25.2 平行线分线段成比例-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

第1课时　平行线分线段成比例 课时目标 1.经历探索平行线分线段成比例的过程,培养学生科学的探究精神,发展学生的空间观念和几何直观. 2.经历基本事实的抽象过程,掌握平行线分线段成比例基本事实,培养学生的抽象能力. 3.通过参与数学活动,发展学生探究问题的能力. 学习重点 探索平行线分线段成比例基本事实. 学习难点 理解并熟练应用基本事实. 课时活动设计 回顾引入 1.什么叫成比例线段?举例说明. 2.关于比例的性质有哪些?由等积式ad=bc可以化成哪些比例式? 设计意图:引导学生回顾比例线段及相关性质,为本节课的学习做好铺垫. 探究平行线分线段成比例基本事实 思考:(1)观察下图,哪些线段是成比例线段?为什么? (2)这一发现是一巧合呢?还是必然呢?请画图验证你的猜想. 小组交流讨论,之后进行展评. (3)刚才的猜想与验证都是特殊情况,即交点都落在了格点上,可以利用勾股定理计算得出结论,那么一般的图形具有这种成比例的性质吗? 几何画板演示,让学生观察平行线分线段成比例这一事实,加深学生对这一基本事实的理解与记忆. 设计意图:通过问题引导学生从网格中的特殊图形寻找成比例线段,得出平行线分线段成比例这一猜想,然后引导学生画图验证猜想,最后利用几何画板让学生发现一般情况下平行线分线段成比例这一猜想也是成立的,于是得出平行线分线段成比例基本事实.通过经历科学的探究过程,培养学生科学的思考问题的方法,发展学生的数学思维品质. 用三种数学语言描述平行线分线段成比例基本事实 你能用自己的语言描述你发现的结论吗? 基本事实:两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例. 思考:(1)如图哪些线段是截得的对应线段?AD,BE,CF是截得的对应线段吗?为什么? (2)你能用符号语言表示上述基本事实吗? 设计意图:引导学生用自己的语言描述,培养学生的数学抽象能力与用数学语言表达的能力,通过图形让学生理解什么是对应线段,突破本节课的难点.让学生用符号语言表示基本事实,一方面加深学生对基本事实的理解,另一方面培养学生三种数学语言互相转化的能力. 典例精讲 例1　如图,l1∥l2∥l3,AB=3,BC=6,DE=2,求EF的长. 分析:已知l1∥l2∥l3,根据=求出EF的长. 学生先独立完成,再小组交流. 解:∵l1∥l2∥l3,∴=. ∵AB=3,BC=6,DE=2, ∴=,∴EF=4. 方法归纳:根据平行线分线段成比例的基本事实列出已知线段与未知线段的方程. 设计意图:本环节力求提高学生知识的运用能力和推理能力,加深学生对基本事实的理解,提高学生综合运用知识的能力. 课堂小结 本节课我们研究了平行线分线段成比例的基本事实,请同学们带着以下问题进行总结: (1)本节课探究基本事实经历了怎样的过程?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验? (2)对于平行线分线段成比例基本事实,能用来解决什么问题?在应用的过程中需要注意什么? 设计意图:通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考.通过思考基本事实的用法及注意事项,可进一步加深对基本事实的理解. 第1课时　平行线分线段成比例 　　　　基本事实:两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例. 图形语言: 符号语言:∵l1∥l2∥l3, ∴=,=,=,==. 可简记为=,=,=,==. 课堂8分钟. 1.教材第64页A组第2题,B组第2题. 2.七彩作业. 教学反思   第2课时　平行线分线段成比例的推论 课时目标 1.通过研究平行线分线段成比例基本事实在三角形中的应用,让学生体会数学研究由一般到特殊的研究思路,培养学生科学的探究精神. 2.通过探究平行线分线段成比例的特殊情况,理解并掌握两个推论,培养学生的逻辑推理能力. 学习重点 探索平行线分线段成比例的基本事实在三角形中的应用定理. 学习难点 理解并熟练应用定理解决问题. 课时活动设计 回顾引入 1.说明平行线分线段成比例的基本事实. 2.如图,若AB=3,BC=5,DF=12,你能求哪些线段的长度?说明理由. 设计意图:引导学生回顾平行线分线段成比例的基本事实,为本节课的学习做好铺垫. 探究平行线分线段成比例的基本事实在三角形中的应用. 思考:(1)如图,请移动直线DF,在移动的过程中有特殊情况吗?特殊在哪里? (2)如图,是上图的特殊情况,请写出下图中的成比例线段. (3)你能总结一下,平行线分线段成比例的基本事实在三角形中的应用价值吗? 先独立思考,然后小组讨论,最后小组展评. 结论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 思考:请结合上图理解上述定理:三角形指哪个?平行线指谁?截的是两边还是延长线?截得的对应线段分别是谁?有哪些比例式成立? 设计意图:引导学生移动直线,寻找特殊情况,并发现特殊情况的研究价值,从中总结得出关于平行线分线段成比例的基本事实在三角形中的应用.通过整个过程让学生体会数学研究从一般到特殊的思想方法,在发现特例的过程中培养学生的几何直观,在总结特殊图形的应用价值的过程中培养学生的抽象能力.最后引导学生对照图形理解定理,加深学生对定理的理解与掌握. 探究平行线分线段成比例的基本事实在三角形中的推广应用. 思考:如图得到的三角形的第三边的比与被平行线截得的对应边的比相等吗?请设计研究思路? 先独立思考,然后小组讨论,最后小组发表意见. 研究思路:借助网格研究特例——得出猜想——验证猜想——证明猜想——得出结论 小组活动:自己借助网格纸研究特例,得出猜想并验证猜想. 得出猜想:平行于三角形一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形对应边成比例. 请画出图形,写出已知、求证,并证明. 例1　已知,如图,在△ABC中,EF∥BC,EF与两边AB,AC分别相交于点E,F. 求证:== 思考:=成立是已知的,思考这个比例式中的线段有什么特点?(在同一直线上)要证明=需要将EF与BC放一条直线上,如何构造平行将EF转移到BC上呢? 证明:∵EF∥BC,∴=. 如图,过点E作EG∥AC,EG与边BC相较于点G,则=. ∵EF∥BC,EG∥AC, ∴四边形EGCF为平行四边形,从而GC=EF. ∴==. ∴==. 结论:平行于三角形一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形对应边成比例. 设计意图:引导学生研究平行线截得的三角形与原三角形三边的关系,引导学生学会科学的研究方法,培养学生利用科学的思维思考问题,培养学生的核心素养.在证明的过程中,辅助线的添加方法是本题的难点,引导学生观察已知寻找共性,并类比共有的性质,想到添加辅助线的方法,培养学生的抽象能力及类比的数学思想方法. 用三种数学语言描述平行线分线段成比例的基本事实在三角形中的推广定理 你能用三种语言描述上述定理吗?并结合图形谈一谈你对定理的理解. 思考:对于本节学到的两种常用基本图形,你有快速辨识模型的方法吗?给大家分享一下.(“A”字形图与“8”字形图) 设计意图:引导学生用三种语言表述定理,培养学生文字语言、图形语言和符号语言互相转化的能力,通过结合图形让学生谈谈对定理的理解,加深对定理的理解与掌握.通过让学生思考模型的辨识方法,培养学生的模型意识与抽象能力,为以后定理的辨识与应用打下基础. 典例精讲 例　在△ABC中,DE∥AC,AB=7,BD=3,BE=2,求BC的长. 分析:本题是典型“A”字型.用=即可求出. 解:∵DE∥AC, ∴=. ∴=. ∴BC=. 设计意图:本环节力求提高学生运用知识的能力和推理能力,加深学生对定理的理解,提高学生综合运用知识的能力. 课堂小结 本节课我们研究了平行线分线段成比例的基本事实在三角形中的应用,请同学们带着以下问题进行总结: (1)本节课你学到了哪些知识? (2)本节课探究定理经历了怎样的过程?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验? (3)对于平行线分线段成比例的基本事实在三角形中的应用定理,能用来解决什么问题? 设计意图:通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考.通过思考基本事实的用法及注意事项,可进一步加深对基本事实的理解. 课堂8分钟. 1.教材第67页A组第1,2题,B组第1,2题. 2.七彩作业. 第2课时　平行线分线段成比例在三角形中的应用 1.基本事实:两边直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例. 2.定理:(1)平行于三角形,一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. (2)平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例. 图形语言: 符号语言:∵EF∥BC, ∴==. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$