25.5 相似三角形的性质-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

第1课时　相似三角形对应线段的性质 课时目标 1.经历探索相似三角形性质的过程,了解相似三角形的性质定理,发展学生的几何直观和推理能力. 2.通过相似三角形性质的应用,培养学生的推理能力,增强学生的核心素养. 学习重点 了解相似三角形的性质和证明方法. 学习难点 能运用相似三角形的性质解决简单的问题. 课时活动设计 回顾引入 思考:(1)相似三角形的判定方法有哪些? (2)你知道的相似三角形的性质有哪些? (3)三角形除了边和角之外,还有哪些要素? 设计意图:引导学生复习相似三角形的判定、性质,为本节课的学习打下基础.引导学生思考三角形的要素,培养学生的研究视角,发展学生的数学思维和学科素养. 探究相似三角形的性质 学生活动一:请任意作一对相似三角形,并画出对应边上的高、中线、角平分线,观察这些对应线段的比与相似比之间有怎样的关系?猜想并验证结论. 学生活动二:小组合作,证明你的猜想. 小组讨论,教师巡视,适当给予提示,小组展评. 已知:如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高. 求证:=k. 证明:∵△ABC∽△A'B'C'. ∴∠B=∠B'. 又∵AD⊥BC,A'D'⊥B'C',　　　　　 ∴∠ABD=∠A'B'D'=90°. ∴△ABD∽△A'B'D'. ∴==k. 结论:同理可证相似三角形对应中线的比,对应角线的比都等于相似比. 设计意图:让学生动手画图,得到猜想,然后测量计算验证猜想,最后证明猜想,让学生经历动手画图、得到猜想、验证猜想、最后证明猜想的完整的研究过程,培养学生的科学的研究素养. 用三种语言描述相似三角形的性质定理 你能用三种语言描述相似三角形的性质定理吗? 相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比,都等于相似比. 符号语言: ∵AD与A'D',AE与A'E'分别为BC,B'C'边上的高和中线,AF与A'F'分别为∠BAC=∠B'A'C'的平分线, 又∵△ABC∽△A'B'C',相似比为k, ∴===k. 设计意图:引导学生画图寻找等于相似比的对应线段,并进行说理,一方面引导学生由特殊到一般的研究视角,另一方面培养学生的几何直观和推理能力,发展学生的核心素养. 探究相似三角形的性质的推广 思考:我们知道相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比、对应高的比,都等于相似比.除了这些线段你还能找到等于相似比的线段吗?动手画一画.并说明其正确性. 结论:相似三角形对应线段的比等于相似比. 设计意图:引导学生画图寻找等于相似比的对应线段,并进行推理,一方面引导学生由特殊到一般的研究视角,另一方面培养学生的几何直观和推理能力,发展学生的核心素养. 典例精讲 如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,EF∥BC,垂足为D,EF∥BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,=,AD=15,求AG的长. 分析:根据相似三角形对应高之比等于相似比,得=,从而求AG的长. 解:∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC. ∵AD⊥BC, ∴AD⊥EF. ∴=. 又∵=,AD=15, ∴=.∴AG=9. 设计意图:本环节力求提高学生运用知识的能力和推理能力,加深学生对定理的理解,提高学生综合运用知识的能力. 课堂小结 本节课我们研究了相似三角形性质定理,请同学们带着以下问题进行总结: (1)本节课你学到了哪些知识?目前为止相似三角形的性质你学了哪些? (2)本节课学习经历了怎样的过程?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验? (3)根据图形要素的研究视角,你对相似三角形性质的后续研究有何设想? 设计意图:通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考. 课堂8分钟. 1.教材第85页习题第1,2题. 2.七彩作业. 第1课时　相似三角形对应线段的性质 　　相似三角形的性质定理: 　　图形语言: 　　符号语言: 教学反思   第2课时　相似三角形周长与面积的性质 课时目标 1.经历探索相似三角形周长、面积性质的过程,了解相似三角形的性质定理,发展学生的几何直观和推理能力. 2.通过相似三角形性质的应用,培养学生的推理能力,增强学生的核心素养. 学习重点 了解相似三角形的性质和证明方法. 学习难点 能运用相似三角形的性质解决简单的问题. 课时活动设计 回顾引入 思考:(1)你知道的相似三角形的性质有哪些? (2)三角形除了边和角及三条重要线段之外,还有哪些要素是值得研究的? 设计意图:引导学生复习相似三角形的性质,为本节课的学习打下基础.引导学生思考三角形的要素,培养学生的研究视角,发展学生的数学思维和学科素养. 探究相似三角形周长、面积的性质 如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高. (1)△ABC的周长与△A'B'C'的周长的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由. (2)△ABC的面积与△A'B'C'的面积的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由. 小组合作探究,证明猜想.教师巡视,适当给予提示,最后小组展评. 设计意图:让学生观察图形,得到猜想,并试着说明理由,培养学生的几何直观和推理能力,发展学生的核心素养. 用三种语言描述相似三角形的性质定理 你能用三种语言描述相似三角形的性质定理吗? 相似三角形的性质定理:相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形的比等于相似比的平方. 符号语言: ∵△ABC∽△A'B'C',相似比为k, ∴△ABC的周长与△A'B'C'的周长之比为k,△ABC的面积与△A'B'C'的面积之比为k2. 设计意图:引导学生画图寻找等于相似比的对应线段,并进行推理,一方面引导学生由特殊到一般的研究视角,另一方面培养学生的几何直观和推理能力,增强学生的核心素养. 典例精讲 例　如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点,求: (1)△DEF的周长与△ABC的周长之比. (2)△DEF的面积与△ABC的面积之比. 分析:利用三角形中位线的性质可得EF=BC,FD=CA,DE=AB.即可得出周长之比,通过面积比等于相似比的平方求出面积之比. 解:∵D,E,F分别是边BC,AC,AB的中点, ∴DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC,且DE=AB,EF=BC,DF=AC. ∴===. ∴△DEF∽△ABC. ∴△DEF与△ABC的周长之比为1∶2,面积之比为1∶4. 设计意图:本环节力求提高学生运用知识的能力和推理能力,加深学生对定理的理解,提高学生综合运用知识的能力. 课堂小结 本节课我们研究了相似三角形性质定理,请同学们带着以下问题进行总结: (1)本节课你学到了哪些知识?相似三角形有哪些性质? (2)本节课学习经历了怎样的过程?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验? 设计意图:通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考. 课堂8分钟. 1.教材第87页习题A组第1,2题B组第1,2题. 2.七彩作业. 第2课时　相似三角形周长、面积的性质 　　　相似三角形的性质定理: 　　　图形语言: 　　　符号语言: 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$