24.2 解一元二次方程-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

第1课时　配方法 课时目标 1.了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤. 2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,体会转化、降次的数学思想方法. 3.通过对配方法的探究活动,培养学生勇于探索的学习精神,感受数学的严谨性,增强运算能力和推理能力. 学习重点 用配方法解一元二次方程. 学习难点 探索并掌握配方法的关键——添加常数项. 课时活动设计 复习导入 1.如果x2=a(a≥0),则x叫做a的平方根. 2.如果x2=a(a≥0),则x=　±　.  3.如果x2=64,则x=±8. 4.任何数都可以作为被开方数吗? 解:负数不可以作为被开放数. 设计意图:让学生回顾平方根的定义,引导学生体会理解求一个非负数的平方根实际上就是求x2=a(a≥0)这一特殊形式的一元二次方程的解. 探究新知 探究1　直接开平方法 根据平方根的意义,解下列方程: (1)x2=4;　　　　　(2)x2=0;　　　　　(3)x2+1=0. 解:(1)x1=-2,x2=2. (2)x1=x2=0. (3)x2=-1.因为负数没有平方根,所以原方程无实数根. 问题1:上述方程有什么共同点?你能归纳一下这类方程的根的情况吗? 学生独立思考或小组交流,教师引导学生观察分析,上述方程均可写为x2=n的形式,并根据n的取值范围可以得到方程根的三种情况. 归纳:一般地,对于可化为方程x2=n的情况, (1)当n>0时,根据平方根的意义,方程x2=n有两个不相等的实数根x1=-,x2=; (2)当n=0时,根据平方根的意义,方程x2=n有两个相等的实数根x1=x2=0; (3)当n<0时,因为对任意实数x,都有x2≥0,所以x2=n无实数根. 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 问题2:对照上面的方法,你认为怎样解方程(x+1)2=4? 在解方程时,由方程x2=4,得x=±2. 由此想到,可将(x+1)看成一个整体,得x+1=±2. 则x+1=-2,x+1=2. ∴x1=-3,x2=1. 实质上是把一个一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程,这样就把原方程转化为我们会解的方程. 问题3:用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点? 如果一个一元二次方程具有x2=n(n≥0)或(x+m)2=n(n≥0)的形式,那么就可以直接用直接开平方法求解. 问题4:用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么? 首先将一元二次方程化为等号左边是含有未知数的一个完全平方式,右边是非负数的形式,然后用平方根的定义求解. 探究2　配方法 问题1:填一填下列完全平方公式. a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b=(a-b)2 做一做:填上适当的数,使下列等式成立. (1)x2+12x+　62　=(x+6)2;(2)x2-6x+　32　=(x-3)2;  (3)x2-4x+　22　=(x-2)2;(4)x2+8x+　42　=(x+4)2.  教师出示问题,学生先独立思考或合作交流,进行汇报.教师可引导学生复习完全平方公式的特点. 问题2:观察上面的等式,等号左边的常数项和一次项系数有什么关系? 对于二次项系数为1的完全平方式,常数项等于一次项系数一半的平方. 问题3:解方程(1)x2+2x+1=4;(2)x2+2x-3=0. 分析:(1)方程x2+2x+1=4可变形为(x+m)2=n(n≥0)的形式,即(x+1)2=4,开平方,得x+1=±2,即x1=1,x2=-3. (2)将方程(2)和方程(1)对比,将方程x2+2x-3=0和x2+2x+1=4一样,变形为(x+m)2=n(n≥0)的形式. x2+2x-3=0x2+2x=3x2+2x+1=3+1(x+1)2=4 x+1=±2x1=1,x2=-3 问题4:一元二次方程配方时,方程两边加同时加上什么数,可使等号左边配成完全平方式? 配方时,先将常数项移至另一边,再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 归纳:通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边为常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 思考:对于方程2x2+4x+1=0,如何用配方法求解呢? 分析:因该方程二次项系数不为1,所以不能直接配方,根据等式的基本性质,方程两边同时除以二次项系数,可将二次项系数化为1进行求解. 解:移项,得2x2+4x=-1. 二次项系数化为1,得x2+2x=-. 配方,得x2+2x+1=-+1, 即(x+1)2=,∴x+1=±, ∴x1=-1+,x2=-1-. 设计意图:通过平方根的意义,引出用直接开平方法解一元二次方程,为配方法的学习作铺垫;分层次的问题设置,让学生在已有知识的基础上,独立完成问题,体会“降次”的数学思想,增强学生的自信心,符合学生的认知特点. 典例精讲 例1　用配方法解下列方程: (1)x2-10x-11=0;　(2)x2+2x-1=0. 解:(1)移项,得x2-10x=11. 配方,得x2-10x+52=11+52,即(x-5)2=36. 两边开平方,得x-5=±6. 所以x1=11,x2= -1. (2)移项,得x2+2x=1. 配方,得x2+2x+12=1+12,即(x+1)2=2. 两边开平方,得x+1=±. 所以x1=-1+,x2= -1-. 例2　用配方法解方程:2x2+3=6x. 解:移项,并将二次项系数化为1,得x2-3x=-. 配方,得x2-3x+=-.即=. 两边开平方,得x-=±. 所以x1=,x2=. 设计意图:通过例题讲解,进一步巩固用配方法解二次项系数为1和二次项系数不为1的一元二次方程,培养学生的分析能力和灵活运用能力,渗透化归的基本思想. 合作交流 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?与同学交流你的想法. 1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.二次项系数化为1:方程两边同时除以二次项系数; 3.配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方; 4.开方:根据平方根的意义,将一元二次方程转化为两个一元一次方程; 5.求解:解一元一次方程得到一元二次方程的根. 设计意图:让学生归纳总结用配方法解一元二次方程的步骤,通过独立思考、分析、展示,培养学生观察能力及归纳总结的能力. 课堂8分钟. 1.教材第39页习题A组第1,2题,习题B组第1,2题. 2.七彩作业. 教学反思   第2课时　公式法 课时目标 1.经历推导求根公式的过程,培养学生数学推理能力及严谨性. 2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况,会用公式法解简单系数的一元二次方程. 3.通过探究和应用一元二次方程的求根公式,认识特殊与一般的关系,提高学生的观察能力、分析问题能力,同时培养学生的推理能力和数学建模意识. 学习重点 求根公式的推导及用公式法解一元二次方程. 学习难点 一元二次方程求根公式的推导过程. 课时活动设计 复习导入 用配方法解方程3x2-6x-5=0. 解:移项,并将二次项系数化为1,得x2-2x=. 配方,得x2-2x+12=+12. 即(x-1)2=. 两边开平方,得x-1=±. 所以x1=1+,x2=1-. 设计意图:巩固配方法解一元二次方程的步骤,既训练了解一元二次方程的技能,又为下面求根公式的推导作铺垫. 探究新知 你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗? 学生根据配方法的步骤解ax2+bx+c=0(a≠0). 解:移项,得　ax2+bx=-c　.  二次项系数化为1,得　x2+x=-　.  配方,得x2+x+ 　=-+ 　.  整理,得 =　.  思考:(1)等号两边能直接开平方吗? (2)认真观察,方程的根与哪些因素有关? 学生自主探索,小组交流. 因为a≠0,所以4a2>0,则需对b2-4ac的值分情况讨论. ①当b2-4ac>0时,>0,得x+=±. 方程有两个不相等的实数根x1=,x2=. ②当b2-4ac=0时,=0,得=0. 方程有两个相等的实数根x1=x2=-. ③当b2-4ac<0时,<0,而≥0,所以方程没有实数根. 于是我们得到,对于一元二次方程ax2+bx+c=0, 当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; 当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式.记作“Δ”可用于判别一元二次方程根的个数. 由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的根由方程的系数a,b,c确定. 因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0. 当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用它解一元二次方程的方法叫做公式法,由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根. 设计意图:教师引导学生自主探究,经历推导一元二次方程求根公式的过程,加深学生对求根公式的理解,从而总结出公式法的概念.同时在探究交流过程中培养了学生分析问题,解决问题的能力,以及从特殊到一般的总结概括能力和分类讨论思想. 典例精讲 例1　不解方程,判别下列方程根的情况. (1)x2+3x+2=0;　　(2)x2-4x+4=0;　　(3)2x2-4x+5=0. 解:(1)a=1,b=3,c=2. ∵b2-4ac=32-4×1×2=1>0, ∴原方程有两个不相等的实数根. (2)a=1,b=-4,c=4. ∵b2-4ac=(-4)2 -4×1×4=0, ∴原方程有两个相等的实数根. (3)a=2,b=-4,c=5. ∵b2-4ac=(-4)2 -4×2×5=-24<0, ∴原方程没有实数根. 例2　用公式法解下列方程. (1)4x2+x-3=0;　　(2)x2-2x-5=0. 解:(1)a=4,b=1,c=-3. ∵b2-4ac=12-4×4×(-3)=49>0, ∴x==, 即x1=,x2=-1. (2)a=1,b=-2,c=-5. ∵b2-4ac=(-2)2-4×1×(-5)=24>0, ∴x==, 即x1=1+,x2=1-. 设计意图:通过练习,熟悉并归纳公式法解题的一般过程,加深学生对于根的判别式和公式法的理解,培养学生解题能力及归纳总结能力. 方法归纳 用公式法解一元二次方程的一般步骤: 1.把方程化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),并写出a,b,c的值; 2.求出b2-4ac的值,判断方程有无实数根; 3.若有实数根,代入求根公式x=,求出方程的根. 设计意图:让学生归纳总结用公式法解一元二次方程的步骤,考查学生对知识的掌握程度,培养学生观察分析和归纳总结的能力. 课堂8分钟. 1.教材第42页习题A组第1,2题,习题B组第1,2题. 2.七彩作业. 教学反思   第3课时　因式分解法 课时目标 1.了解因式分解法解一元二次方程的概念,会用因式分解法解一元二次方程. 2.能根据一元二次方程的特征,灵活选用解一元二次方程的方法. 3.经历探索用因式分解法解一元二次方程的过程,发展合情推理的能力,体会转化、降次的思想方法. 学习重点 会用因式分解法解一元二次方程. 学习难点 能根据一元二次方程的特征,选择适当的方法解一元二次方程. 课时活动设计 复习导入 1.我们已经学过几种解一元二次方程的方法? 解:(1)直接开平方法x2=n(n≥0). (2)配方法(x+m)2=n(n≥0). (3)公式法x=(b2-4ac≥0). 2.什么是因式分解?因式分解的方法有哪几种? 解:把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解,也叫做多项式分解因式. 方法有(1)提取公因式法am+bm+cm=m(a+b+c); (2)公式法a2-b2=(a+b)(a-b);a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)十字相乘法x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 设计意图:通过复习因式分解等有关知识,激发学生学习兴趣,为学习因式分解法解一元二次方程做好铺垫. 探究新知 对于方程x2-2x=0,除了可以用配方法或公式法求解,还可以怎样求解呢? 解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程,因此,可将方程的左边分解因式.于是,得x(x-2)=0.所以,x=0,或x-2=0.方程x2-2x=0的两个根为x1=0,x2=2. 学生讨论分析,教师引导学生探索上述解方程的依据:利用因式分解使方程化为两个一次式乘积为0的形式,即如果a·b=0,那么a=0或b=0. 像这样,把一元二次方程的一边化为0,另一边分解成两个一次因式的乘积,进而转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 设计意图:在教师引导下观察方程的特点,感悟利用因式分解达到降次的目的,让学生经历因式分解法概念的形成过程,培养学生观察问题、分析问题及解决问题的能力. 典例精讲 例　用因式分解法解下列方程. (1)2x2-5x=0;　　　(2)3(x-1)2=2(x-1);　　　(3)(x+5)2=49. 解:(1)原方程可化为x(2x-5)=0. 得x=0,或2x-5=0. 即x1=0,x2=. (2)原方程可化为3(x-1)2-2(x-1)=0, (x-1)(3x-5)=0. 得x-1=0,或3x-5=0. 即x1=1,x2=. (3)原方程可化为(x+5)2-72=0, (x+12)(x-2)=0. 得x+12=0,或x-2=0. 即x1=-12,x2=2. 设计意图:学生独立运用因式分解法完成方程的求解,进一步掌握用因式分解法解方程的步骤,体会转化、降次的数学思想方法及整体思想. 方法归纳 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 1.方程的右边化为等于0的形式,左边因式分解为a·b的形式; 2.根据“如果a·b=0,那么a=0,或b=0”,转化为两个一元一次方程; 3.分别解两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根. 设计意图:让学生养成提炼解题思路,归纳总结的能力. 合作探究 解一元二次方程的方法有哪几种?根据你的学习体会,谈谈解方程时如何选择适当的解法. 学生独立回答,并尝试比较说明各种方法所适用的方程类型.教师总结. 1.如果是特殊形式(x+a)2=b(b≥0),用直接开平方法; 2.二次项系数为1,一次项系数为偶数,常用配方法解方程; 3.方程系数无明显特点,考虑用公式法解方程; 4.能化为两个一次式乘积为0的形式的方程,用因式分解法解方程. 设计意图:让学生回顾解一元二次方程的常用方法,比较各种解法的异同,使学生明确各种解法的优缺点.及时巩固所学知识,增强学生学习的信心,培养灵活应用的数学思维. 巩固练习 用适当的方法解下列方程. (1)(x+1)2=9;(2)x2-4x=6;(3)2x2-3x-1=0;(4)(x-1)2=(2x+1)2. 解:(1)原方程可化为(x+1)2-32=0, (x+4)(x-2)=0. 得x+4=0,或x-2=0.即x1=-4,x2=2. (2)配方,得x2-4x+22=6+22,即(x-2)2=10. 两边开平方,得x-2=±.所以x1=2+,x2=2-. (3)a=2,b=-3,c=-1. ∵b2-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0,∴x==, 即x1=,x2=. (4)原方程可化为(x-1)2-(2x+1)2=0, 3x(-x-2)=0. 得3x=0,或-x-2=0.即x1=0,x2=-2. 设计意图:通过习题,让学生选择适当的方法解一元二次方程,增强学生灵活运用的能力. 课堂8分钟. 1.教材第44页习题A组第1,2,3题,习题B组第1,2题. 2.七彩作业. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$