专题02 整式的乘除（中等类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题02整式的乘除思维导图 【类型覆盖】 类型一、计算单项式除以单项式 【解惑】一种长方体零件体积为，底面积为，则零件的高为（     ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．计算 的结果是（　） A． B． C． D． 2． ． 3．计算：． 类型二、计算多项式除以单项式 【解惑】当时，代数式的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 【融会贯通】 1．若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是（     ） A． B． C． D． 2．如图（1）的杯子中盛满水，如果将这个杯子中的水全部倒入图（2）的瓶子中，那么一共需要 个这样的杯子才能将这个瓶子装满． 3．先化简，再求值：，其中，，． 类型三、提公因式分解因式 【解惑】把分解因式（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．将因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解： ． 3．分解因式： (1) (2) 类型四、平方差公式分解因式 【解惑】下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．是下列哪一个多项式分解因式后所得的结果（    ） A． B． C． D． 2．分解因式： ． 3．因式分解：． 类型五、完全平方公式分解因式 【解惑】下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列式子中是完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 2．如果能分解为，那么 ． 3．分解因式： (1) (2) 类型六、同底数幂乘法的逆用 【解惑】已知，，则的值为（　　） A．9 B．18 C．3 D．2 【融会贯通】 1．可以写成（　　） A． B． C． D． 2．已知，，则 ． 3．（1）已知，求m的值． （2）已知，求的值． 类型七、幂的乘方的逆用 【解惑】若，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【融会贯通】 1．已知，，，则 a，b，c 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值是 ． 3．（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 类型八、积的乘方的逆用 【解惑】计算的结果是（   ） A． B． C．－ D．－ 【融会贯通】 1．计算的值是（    ） A． B． C． D．-1 2．计算：的结果是 ． 3．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“<”号连接起来）． (2)计算：． 类型九、同底数幂除法的逆用 【解惑】已知，，则的值等于（    ） A．0 B． C．72 D． 【融会贯通】 1．若，，则的值为(　　) A． B． C． D． 2．已知，则的值为 ． 3．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)________； (2)已知，请把用“<”连接起来：________； (3)若，求的值； 类型十、整式的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．先化简，再求值． ，其中，． 3．先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【一览众山小】 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2． 等于（     ） A． B． C． D． 3．要使多项式不含x的一次项，则（    ） A． B． C． D． 4．分解因式∶ ． 5．若是一个完全平方式，则的值为 ． 6．若，则 7．因式分解： (1)； (2)． 8．如图1，纸片是边长为 的正方形，纸片是边长为 的正方形，纸片是长为，宽为 的长方形． 现用 种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1：________；方法2：________； (2)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系______________； (3)①根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，求的值； ②已知，求的值． 9．材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 10．乘法公式的探究及应用．    (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达） (4)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①                   ② 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02整式的乘除思维导图 【类型覆盖】 类型一、计算单项式除以单项式 【解惑】一种长方体零件体积为，底面积为，则零件的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式与单项式除法的应用，用体积除以单项式即可求解． 【详解】解： 故选D 【融会贯通】 1．计算 的结果是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、积的乘方，根据相关运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 2． ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，根据积的乘方，单项式除以单项式运算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 类型二、计算多项式除以单项式 【解惑】当时，代数式的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式除以单项式的运算法则，要注意解题格式，留心各项符号．先进行多项式除以单项式的运算，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 当时，原式． 故选：C 【融会贯通】 1．若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式的应用，解题的关键是掌握多项式除以单项式的法则．由长方形面积公式即可列出运算式，计算即得答案． 【详解】解：另一边长为： ， 故选：D． 2．如图（1）的杯子中盛满水，如果将这个杯子中的水全部倒入图（2）的瓶子中，那么一共需要 个这样的杯子才能将这个瓶子装满． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的体积，解本题的关键在熟练掌握圆柱的体积公式．圆柱的体积公式．首先算出图（1）中瓶子的体积，然后再算出图（2）中杯子的体积，即可得出结论． 【详解】解：图（2）瓶子的上半部分的体积为； 图（2）瓶子的下半部分的体积为； ∴图（2）瓶子的体积为； 图（1）杯子的体积为； ∴一共需要杯子为个 故答案为： 3．先化简，再求值：，其中，，． 【答案】，5 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，整式的混合运算，化简求值，先计算括号内整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式； 类型三、提公因式分解因式 【解惑】把分解因式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键，注意不要漏项． 根据提公因式法准确找出公因式即可求解； 【详解】解： 故选：D 【融会贯通】 1．将因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了提公因式法分解因式，解决本题的关键是找到公因式． 通过观察可知公因式为，将原式中的公因式提取出来即可解出此题． 【详解】解：∵中的公因式为， ∴原式， 故选：B． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解，据此即可作答． 【详解】解：依题意， 故答案为： 3．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型四、平方差公式分解因式 【解惑】下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键． 根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差． 【详解】解：A、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式； B、是与的平方的差，能用平方差公式分解因式； C、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式； D、有一项不含平方，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 【融会贯通】 1．是下列哪一个多项式分解因式后所得的结果（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解，根据平方差公式计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．因式分解：． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握并灵活选择因式分解的方法是解题的关键． 利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 类型五、完全平方公式分解因式 【解惑】下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握是解题的关键． 【详解】解：A.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意； B.符合完全平方公式的特征，故符合题意； C.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意； D.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．下列式子中是完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，是解题的关键． 根据完全平方公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.，故本选项正确； B.应为，故本选项错误； C.应为，故本选项错误； D.应为，故本选项错误． 故选：A． 2．如果能分解为，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，完全平方公式，由完全平方公式计算，由因式分解定义得到k的值，正确理解因式分解定义是解题的关键 【详解】解： ∵能分解为， ∴ ∴ 故答案为： 3．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，在把多项式进行因式分解时，要分解到每一个因式都不能够再分解为止； （1）利用完全平方分式分解因式即可求解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 类型六、同底数幂乘法的逆用 【解惑】已知，，则的值为（　　） A．9 B．18 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了活用“同底数幂乘法的逆用”法则，熟知是解题的关键． 【详解】∵ ∴ 故选：B． 【融会贯通】 1．可以写成（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂乘法的逆用即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 2．已知，，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 逆用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行变形，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当，时， ． 故答案为：8． 3．（1）已知，求m的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）m＝7；（2）96 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据，得到即，计算即可； （2）根据，得到，计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 解得． （2）∵， ∴， ∴， 解得． ∴． 类型七、幂的乘方的逆用 【解惑】若，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘，利用幂的乘方、同底数幂相乘法则把变形为，然后把整体代入计算即可． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故选∶D． 【融会贯通】 1．已知，，，则 a，b，c 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方．化为同底数的幂，然后利用“底数相同，指数越大，数值就越大”“指数相同，底数越大，数值越大”解题． 【详解】解：，， 由于指数相同，底数越大，数值越大， ∴， ∵， ， 由于底数相同，指数越大，数值越大， ∴， ． 故选：D． 2．已知，，则的值是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法和幂的乘法逆用，首先根据，求出的值是多少，然后根据同底数幂的乘法的运算方法，求出的值是多少即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：20． 3．（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）128；（2） 【分析】本题主要考查了逆用幂的乘方、逆用积的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）逆用幂的乘方进行计算即可； （2）逆用幂的乘方、积的乘方进行变形计算即可． 【详解】解：（1）； （2）． 类型八、积的乘方的逆用 【解惑】计算的结果是（   ） A． B． C．－ D．－ 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，根据积的乘方的逆运算求解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【融会贯通】 1．计算的值是（    ） A． B． C． D．-1 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方公式是解题的关键．根据积的乘方逆运算进行简化运算即可． 【详解】解： ， 故选：B 2．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方逆用，同底数幂的乘法逆用，根据幂的乘方的运算法则及同底数幂乘法的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“<”号连接起来）． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用、同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这三个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【详解】（1）解：，，， 而， ； （2）解： ． 类型九、同底数幂除法的逆用 【解惑】已知，，则的值等于（    ） A．0 B． C．72 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算．根据同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 【融会贯通】 1．若，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解：当，时， ． 故选：C． 2．已知，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查的是幂的乘方的逆用，同底数幂的除法的逆用，逆用幂的乘方的性质先写成以2为底的幂相乘，再逆用同底数幂的除法的性质计算，然后把已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为16． 3．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)________； (2)已知，请把用“<”连接起来：________； (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3)18 【分析】本题考查幂的运算的逆用： （1）逆用积的乘方，进行求解即可； （2）将化为同指数幂的形式，比较底数的大小即可； （3）逆用同底数幂的乘除法，幂的乘法，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）， ∵， ∴； 故答案为：． （3）∵， ∴． 类型十、整式的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算： （1）先计算积的乘方，再进行除法运算即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)5 (4) 【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式法则，多项式除以单项式法则，同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方法则是解题的关键． （1）运用单项式乘以多项式法则计算即可； （2）运用同底数幂相乘与积的乘方、幂的乘方法则计算，再合并同类项即可； （3）先逆用同底数幂相乘法则计算，再逆用积的乘方法则计算即可； （4）运用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．先化简，再求值． ，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，根据整式的混合运算化简成为解题的关键． 先根据整式的混合运算法则化简，然后将、代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 3．先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】，15 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式的运算，代数式求值，原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，由已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ， 原式． 【一览众山小】 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式和单项式除以单项式，积的乘方，幂的乘法法则，逐一进行，判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选B． 2． 等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，同底数幂相乘法则的逆用，熟练掌握同底数幂相乘法则的逆用是解题的关键． 先逆用同底数幂相乘法则，变形为，再提公因式，即可求解． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 3．要使多项式不含x的一次项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算，再由不含x的一次项计算答案即可． 【详解】解：， 由于不含x的一次项， 故． 故选A． 4．分解因式∶ ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 5．若是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的应用，满足即为完全平方式，据此即可作答． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ 解得， 故答案为：． 6．若，则 【答案】/ 【分析】此题考查完全平方公式的应用和等式的性质．此题中把右边利用完全平方公式展开后和左边进行比较，根据等式的性质可以求出． 【详解】解：∵， 故答案为：． 7．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解此题的关键． （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 8．如图1，纸片是边长为 的正方形，纸片是边长为 的正方形，纸片是长为，宽为 的长方形． 现用 种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1：________；方法2：________； (2)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系______________； (3)①根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；②． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，灵活完全平方公式的变形是突破本题的关键． （1）根据面积的两种算法求解即可； （2）利用（1）的结论列出等式即可； （3）根据完全平方公式变形代入即可． 【详解】（1）解：大正方形面积按照边长的平方可得：， 按照大正方形的组成可得：． 故答案为：，； （2）解：由图②可得：． 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， ． ②∵， ， 设，则， ∴， ． ∴． 9．材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）令，仿照例题解答即可； （2）令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：令， 则原式， ∴； （2）令， 则原式， ∴原式． 10．乘法公式的探究及应用．    (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达） (4)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①                   ② 【答案】(1) (2)，， (3) (4)①99.91；② 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，代数式表示式，有理数的混合运算，整式的混合运算，利用数形结合求解是解题关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； 故答案为：； （2）由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是； 故答案为：，，； （3）（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4）① ； ② ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$