方根是， 故选：D 4．一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义列出关于的方程，求出的值即可，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与， ∴， 解得：， 故选：C． 5．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可．解题的关键是会利用数轴进行判断． 【详解】解：A、，， ， 故此选项不符合题意； B、，， ， 正确， 故此选项符合题意； C、，，异号两数和取绝对值大的数的符号， ， 故此选项不符合题意； D、， ， 故此选项不符合题意； 故选：． 6．在数学中定义了一种运算符号“”它表示的含义如下：如：，，，，…，由此，请同学们思考的值为（    ） A． B． C．2010 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，读懂题目信息，理解运算符号“”的运算方法是解题的关键． 根据运算符号“”的算法，列出计算即可得解． 【详解】解：． 故选：C． 7．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，根据无理数的估算方法得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， 故选：C． 8．若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的概念和无理数的估算，根据算术平方根的概念和无理数的估算求出，即可，熟练掌握算术平方根的概念和无理数的估算是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故选：． 9．已知有理数a，b满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，解题的关键是将等式进行适当的变形，根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案． 【详解】解： ， a，b是有理数， ， ，则， ， 故选：B． 10．规定：表示，之间的一种运算．运算法则如下：，，（，，，），例如：， ，则的值为的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查幂指数的运算，正确理解新定义的算法是解题的关键．根据题意将化成即可得出结论． 【详解】解： 故选：A 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．的立方根是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：的立方根是． 故答案为：． 12．比较大小（用“，，”表示）： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小的比较方法是解题的关键．根据两个负数，绝对值大的反而小，进行求解即可． 【详解】解： ，，， ， 故答案为：． 13．若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，深刻理解算术平方根的非负性是解题的关键． 根据算术平方根的非负性直接判断即可得出答案． 【详解】解：由算术平方根的非负性可知：， 即实数的取值范围为， 故答案为：． 14．若，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、绝对值、有理数乘法以及代数式求值，求出、的取值是解题关键．由平方根和绝对值可知，，，再根据，得到、的取值，再代入求值即可． 【详解】解：，， ，， ， 、异号， 当时，；当时，， 或， 即的值为， 故答案为： 15．在两个连续整数和之间，，那么 的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算，立方根；此题的关键在于估算的大小，并找出其两侧的连续整数．通过比较与完全平方数的大小来确定的范围，进而求得的值，即可求解． 【详解】的平方等于，的平方等于， 即： 由此可知，和分别是两侧的连续整数，即， ， 的立方根是， 故答案为：． 16．对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 17．对于实数x，我们把不超过x的最大整数记作，例如已知，．若实数x满足，则实数x的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，求一元一次不等式组的解集，根据所表示的不超过实数x的最大整数，列出不等式组，求出解集即可． 【详解】解：， 且， ， 是整数， 是整数， ， 故答案为：2． 18．如果一个四位自然数满足，那么称这个四位数为“2倍和数”．例如：四位数8103，因为，所以8103是“2倍和数”；又如：四位数9125，因为，所以9125不是“2倍和数”．若是“2倍和数”，则M的最小值是 ；是一个“2倍和数”，去掉其个位数字得到一个三位数，记，若是11的倍数，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查本题考查了新定义下的实数运算，理解新定义，正确推理计算是解题关键．根据题意得到，，进而得到为偶数，推出，，的值，即可得到M的最小值，然后根据题意列出的数能被11整除的数的特征分析满足条件的最大值与最小值，求11即可． 【详解】解：M的值最小， ， ， 为偶数， ，，， 故M的最小值是； 是11的倍数， ， ， ， 为整数， 即为整数， ，（与不同时为），，， ， ，且的最值大， ，， ， ，且的最值小， ，， ， 的最大值与最小值的和为． 故答案为：，． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是实数的运算，涉及算术平方根，立方根等知识， （1）直接利用立方根以及算术平方根化简得出答案， （2）直接利用立方根以及算术平方根化简得出答案 【详解】（1） ； （2） ． 20．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查利用开平方和开立方解方程，掌握开平方和开立方的法则是解题的关键． （1）利用平方根定义即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）移项后开立方即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： 或 或 （2）解： ． 21．已知某正数有两个不同的平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据平方根和立方根的意义可得：，，从而可得，，，然后估算出的值的范围，从而求出的值，然后把，，的值代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：正数的平方根是和，的立方根是， ，， 解得：，， ， ， 的整数部分是5， ， ， 的平方根是． 22．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方根，立方根，算术平方根的定义，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据平方根，立方根，相反数的意义结合数轴得位置即可解答； （2）根据绝对值的性质，立方根的性质，算术平方根的性质化简，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由数轴上的位置可知：，，， 又∵a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数． ∴，，， 故答案是：，，； （2）由数轴上的位置可知：，， ∴，， ∴ 23．先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题： (1)已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值． 解：因为， 所以， 所以， 解得______， ______． (2)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）运用代入法解出b的值，即可作答． （2）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程组，然后解方程即可． 此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算，代入法解方程，其中关键是理解解方程组的思路就是消元．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 【详解】（1）解：∵ ∴ 把代入 ∴ 解得 ∴ （2）解：∵， ∴ ∴ 解得或 ∴或 24．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小龙的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为___________； (2)求． ①由，可以确定是___________位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是___________； ③如果划去后面的三位得到数，而，可以确定的十位上的数是___________，由此求得___________． (3)已知：也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 【答案】(1)5 (2)①两，②8，③3；38 (3)26 【分析】本题考查立方根，数字的变化规律类，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据一个数立方根的个位数字所呈现的规律进行计算即可； （2）按照所提供的方法，根据立方根的定义进行计算即可； （3）仿照（2）的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ，，，，，，，，， 个位数字为5， 故答案为：5； （2）解：，，而， ，即是两位数， 的个位数字为2， 的个位数字为8， 将54872划去后三位872后得54，而， 的十位数字为3， ， 因此①由，，可以确定是两位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是8； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是3，由此求得． 故答案为：①两，②8，③3，38； （3）解：①由，，可以确定是两位数； ②由17576的个位上的数是6，可以确定的个位上的数是6； ③如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，可以确定的十位上的数是2，由此求得． 25．某数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一个新的数学符号，规定如下： 对于三个实数，用表示这三个数中最大的数，例如，．请结合上述材料，解决下列问题： (1) ______，______； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)的取值范围为 (3)的值为 【分析】（1）根据题意对于三个实数，用表示这三个数中最大的数，即可得到答案； （2）由得，解不等式组即可得到答案； （3）分三种情况进行讨论：当时；当时；当时，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： ，， 故答案为：，； （2）解：， ， 解得， 的取值范围为：； （3）解：， 当，即时，， ， 解得：，不在范围内，不符合题意； 当时，，而，故不符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了最大值、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$