专题02 整式的乘除（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题02整式的乘除思维导图 【类型覆盖】 类型一、单项式乘单项式的应用 【解惑】小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含，的整式表示盒子的外表面积； (2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？ 【融会贯通】 1．如图，为改善业主的居住环境，某小区物业准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 2．将7张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为，，已知小长方形的长为a，宽为b，且． (1)当，，时，求长方形的面积； (2)当时，请用含a，b的式子表示的值； (3)当时，若的值与m无关，则a，b满足怎样的数量关系？ 3．现有甲、乙、丙三张卡片如图1摆放，卡片甲是边长为a的正方形，卡片乙是边长为b的正方形，卡片丙是长为a，宽为b的长方形．将卡片甲绕点B顺时针旋转，点A恰好与点D重合，得到图2；将卡片丙绕点E逆时针旋转，点F恰好与点C重合得到图3；将卡片乙绕点C逆时针旋转，得到图4；图2，图3，图4的阴影部分面积分别记为，，． (1)计算：________，________（用含a、b代数式表示）； (2)若边长，，则________； (3)探究，，的数量关系，并说明理由． 类型二、多项式乘多项式的应用 【解惑】某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简； (2)当，时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，求建设该居民健身场所所需的地面费用． 【融会贯通】 1．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 2．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：； (1)请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（画图并写出过程） (2)小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为的长方形，则 ， ， ． 3．乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 类型三、多项式乘法中的规律 【解惑】观察下列各式 …… 请根据你发现的规律完成下列各题： (1)根据规律可得___________（其中n为正整数）； (2)计算：； (3)①计算：； ②计算：． 【融会贯通】 1．通过计算寻找规律： (1)计算： ___________． ___________． ___________． (2)猜想： ___________． (3)根据猜想结论，写出下列结果： ___________． ___________． 2．观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余的每一个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．如图． (1)根据上面的规律，写出的展开式：____________． (2)利用上面的规律计算： ． (3)的展开式中的倒数第三项的系数为_______． (4)已知，求的值． 类型四、平方差公式与几何图形 【解惑】如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是______； A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知：，，求的值； 【融会贯通】 1．如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形，设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式___________（用式子表达）； (2)应用公式计算：； (3)应用公式计算：． 2．如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长为n的小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片． (1)如图1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式 （填选项前面的字母）； A、    B、 C、    D、 (2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图2，大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积； ②计算： 3．在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似的，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为． （1）分解因式： ； （2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）① ；② ； 思考：类比平方差公式，你能得到的等式（写成因式分解的形式）为 ． （3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：； （4）拓展：已知，代数式的值为 ． 类型五、完全平方公式与几何图形 【解惑】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形    (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法 方法 (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则 ． 【融会贯通】 1．【问题背景】通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式是常见的办法．如图1，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图2），且在图1到图2的分割过程中，面积没有变化，由此解决下列问题． 【探索归纳】 ①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是______（用含，的式子表示）； ②图2中4个部分的面积之和是________（用含，的式子表示）； ③因此，可以得到等式：____________________． 【学以致用】简便计算： ①； ②． 【拓展应用】若图2中的长方形的长与宽的值分别为和，且满足，请求出的值． 2．如图1，在计算阴影部分面积时，我们可以用边长为的大正方形面积减去边长为的小正方面积，即：．我们也可以把图中阴影部分剪下一个小长方形，然后按图2把阴影部分拼接成一个长为，宽为的长方形来计算面积，即：，因为阴影部分的面积相等，我们可以得到，这恰好验证了平方差公式． (1)图3中最大正方形的面积算法也可以验证一个乘法公式，请用含和的代数式写出这个公式：　　． (2)图4是著名的“赵爽弦图”，它是由四个形状大小完全一致的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为和，斜边长为，我国古代数学家赵爽利用此图验证了直角三角形的斜边和两直角边和之间存在一个固定的等量关系，请你求出关于、、的关系式． 3．阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴ (1)【类比探究】若满足．求的值； (2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 类型六、综合提公因式与公式法因式分解 【解惑】因式分解： (1) (2) 【融会贯通】 1．因式分解： (1) (2) (3) (4)； 2．分解因式： (1)； (2)． (3)． (4)； (5)． (6)． (7)． (8)． 3．我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请尝试解决下列问题： (1)试用上述方法分解因式：． (2)已知，且，求． (3)我们可以通过“拆项”后再分组分解的方式对多项式进行因式分解．利用这样的思路，可以因式分解为____________________． 类型七、因式分解中的简算 【解惑】简便计算： (1) (2) 【融会贯通】 1．分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) (3) (4) 2．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下： 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 3．将周长相等的矩形和正方形按如图所示的方式叠放在一起（其中点D在上，点B在的延长线上，和相交于点G），正方形的边长为m，矩形的宽为x，长为y． (1)写出x，y，m之间的等量关系． (2)若矩形的周长记作，矩形的周长记作 ①求的值（用含y，m的代数式表示）； ②若关于y的不等式的正整数解只有2个，求m的取值范围． (3)若矩形的面积记作，矩形的面积记作，试比较与的大小，并说明理由． 类型八、十字相乘法 【解惑】分解因式： (1) (2) 【融会贯通】 1．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 2． 阅读下列材料： 材料1、将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：（1）（2） 材料2、因式分解： 解：将看成一个整体，令则原式 再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式： ②分解因式： 3．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考： 型式子的因式分解 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？ 在第102页的练习第2题中，我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： ． 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得① 利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如，将式子分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此这是一个型的式子．利用①试可得． 上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们也可以得到． 【知识应用】 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式：_______． 【实际应用】 （2）分解因式，小明只看错了a的值，分解的结果是，小红只看错了b的值，分解的结果是，那么分解因式的正确结果为_______． 【拓展提升】 （3）如果，其中均为整数，求m的值． 类型九、分组分解法 【解惑】分解因式： ． 【融会贯通】 1．将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) 2．【阅读理解】 以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组． 【问题解决】 (1)分解因式：； (2)的三边，，满足，判断的形状． 3．把下列多项式分解因式： （1） （2） （3） （4） 类型十、因式分解的应用 【解惑】下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务．若是多项式的一个因式，求的值． 解：是多项式的一个因式， 设（为整式）． 当时，则有． 将代入， 得． 解得． 学习任务： (1)若是多项式的一个因式，请求出多项式中二次项的系数的值； (2)若和是多项式的两个因式，请求出多项式中三次项和一次项的系数的值． 【融会贯通】 1．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题： （1）若可配方成（m、n为常数），则 ； 探究问题： （2）已知，求的值； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为3，试求出k的值． 2．数学实验： 【实验材料】若干块如图①所示的边长分别为a、b的正方形硬纸片和宽为a、长为b的长方形硬纸片． 【实验目的】用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径． 例如，选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有或． 【探索问题】 （1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法：，那么需要两种正方形纸片共_____张，长方形纸片_____张． （2）选取正方形、长方形硬纸片共9块可以拼出一个如图③的长方形，根据图③面积的表示，可以写出的等式为______． （3）试借助拼图的方法，把二次三项式分解因式． ①画出拼图． ②因式分解：______．    3．感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图 1 中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_____________ ； 应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图 2 所示 的是棱长为的正方体被分割线分成 8 块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为 ； 拓展：（3）如图 3，棱长为 x 的实心大正方体切除一个棱长为 y 的小正方体，剩余部分按如图所示的 方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 ，乙长方体的体积为 ， 丙长方体的体积为 ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为． 根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图 2 与图 3 中的 x 与 y 的值分别相等，且满足，，其中，求的值． 【一览众山小】 1．已知，则的值为（　　） A．17 B．1 C． D．15 2．若，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 3．多项式的最小值为（    ） A．18 B．9 C．27 D．30 4．探索题： 根据以上规律，判断的值的个位数是几 ． 5．如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图和图两种方式放置在长方形内（图和图中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为，；设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，当时，的值为 ． 6．阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律与交换律，已知，则的值是 ． 7．阅读下列材料3 若x满足，求的值 解：设，， 则，， ∴； 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)若x满足，求的值 (2)如图，正方形的边长为x，E，F分别是边，上的点，，，长方形的面积为48，分别以，为边作正方形和正方形． ① ， ；（用含x的式子表示）； ②求阴影部分的面积． 8．我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ； ； 并完成下列问题 (1)，则 ； ；，则 ； ； (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为米的木栅栏围成一个长方形花圃，如图，为了设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一边长度为米，完成下列任务： ①列式：用含的式子表示花圃的面积： ； ②请说明当取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米？ 9．在有理数范围分解因式 (1) (2) (3) (4) 10．综合与探究 【阅读理解】 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合． 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______． （2）利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为_______． 【拓展探究】 该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解． 例：若x满足，求( 的值． 解：设， 则． ∴． （3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02整式的乘除思维导图 【类型覆盖】 类型一、单项式乘单项式的应用 【解惑】小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含，的整式表示盒子的外表面积； (2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？ 【答案】(1)（平方分米） (2)360元 【分析】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果； （2）把a与b的值代入计算，再根据每平方分米喷漆价格为15元，求出喷漆的费用即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （平方分米） ∴盒子的外表面积为平方分米； （2）解：当，时， （平方分米） 则喷漆的费用为（元）． 答：喷漆共需要360元． 【融会贯通】 1．如图，为改善业主的居住环境，某小区物业准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【答案】(1) (2)这两条小路的总面积为38 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则． （1）根据小路的面积等于两个长方形面积和减去中间重叠部分的正方形的面积，即可计算． （2）把a、b的值代入化简后的代数式中求值即可． 【详解】（1）解： ； 答：这两条小路的总面积为． （2）解：将，代入，得 ． 答：这两条小路的总面积为38． 2．将7张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为，，已知小长方形的长为a，宽为b，且． (1)当，，时，求长方形的面积； (2)当时，请用含a，b的式子表示的值； (3)当时，若的值与m无关，则a，b满足怎样的数量关系？ 【答案】(1)300 (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是观察图形，表示出长方形的长和宽． （1）观察图形，求出长方形的宽和长，根据面积公式求出答案； （2）观察图形，求出面积为和面积为的长方形的长和宽，列出式子，进行化简即可； （3）把代入由（2）得，然后进行化简，然后解答即可． 【详解】（1）由图形可知：长方形的宽为，长为， 长方形的面积为：， 当，，时， 长方形的面积为： ； （2）由图形可知：面积为的长方形的长为，宽为，面积为的长方形的长为，宽为， 当时， ； （3）由（2）可知：， 当时， ， 的值与无关， ，即． 3．现有甲、乙、丙三张卡片如图1摆放，卡片甲是边长为a的正方形，卡片乙是边长为b的正方形，卡片丙是长为a，宽为b的长方形．将卡片甲绕点B顺时针旋转，点A恰好与点D重合，得到图2；将卡片丙绕点E逆时针旋转，点F恰好与点C重合得到图3；将卡片乙绕点C逆时针旋转，得到图4；图2，图3，图4的阴影部分面积分别记为，，． (1)计算：________，________（用含a、b代数式表示）； (2)若边长，，则________； (3)探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)22 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，列代数式： （1）根据题意可得等于图甲的面积减去图乙的面积，的面积等于图丙的面积减去图乙的面积，据此可得答案； （2）根据题意可得，据此代值计算即可； （3）法一：根据，以及可得；法二：根据可得． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：，理由如下： 法一：依题意得 ， ， ； 法二：， ， ． 类型二、多项式乘多项式的应用 【解惑】某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简； (2)当，时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，求建设该居民健身场所所需的地面费用． 【答案】(1)安装健身器材的区域面积为平方米 (2)篮球场地面积为平方米，安装健身器材的区域面积为平方米 (3)建设该居民健身场所所需的地面费用为元． 【分析】本题考查整式的应用，涉及列代数式、整式的乘法，正确列式并计算是关键． （1）根据安装健身器材的区域面积场所总面积篮球场地面积列式即可； （2）表示出篮球场地面积，再将，分别代入即可； （3）列式计算即可． 【详解】（1） （平方米）， 答：安装健身器材的区域面积为平方米； （2）当，时， 安装健身器材区域的地面面积（平方米）， 篮球场地面积（平方米）， 答：篮球场地面积为平方米，安装健身器材的区域面积为平方米； （3）（元）， 答：建设该居民健身场所所需的地面费用为元． 【融会贯通】 1．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解． 【详解】（1）解：由图得； 故答案：； （2）解：由（1）可知： ，， ， 解得：． 2．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：； (1)请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（画图并写出过程） (2)小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为的长方形，则 ， ， ． 【答案】(1)作图及理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查整式运算与几何图形面积的关系，根据图示，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据题意，画出图形，运用整式运算即可求解； （2）根据整式的运算法则展开，几何图形面积的特点即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 图形的面积为：， ∴当都不为0时，； （2）解： ， ∴， 故答案为：． 3．乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 【答案】(1)①  ② (2)图见详解， (3)5 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何中的应用，面积法； （1）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （2）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （3）将化为，由（2）可得，即可求解； 掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，会用整体代换法求整式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：①方法一：图2的面积可表示为， 方法二：图2的面积可表示为： ， ， 故答案：； ②方法一：图3的面积可表示为， 方法二：图3的面积可表示为： ， ； 故答案：； （2）解：如图， ； 故答案：； （3）解： 由（2）可得：， ， ， ∴． ∴当时， ． 类型三、多项式乘法中的规律 【解惑】观察下列各式 …… 请根据你发现的规律完成下列各题： (1)根据规律可得___________（其中n为正整数）； (2)计算：； (3)①计算：； ②计算：． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可； （2）根据所给式子的规律，把x换为3即可， （3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果； 【详解】（1） （2）= （3）① = =； ② = = = 【点睛】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律． 【融会贯通】 1．通过计算寻找规律： (1)计算： ___________． ___________． ___________． (2)猜想： ___________． (3)根据猜想结论，写出下列结果： ___________． ___________． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）根据解析（1）的结果，得出的规律，即可得到结果； （3）根据解析（2）得出结论，把变形为求出结果即可；把变形为求出结果即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：由； ； ； …… ； （3）解： ； ． 2．观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的方法即可求解； （2）运用多项式乘以多项式，再根据整式的运算法则即可求解； （3）根据材料提示，分别计算与的值，再运用整式加减运算即可求解． 【详解】（1）解：根据材料提示， ①． ②． 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余的每一个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．如图． (1)根据上面的规律，写出的展开式：____________． (2)利用上面的规律计算： ． (3)的展开式中的倒数第三项的系数为_______． (4)已知，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3)190 (4)63 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据图示顺推即可得到展开式； （2）根据展开式，令时代入展开式即可得到所求代数式的值； （3）罗列后得出规律展开式中共有项，当时，倒数第三项的系数是，代入数据计算即可； （4）根据（3）中规律得出，即可求解； 【详解】（1）解：根据图示可得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，， ∴． （3）解：，展开式有项， ，展开式有项，倒数第三项系数为， ，展开式有项，倒数第三项系数为， ，展开式有项，倒数第三项系数为， 展开式有项，倒数第三项系数为， 以此类推，展开式中共有项，当时，倒数第三项的系数是， ∴展开式共有21项，倒数第三项的系数是； 故答案为：； （4）解：根据（3）中规律可得， ∴， 又∵， ∴ ． 类型四、平方差公式与几何图形 【解惑】如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是______； A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知：，，求的值； 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，掌握图形面积的不同求法是解题关键． （1）根据图中阴影部分面积的不同计算方式即可求解； （2）由（1）中所得结论即可求解． 【详解】（1）解：由左图可知：阴影部分的面积； 由右图可知：阴影部分的面积； 故可以验证的等式是B 故答案为：B （2）解：， 由（1）知， ， ∴ 【融会贯通】 1．如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形，设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式___________（用式子表达）； (2)应用公式计算：； (3)应用公式计算：． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握平方差公式． （1）结合对应图形面积公式即可得解； （2）逆用平方差公式即可求解； （3）运用平方差公式，将转变为即可求解． 【详解】（1）解：依题得：，， ， 利用图形的面积关系所得到的公式为． 故答案为：；；． （2）解：由（1）得：， 原式， ， ， ． （3）解：根据（1）中所得关系式可得， 原式， ， ， ． 2．如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长为n的小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片． (1)如图1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式 （填选项前面的字母）； A、    B、 C、    D、 (2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图2，大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积； ②计算： 【答案】(1)C (2)①；② 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用、用平方差公式进行计算等知识点，熟知平方差公式以及数形结合思想是解题的关键． （1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，再根据两幅图阴影部分面积相等即可得到结论； （2）①设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，再根据进行求解即可；②利用平方差公式进行裂项求解即可． 【详解】（1）解：图1中，阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成长为，宽为的长方形，因此面积为， 因此， 故选：C； （2）①设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，， ∵， ∴， ∴ ， 答：不规则四边形BGED的面积为15； ② 3．在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似的，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为． （1）分解因式： ； （2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）① ；② ； 思考：类比平方差公式，你能得到的等式（写成因式分解的形式）为 ． （3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：； （4）拓展：已知，代数式的值为 ． 【答案】；①，②，思考：；； 【分析】本题主要考查了数形结合的数学思想，利用数形结合思想建立代数与几何图形之间的内在联系，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据提取公因式的方法分解因式即可； （2）根据题意计算体积即可； （3）利用总结的公式进行因式分解即可； （4）先提公因式再进行计算； 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）①根据题意，立体图形的体积边长为的正方形的体积边长为的正方形的体积， 即； ②根据题意，立体图形的体积图的三个立体图形的体积之和， 即： ， 故答案为：； 思考：， ； （3）； （4） 由于， 原式． 类型五、完全平方公式与几何图形 【解惑】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形    (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法 方法 (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则 ． 【答案】(1) (2)， (3) (4)29 【分析】本题主要考查我们的公式变形能力，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键． （1）观察图2，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差，即； （2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积； （3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系； （4）将，，代入三个代数式之间的等量关系即可求出的值． 【详解】（1）解：图2中的阴影部分的正方形的边长等于； （2）解：方法一、阴影部分的面积； 方法二、阴影部分的边长；故阴影部分的面积． （3）解： 三个代数式之间的等量关系是：； （4）解：． 故答案为：、；；29． 【融会贯通】 1．【问题背景】通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式是常见的办法．如图1，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图2），且在图1到图2的分割过程中，面积没有变化，由此解决下列问题． 【探索归纳】 ①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是______（用含，的式子表示）； ②图2中4个部分的面积之和是________（用含，的式子表示）； ③因此，可以得到等式：____________________． 【学以致用】简便计算： ①； ②． 【拓展应用】若图2中的长方形的长与宽的值分别为和，且满足，请求出的值． 【答案】探索归纳：①；②；③；学以致用：①；②100；拓展应用：45 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 探索归纳：①根据图形列式即可； ②根据图形列式即可； ③结合①和②以及图形列式计算即可； 学以致用： ①运用完全平方公式简便运算即可； ②运用完全平方公式简便运算即可； 拓展应用：逆用完全平方公式即可解答． 【详解】解：探索归纳：①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是， 故答案为：； ②； 故答案为：； ③， 故答案为：； 学以致用： ① ②； 拓展应用：由，，则，， 所以． 2．如图1，在计算阴影部分面积时，我们可以用边长为的大正方形面积减去边长为的小正方面积，即：．我们也可以把图中阴影部分剪下一个小长方形，然后按图2把阴影部分拼接成一个长为，宽为的长方形来计算面积，即：，因为阴影部分的面积相等，我们可以得到，这恰好验证了平方差公式． (1)图3中最大正方形的面积算法也可以验证一个乘法公式，请用含和的代数式写出这个公式：　　． (2)图4是著名的“赵爽弦图”，它是由四个形状大小完全一致的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为和，斜边长为，我国古代数学家赵爽利用此图验证了直角三角形的斜边和两直角边和之间存在一个固定的等量关系，请你求出关于、、的关系式． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，用数形结合来证明等式，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． （1）根据图3的各个部分的面积可得完全平方公式； （2）通过图中小正方形面积证明勾股定理． 【详解】（1）由题意可得：或． 故答案为：或． （2）． 3．阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴ (1)【类比探究】若满足．求的值； (2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 【答案】(1)； (2)； (3)阴影部分的面积和为平方单位． 【分析】（）根据题目提供的方法，进行计算即可； （）设，，则，，然后利用进行计算即可； （）由题意得，，，则阴影部分的面积和为，由长方形的面积为平方单位得，设，，根据即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，熟练掌握，，与间的关系． 【详解】（1）设，， 则，， 所以， ， ， ； （2）设，， 则，， 所以， ， ， ， 故答案为：； （3）由题意得，，， ∴阴影部分的面积和为， ∵长方形的面积为， ∴， ∴， 设，， 则，， ∴ ， ， ； ∴阴影部分的面积和为平方单位． 类型六、综合提公因式与公式法因式分解 【解惑】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解， （1）先提公因式，然后再根据平方差公式继续进行分解即可； （2）将原式转化为，然后提取即可； 解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解；如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，考虑使用完全平方公式；因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【融会贯通】 1．因式分解： (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式； （2）先用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （4）先将原式分组，再利用平方差公式分解因式． 本题主要考查了分解因式．分解因式时，首先观察是否有公因式，如果有公因式，则先提公因式，然后再利用公式法分解因式．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．分解因式： (1)； (2)． (3)． (4)； (5)． (6)． (7)． (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题主要考查了因式分解以及整式的运算． （1）先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可． （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． （4）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． （5）先按照完全平方公式展开，合并同类项，再提公因式即可． （6）先按照完全平方公式展开，合并同类项，再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可． （7）用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可． （8）提公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 3．我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请尝试解决下列问题： (1)试用上述方法分解因式：． (2)已知，且，求． (3)我们可以通过“拆项”后再分组分解的方式对多项式进行因式分解．利用这样的思路，可以因式分解为____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确理解题目所给的因式分解的方法，以及熟练掌握因式分解的方法和步骤． （1）根据题目中分组分解法进行分解即可； （2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入； （3）将原式改写为，再根据题目中分组分解法进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ，且， ， ； （3）解： ； 故答案为：． 类型七、因式分解中的简算 【解惑】简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先提取公因式2，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行变形进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【融会贯通】 1．分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)40000 (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解、因式分解的应用等知识点，熟练运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式2，再运用平方差公式因式分解即可； （2）先将原式变形成完全平方公式的形式，然后再运用完全平方公式进行简便运算即可； （3）直接运用十字相乘法进行因式分解即可； （4）先凑出公因式，再提取公因式，然后运用平方差公式因式分解即可解答． 【详解】（1）解：， ． （2）解： ． （3）解：． （4）解： ． 2．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下： 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为；② (2)2024 【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键． （1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可； ②利用换元法进行因式分解即可； （2）设，，则原式，整体代入计算即可． 【详解】（1）①该同学没有完成因式分解； 设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） ． ∴最后的结果为． ②设， 原式 ． ； （2）设，， 则， ， 原式 ． 3．将周长相等的矩形和正方形按如图所示的方式叠放在一起（其中点D在上，点B在的延长线上，和相交于点G），正方形的边长为m，矩形的宽为x，长为y． (1)写出x，y，m之间的等量关系． (2)若矩形的周长记作，矩形的周长记作 ①求的值（用含y，m的代数式表示）； ②若关于y的不等式的正整数解只有2个，求m的取值范围． (3)若矩形的面积记作，矩形的面积记作，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)，理由见解析 【分析】（1）根据矩形和正方形的周长相等，构建关系式即可解决问题； （2）①用x，y，m表示上述出矩形的周长，相加即可； ②根据列式求解即可； （3）分别表示出，利用求差法比较大小即可． 【详解】（1）解：∵矩形和正方形的周长相等， ∴， ∴； （2）解：①∵矩形的周长记作， 矩形的周长记作， ∴； ②∵，即 ∴， ∵关于y的不等式的正整数解只有2个， ∴， 解得： ， ∴m的取值范围是； （3）解：，理由如下： 理由：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了长方形和正方形的面积与周长、解含有参数的一元一次不等式、作差法比较大小、整式的加减、整式的乘法、因式分解等知识，熟练掌握整式的运算法则和一元一次不等式的解法是解题的关键． 类型八、十字相乘法 【解惑】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，十字相乘法，掌握是解题的关键． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可； （2）用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：原式，          ； （2）解：原式． 【融会贯通】 1．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的十字相乘法 （1）把拆成即可； （2）把拆成，把拆成即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 2． 阅读下列材料： 材料1、将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：（1）（2） 材料2、因式分解： 解：将看成一个整体，令则原式 再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式： ②分解因式： 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了因式分解．熟练掌握十字相乘法和完全平方公式分解因式，整体代换，是解决问题的关键． （1）把8分解成，分解成，即得： （2）①把看成一个整体，运用完全平方公式分解即可；②把原式化为，把看作一个整体，运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1） （2）①令， 则， ∴； ② ， 令， 则， ∴． 3．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考： 型式子的因式分解 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？ 在第102页的练习第2题中，我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： ． 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得① 利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如，将式子分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此这是一个型的式子．利用①试可得． 上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们也可以得到． 【知识应用】 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式：_______． 【实际应用】 （2）分解因式，小明只看错了a的值，分解的结果是，小红只看错了b的值，分解的结果是，那么分解因式的正确结果为_______． 【拓展提升】 （3）如果，其中均为整数，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查某些二次项系数是1的二次三项式分解因式及其应用： （1）根据阅读材料中提供的方法进行解答即可； （2），分解因式，，小明只看错了a的值，得到，，分解因式，小红只看错了b的值，得到，得到，再分解因式即可； （3）先将等号右边的括号括号展开合并，根据对应项的系数相等可得，根据m，p，q均为整数讨论求解即可. 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为： （2）∵，分解因式，，小明只看错了a的值， ∴ ∵，分解因式，小红只看错了b的值， ∴ ∴ ∵， ∴ 故答案为： （3）由， ∴， ∵m，p，q均为整数， ∴，此时； 或者，此时； 或者，此时； 或者，此时； 综上，的值为： 类型九、分组分解法 【解惑】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法成为解题的关键． 先将分组成，然后再运用提取公因式、公式法求解即可． 【详解】解： ． 【融会贯通】 1．将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．【阅读理解】 以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组． 【问题解决】 (1)分解因式：； (2)的三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查因式分解及因式分解的应用， （1）根据上述的分组分解法将原式进行因式分解即可； （2）先将原式进行因式分解，得：，根据题意可知，，即，即可得出结果；解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解；如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，考虑使用完全平方公式，如果剩余的是四项或四项以上，考虑分组；因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 3．把下列多项式分解因式： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可； （4）利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：（1） = =； （2） = = =； （3） = = = =； （4） = = = 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法． 类型十、因式分解的应用 【解惑】下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务．若是多项式的一个因式，求的值． 解：是多项式的一个因式， 设（为整式）． 当时，则有． 将代入， 得． 解得． 学习任务： (1)若是多项式的一个因式，请求出多项式中二次项的系数的值； (2)若和是多项式的两个因式，请求出多项式中三次项和一次项的系数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解： （1）依据题意列出式子，令即可求解； （2）依据题意列式，令或即可求解． 【详解】（1）若是多项式的一个因式， 设（其中为整式）， 令 即取，得； 解得． （2）设（其中为整式）， 令或 即当时，得，① 当，得，② 由①，②解得． 【融会贯通】 1．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题： （1）若可配方成（m、n为常数），则 ； 探究问题： （2）已知，求的值； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为3，试求出k的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分解因式的运用，完全平方公式， （1）运用完全平方公式得，即可得m、n的值，即可得； （2）将拆分成，把1分给含有x的项，9分给含有y的项，进行因式分解，根据偶次方的非负性，求出x、y，从而求出答案即可； （3）因式分解得，根据，，S的最小值为3得，即可得； 掌握因式分解，完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 即， 故答案为：； （2） ∵，， ∴，， ，， 解得， ∴； （3）， ， ， ∵，，S的最小值为3， ∴， ． 2．数学实验： 【实验材料】若干块如图①所示的边长分别为a、b的正方形硬纸片和宽为a、长为b的长方形硬纸片． 【实验目的】用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径． 例如，选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有或． 【探索问题】 （1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法：，那么需要两种正方形纸片共_____张，长方形纸片_____张． （2）选取正方形、长方形硬纸片共9块可以拼出一个如图③的长方形，根据图③面积的表示，可以写出的等式为______． （3）试借助拼图的方法，把二次三项式分解因式． ①画出拼图． ②因式分解：______．    【答案】（1）3；3；（2）；（3）①见解析；② 【分析】本题考查了通过图形拼凑进行代数式的运算或因式分解，正确拼出图形，采用数形结合理解几何图形面积的意义是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）根据图形分析，正方形、长方形硬纸片拼成了一个大长方形的面积，利用面积相等即可求； （3）①依据代数式画出图形即可；②根据图形即可得出因式分解的结果． 【详解】解：（1）∵， ∴需要两种正方形纸片共3张，长方形纸片3张， 故答案为：3；3； （2）根据题意得：长和宽均为， 所得等式为：， 故答案为：； （3）①如图，可拼图如下，    ②， 故答案为：． 3．感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图 1 中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_____________ ； 应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图 2 所示 的是棱长为的正方体被分割线分成 8 块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为 ； 拓展：（3）如图 3，棱长为 x 的实心大正方体切除一个棱长为 y 的小正方体，剩余部分按如图所示的 方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 ，乙长方体的体积为 ， 丙长方体的体积为 ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为． 根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图 2 与图 3 中的 x 与 y 的值分别相等，且满足，，其中，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）用两种方法表示图 1 中的大正方形的面积即可得解． （2）用两种方法表示图 2中正方体的体积即可得解． （3）将和用含有，的式子表示出来即可得解． 【详解】解：（1）图 1 中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， 因此可得． 故答案为：． （2）图 2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为， 因此可得． 故答案为：． （3），， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键． 【一览众山小】 1．已知，则的值为（　　） A．17 B．1 C． D．15 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值，先根据多项式乘以多项式的法则，进行计算，求出，再利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 2．若，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用单项式乘法求字母或代数式的值，熟练掌握单项式乘单项式法则是解题的关键．先利用单项式乘单项式法则，可得，从而得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：， ， ， 两式相加，得， 解得． 故选：B． 3．多项式的最小值为（    ） A．18 B．9 C．27 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和非负数的性质，解题关键是熟练运用完全平方公式进行变形，利用非负数的性质确定最值．利用完全平方公式进行变形，再根据非负性确定最小值，即可解题． 【详解】解： ， ，， 多项式的最小值为18， 故选：A． 4．探索题： 根据以上规律，判断的值的个位数是几 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，找出规律是解题的关键．给等式乘以从而可知，然后找出的尾数规律从而得到答案． 【详解】解：， ，，，，，， ． 故的尾数是4.． 故的值的个位数是3． 5．如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图和图两种方式放置在长方形内（图和图中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为，；设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，根据平移的知识和面积的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的面积， 图2中阴影部分的面积， ． 故答案为：． 6．阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律与交换律，已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是根据平方差公式对所求式子进行化简．根据平方差公式对所求式子进行化简得到，再代入值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 原式， 故答案为：． 7．阅读下列材料3 若x满足，求的值 解：设，， 则，， ∴； 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)若x满足，求的值 (2)如图，正方形的边长为x，E，F分别是边，上的点，，，长方形的面积为48，分别以，为边作正方形和正方形． ① ， ；（用含x的式子表示）； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)①，；②28 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，完全平方公式的变形运算； （1）设，，仿照已知求出、的值，将化为 ，即可求解； （2）①由图即可求解；②设，，仿照已知求出、的值，，即可求解； 掌握、、、之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则， ， ∴ ； （2）解：①由图得： ， 故答案：，； ②由题意得 ， 阴影部分的面积： 设，， 则， ， ∴ ， ∴， 又∵ ∴， ∴阴影部分面积 ． 8．我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ； ； 并完成下列问题 (1)，则 ； ；，则 ； ； (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为米的木栅栏围成一个长方形花圃，如图，为了设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一边长度为米，完成下列任务： ①列式：用含的式子表示花圃的面积： ； ②请说明当取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)，，， (2) ②；平方米 【分析】本题考查了用配方法对二次函数进行配方，进而求最值的问题． （1）仿照题中例子，把代数式配方求解； （2）利用矩形的面积公式求解； 把中的代数式进行配方，再求其最值． 【详解】（1）解：， ， ； ， ， 故答案为：，，，； （2）由题意得：， 故答案为：； 设花圃的面积的面积为平方米， 则， ， ， 当时，花圃的面积最大，最大面积是平方米． 9．在有理数范围分解因式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）把看着一个整体，利用完全平方公式因式分解即可； （3）设，先计算，再分解关于a的多项式，然后代入还原继续因式分解即可； （4）利用分组分解法，利用两次完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： （2） （3）设， 则原式， ， ∴原式 （4） ， . 10．综合与探究 【阅读理解】 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合． 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______． （2）利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为_______． 【拓展探究】 该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解． 例：若x满足，求( 的值． 解：设， 则． ∴． （3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 【答案】（1）；（2）62；（3）11 【分析】本题考查完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键是利用图形面积之间的关系求解，熟练进行公式之间的转化变形． （1）第一种：阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形，利用正方形面积公式即可得出，第二种：用大正方形面积减去两个长方形的面积即可得出； （2）将代入①中等式即可求解； （3）利用正方形和长方形的性质，将与的关系表示出来，再利用阴影部分面积为38即可求出，再变形求解即可． 【详解】解：（1）第一种： 阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形， ； 第二种： 阴影部分面积等于大正方形面积减去两个长方形的面积， ； ， 故答案为：； （2）将代入①中等式，得： ， 故答案为：62 （3）设，， 四边形和四边形为正方形， ，， 四边形为正方形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 正方形和正方形的面积之和为38， ， ， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$