26.4 解直角三角形的应用-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

第1课时　仰角、俯角、方向角 课时目标 1.使学生进一步掌握解直角三角形的方法,比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题. 2.在课堂中渗透数形结合的数学思想,让学生感受到生活中处处有数学. 3.积极参与数学活动,对数学产生好奇心,培养学生独立思考问题的习惯,在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心,渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生生活中应用数学的意识. 学习重点 解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题. 学习难点 把实际问题转化为数学问题,并选择简单的方法解决问题. 课时活动设计 回顾旧知 带领学生回顾解直角三角形有关的问题: 在解直角三角形时用到的关系式: (1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理); (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; (3)边角之间的关系: sin A==,cos A==,tan A==, sin B==,cos B==,tan B==. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节课学习的内容作铺垫. 问题导入 如图,用一个测角仪和一个卷尺测得∠C=50°和所站位置到旗杆的距离为4.5米,能否得到旗杆的高度?你知道怎样得到吗? 设计意图:从学生熟悉的实际问题入手,通过一个简单的直接求值的小例子让学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用.激发学生的学习兴趣,引发学生思考,为复杂的应用作铺垫. 探究新知 俯角、仰角概念:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角;视线在水平线下方的角叫俯角. 如果观察旗杆的底座,俯角为18°,此时又怎么求得旗杆顶部到地面的距离? 设计意图:由实际问题情境导入新课,激发学生的学习兴趣,培养学生从实际问题中抽象出几何图形从而解决问题的能力. 典例精讲 例　海中有一个小岛A,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在船北偏东60°方向上,航行12海里到达C点,这时测得小岛A在船北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险.请说明理由. 解:如果渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险. 理由如下: 如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D, 根据题意,可知∠ABC=30°,∠ACD=60°. ∵∠ACD=∠ABC+∠BAC,∴∠BAC=∠ABC=30°, ∴CA=CB=12. ∵在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠ACD=60°,sin∠ACD=, ∴sin 60°=, ∴AD=12×sin 60°=12×=6>8. ∴渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险. 归纳总结:利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点,选用适当锐角三角函数去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察、思考、操作、计算得出结论,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 课堂8分钟. 1.教材第120页习题A组第1题,B组第1题. 2.七彩作业. 教学反思   第2课时　与坡度、坡角有关的问题 课时目标 1.使学生进一步掌握锐角三角函数的简单应用,比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题. 2.在课堂中渗透数形结合的数学思想,让学生感受到生活中处处有数学. 3.积极参与数学活动,对数学产生好奇心,培养学生独立思考问题的习惯,让学生在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心,渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生在生活中应用数学的意识. 学习重点 解决与坡度、坡角有关的实际问题. 学习难点 把实际问题转化为数学问题,并选择简单的方法解决问题. 课时活动设计 复习引入 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点,选用适当锐角三角函数去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 师:这节课我们继续研究利用解直角三角形的知识解决坡度、坡角有关的问题. 设计意图:通让学生回顾之前所学知识,为本节课的内容学习作铺垫,通过导入新课,激发学生学习兴趣,同时也点明了本节课的主旨,方便学生抓住重点. 新知学习 1.坡度(坡比):坡面的垂直高度h与水平宽度l的比. 2.坡角:坡面与水平面的夹角. 3.坡度与坡角之间的关系:i==tan α. 问题:如图,在山坡上植树时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为5 m.现测得斜坡的坡角为21°.求相邻两树间的坡面距离.(结果精确到0.1 m) 解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=21°,AC=5 m, ∵cos∠BAC=, ∴AB==≈5.4(m). 答:相邻两树间的坡面距离约为5.4 m. 设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察、思考、操作、计算得出结论,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.再通过提问环节,让学生主动参与到本节课的学习中来. 典例精讲 例　如图所示,铁路路基的横断面为四边形ABCD,其中,BC∥AD,∠A=∠D,根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角(结果精确到1'). 解题思路:(1)进行和坡度有关的计算,常作辅助线构造直角三角形,根据解直角三角形的知识求坡角; (2)根据坡度概念及梯形的高,可以求出AE,DF的长; (3)由矩形的性质可得EF与BC的数量关系,求出EF的长,从而求出底AD的长. 解:如图,作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F. 在四边形BEFC中, ∵BC∥AD,∠AEB=∠DFC=90°, ∴四边形BEFC为矩形. ∴BC=EF,BE=CF. 在Rt△ABE和Rt△DCF中, ∵∠A=∠D,∠AEB=∠DFC,BE=CF, ∴Rt△ABE≌Rt△DCF. ∴AE=DF. 在Rt△ABE中,tanα===,BE=4, ∴α≈38°39',AE=5. ∴AD=AE+EF+FD=BC+2AE=10+2×5=20. 即路基下底的宽为20 m,坡角约为38°39'. 设计意图:选取生活实例,让学生经历用三角函数解决问题的过程,同时在解题中运用方程思想. 巩固训练 如图,水库大坝的横断面是四边形ABCD,DC∥AB,坝顶宽CD=3 m,斜坡AD=16 m,坝高为8 m,斜坡BC的坡度为.求斜坡AD的坡角α和坝底的宽AB(结果精确到0.01 m). 解:在Rt△ADE中,AD=16,DE=8. ∴sinα===. ∴∠α=30°. ∴斜坡AD坡角α为30°. 分别过点C,D作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为点E,F. ∵斜坡BC坡度为,坝高8m, ∴=,解得BE=24m. 又∵在Rt△ADE中,AD=16,DE=8, ∴AF==8. 又∵CD=3=EF, ∴AB=AE+EF+BF=8+3+24=27+8≈40.86. ∴坡底的宽AB约为40.86m. 设计意图:培养学生分析问题解决问题的能力,体会不同实际背景问题的解决. 课堂8分钟. 1.教材第120页习题A组第2题,B组第2题. 2.七彩作业. 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 　　　1.坡度:坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比. 　　　2.坡角:坡面与水平面的夹角. 　　　3.坡度与坡角之间的关系:i==tan α. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$