23.1 平均数与加权平均数-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

课时目标 1.在实际问题情境中理解算术平均数的概念和意义,会计算一组数据的算术平均数. 2.在理解算术平均数意义的基础上,解决一些实际问题,发展学生的数学应用能力. 学习重点 理解平均数的意义,能计算一组数据的算术平均数. 学习难点 体会平均数在不同问题情境中的应用. 课时活动设计 情境引入 在体操比赛中,计算某一运动员的分值时,往往在所有裁判给出的分数中,去掉一个最高分和一个最低分,然后计算余下分数的平均分,6个裁判员对某一运动员的打分数据(动作完成分)为:9.4,8.9,8.8,8.9,7.6,8.7. 问题1:计算出上述问题中的一组数据的平均数. 解:去掉一个最高分9.4分,去掉一个最低分7.6分,得到一组新的数据:8.9,8.8,8.9,8.7,这组数据的平均数为(8.9+8.8+8.9+8.7)÷4=8.825. 问题2:一组数据的平均数有什么意义?平均数在解决实际问题中的作用有哪些? 设计意图:通过身边的实例,让学生体会数学知识在生活中的广泛应用,并且导入了本节的知识内容. 探究一 　　1.重庆7月中旬一周的最高气温如下表: 星期 一 二 三 四 五 六 日 气温/℃ 38 36 38 36 38 36 36 你能快速计算这一周的平均最高气温吗? 学生先独立思考,再组内交流. 在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同归纳. 解:(38+36+38+36+38+36+36)÷7=. 2.为加快建设农业强国,深入实施种业振兴行动,某农科院决定寻找适合本地的优质高产小麦品种,现将一块长方形试验田分成面积相等的9块,每块100 m2,在土壤肥力、施肥、管理等都相同的条件下试种A,B两个品种的小麦,小麦产量如下表: A1 B1 A2 B2 A3 B3 A4 B4 A5 　 品种A A1 A2 A3 A4 A5 产量/kg 95 93 82 90 100 品种B B1 B2 B3 B4 产量/kg 94 100 105 85 　　(1)观察统计图,哪个产品小麦的产量更高些? 　　(2)以100 m2为单位,如何比较A,B两个小麦品种的单位面积产量? 　　(3)如果只考虑产量这个因素,哪个品种更适合本地种植? 　　学生先独立思考,再组内交流. 在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同给出解题过程. 　　解:(1)从图中可以看出B品种小麦的产量可能比A品种小麦的产量高. (2)由于同一品种的小麦在不同试验田上的产量有差异,要比较两个品种中哪个产量高,通常情况下是比较它们的平均产量,品种A和品种B在试验田上的平均产量分别为: A品种小麦的平均产量:×(95+93+82+90+100)=92(kg), B品种小麦的平均产量:×(94+100+105+85)=96(kg). (3)就试验的结果看,B品种小麦比A品种小麦的平均产量高,B品种更适合本地种植. 总结概念: 一般地,我们把n个数x1,x2,…,xn的和与n的比,叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记作,读作“x拔”,即=. 平均数是一组数据的代表值,它反映了数据的“一般水平”. 设计意图:通过实际问题引导学生观察统计图,从图形的直观上判断哪种小麦的产量高,培养学生的读图能力和直觉思维能力.在比较品种产量的时候,因数据存在差异并且种植面积不同,所以比较单位面积的平均产量是一个合理的方法.进而引出算术平均数的概念,并让学生感受平均数能反映数据的“一般水平”;通过实际问题的探究,让学生感受算术平均数的求法,教师在此环节可给出算术平均数的概念. 探究二 从一批鸭蛋中任意取出20个,分别称得质量如下: 80　85　70　75　85　85　80　80　75　85 85　80　75　85　80　75　85　70　80　75 (1)整理数据,填写统计表. 质量/g 70 75 80 85 频数 2 5 6 7 (2)小明和小亮分别是这样计算这批鸭蛋的平均数的. 小明的计算结果:×(70+75+80+85)=77.5(g). 小亮的计算结果:×(70×2+75×5+80×6+85×7)=79.5(g). 你认为他们谁的计算方法正确?请和同学们交流你的看法. 解:要求的是20个数据的平均数,正确的计算方法应该是用20个数的和除以数据的个数.因此,小亮的计算方法正确,这是求平均数的简便方法. 总结:实际上,小亮的计算方法是正确的.由于70,75,80,85出现的频数不同,它们对平均数的影响也不同,所以,频数对平均数起着权衡轻重的作用. 　　 设计意图:学生通过例题,会整理数据,列出频数分布表,然后用简单方法计算平均数,纠正类似小明的错误算法,并且教师应强调平均数是所有数据的总和与数据个数的比值. 巩固训练 1.某次考试,5名学生的平均分是82,除甲外,其余4名学生的平均分是80,那么甲的得分是(　D　) 　　A.84　　　　　B.86　　　　　C.88　　　　　D.90 　　2.若m个数的平均数为x,n个数的平均数为y,则这(m+n)个数的平均数是(　B　) 　　A. B. C. D. 　　3.下表是校女子排球队队员的年龄分布: 年龄/岁 13 14 15 16 频数 1 4 5 2 　　求校女子排球队队员的平均年龄. 　　解:=≈14.7(岁), 　　所以校女子排球队队员的平均年龄为14.7岁. 课堂小结 1.如何求算术平均数? 2.平均数有什么作用和特点? 设计意图:通过问题回顾本节课所学内容,再次帮助学生巩固新知. 课堂8分钟. 1.教材第4页练习2,第5页习题A组第1题,习题B组第1,2题. 2.七彩作业. 第1课时　算术平均数 　　观察与思考解题过程: A品种小麦的平均产量:×(95+93+82+90+100)=92(kg), B品种小麦的平均产量:×(94+100+105+85)=96(kg). 定义: 一般地,我们把n个数x1,x2,…,xn的和与n的比,叫做这n个数的算术平均 数,简称平均数,记作,读作“x拔”,即=. 平均数是一组数据的代表值,它反映了数据的“一般水平”. 教学反思   第2课时　加权平均数 课时目标 1.在具体的问题情景中,了解加权平均数的概念和意义,体会“权”的意义,能计算一组数据的加权平均数. 2.会求加权平均数,并体会权的差异对结果的影响.理解算术平均数和加权平均数的联系和区别.会用组中值估计一组数据的平均数. 3.在理解平均数与加权平均数的意义的基础上,解决一些实际问题,发展学生的数学应用能力. 学习重点 1.会求加权平均数,会用组中值估计一组数据的平均数. 2.探索算术平均数和加权平均数的联系和区别. 学习难点 探索算术平均数和加权平均数的联系和区别. 课时活动设计 复习引入 在上节课的学习中,我们认识了算术平均数,并知道如何去求一组数据的算术平均数,一般地,我们把n个数x1,x2,…,xn的和与n的比,叫做这个n个数的算术平均数,简称平均数,记作,读作“x拔”,即=(x1+…xn). 但是有些时候算术平均数并不能完全解决问题,本节课我们将学习一种新的平均数——加权平均数,希望通过本节课的学习,同学们能够说出算术平均数和加权平均数的区别和联系. 设计意图:开门点题,让学生知道本节课的学习重点. 探究新知 假期里,小红和小惠结伴去买菜,三次购买的西红柿价格和数量如下表: 单价/(元/千克) 4 3 2 合计 小红购买的数量/kg 1 2 3 6 小惠购买的数量/kg 2 2 2 6 从平均价格看,谁买的西红柿要便宜些?思考小亮和小明的下列说法,你认为他俩谁说得对,为什么? 小亮的说法: 每次购买的单价相同,购买的总量也相同,平均价格应该也一样,都是(4+3+2)÷3=3(元/千克); 小明的说法: 购买的总量虽然相同,但小红花了16元,小惠花了18元,所以平均价格不一样,小红买的西红柿要便宜些. 学生分组讨论:先独立思考,再组内交流. 在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同归纳. 分析:因为是分三次购买,所以比较谁买的西红柿价格更便宜些,一般是比较平均价格.学生容易犯小亮那样的错误,即不考虑问题的实际意义,机械地套用平均数的公式. 解:小红购买不同单价的西红柿的数量不同,所以平均价格不是三个单价的平均数.实际上,平均价格是总花费金额与购买总量的比,因此, ==≈2.67(元/千克), ===3(元/千克). 从平均价格看,小红买的西红柿要便宜些.故小明说的对. 总结概念 已知n个数x1,x2,…,xn,若w1,w2,…,wn为一组正数,则把叫做n个数x1,x2,…,xn的加权平均数,w1,w2,…,wn分别叫做这n个数的权重,简称为权. 设计意图:通过对实际问题进行探究,使学生经历操作、观察、对比、分析、交流等探索活动,初步了解“权”的意义,解释计算加权平均数的理论依据,并认识在不同的权重下,求得的平均数一般是不同的. 典例精讲 例　某学校为了鼓励学生积极参加体育锻炼,规定体育科目学期成绩满分100分,其中平时表现(早操、课外体育活动)、期中考试和期末考试成绩按比例3∶2∶5计入学期总成绩.甲、乙两名同学的各项成绩如下: 学生 平时表现/分 期中考试/分 期末考试/分 甲 95 90 85 乙 80 95 88 分别计算甲、乙的学期总成绩. 解:三项成绩按3∶2∶5的比例确定,就是分别用3,2,5作为三项成绩的权,用加权平均数作为学期总成绩. 甲的学期总成绩为=89(分). 乙的学期总成绩为=87(分). 问题拓展:改变三项成绩权的比,得到的学期总成绩会变化吗?(学生自主探究、合作交流) 解:根据分配的权重不同,算得的学期总成绩可能不同. 设计意图:通过例题的教学,使得学生会计算一组数据的加权平均数,并会用加权平均数解决具体的实际问题. 教师提出问题:在解决上面的例题中,思考: 问题1:算术平均数和加权平均数的区别与联系? 解:算术平均数是加权平均数的一种特殊情况(它特殊在各项的权相等);在实际问题中,各项权不相等时,计算平均数时就要采用加权平均数,当各项权相等时,计算平均数就要采用算术平均数. 问题2:按照算术平均数和加权平均数的计算方法分别求平均数,对排名次序有影响吗? 解:有. 问题3:你认为哪种平均数进行排名更合理些? 解:加权平均数. 本块内容可安排学生讨论环节. 设计意图:通过讨论,加深学生对算术平均数和加权平均数的认识,从而理解算术平均数是各权重相同时的加权平均数.让学生体会“权”对平均数的影响,并认识在不同的权重下,求得的平均数一般是不同的. 典例精讲 例1　某电视节目主持人大赛要进行专业素质、综合素质、外语水平和临场应变能力四项测试,各项测试均采用10分制,两名选手的各项测试成绩如下表所示: 测试项目 专业素养 综合素质 外语水平 临场应变能力 测试成绩/分 甲 9.0 8.5 7.5 8.8 乙 8.0 9.2 8.4 9.0 (1)如果按四项测试成绩的算术平均数排名次,名次是怎样的? (2)如果规定按专业素质、综合素质、外语水平和临场应变能力四项测试的成绩各占60%,20%,10%,10%计算总成绩,名次有什么变化? 解:(1)甲、乙各项成绩的算术平均数分别为: ==8.45(分), ==8.65(分). 比较算术平均数,乙排名第一,甲排名第二. (2)甲、乙的加权平均成绩分别为: =9.0×0.6+8.5×0.2+7.5×0.1+8.8×0.1=8.73(分), =8.0×0.6+9.2×0.2+8.4×0.1+9.0×0.1=8.38(分). 比较加权平均数,则甲排名第一,乙排名第二. 例2　 从某学校九年级男生中,任意选出100人,分别测量他们的体重.将数据进行分组整理,结果如下表: 体重x/kg 44≤x<50 50≤x<56 56≤x<62 62≤x<68 68≤x<74 频数 9 21 34 23 13 计算这100名男生的平均体重. 分析:对于分组数据,可以用组中值(分组两个端点数的平均数)作为这组数据的一个代表值,把各组的频数看做对应组中值的权,按加权平均计算平均数的近似值. 解:五组数据的组中值分别为47,53,59,65,71.加权平均数为×(47×9+53×21+59×34+65×23+71×13)=59.6. 所以这100名男生的平均体重约为59.6 kg. 设计意图:通过完成例1实际问题,再次体会当各数据的重要程度不同时,一般采用加权平均数作为一组数据的代表值;通过例2,让学生能够解决原数据缺失的一组数据的解决办法——对每组数据选择一个代表值,即“组中值”来近似地估计数据的总体情况. 巩固训练 1.射击比赛中,某队员10次射击成绩如图所示,则该队员的平均成绩是8.5　环.  2.某灯泡厂为了测量一批灯泡的使用寿命,从中随机抽查了50只灯泡,它们的使用寿命如下表所示.这批灯泡的平均使用寿命是多少? 使用寿命x/h 600≤x <1 000 1 000≤x <1 400 1 400≤x <1 800 1 800≤x <2 200 2 200≤x <2 600 灯泡数量/只 5 10 12 17 6 解:据上表得各小组的组中值,于是 ==1672(h), 即样本平均数为1 672. 因此,可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是1 672 h. 课堂8分钟. 1.教材第8页练习第2题,第8页习题A组第1,3题,第9页习题B组第1题,第11页习题A组第2题. 2.七彩作业. 第2课时　加权平均数 　　　 定义: 已知n个数x1,x2,…,xn,若w1,w2,…,wn为一组正数,则把叫做n个数x1,x2,…,xn的加权平均数,w1,w2,…,wn分别叫做这n个数的权重,简称为权. 例1: 例2: 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单元学习主题 本单元是“概率与统计”领域“统计”主题中的“抽样与数据分析”. 二、单元学习内容分析 1.课标分析 《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段统计与概率领域包括“抽样与数据分析”和“随机事件的概率”两个主题,其中“抽样与数据分析”这个主题强调从实际问题出发,根据问题背景设计收集数据的方法,经历更加有条理地收集、整理、描述、分析数据的过程,利用样本的平均数估计总体的平均数,利用样本的方差估计总体的方差,体会抽样的必要性和数据分析的合理性.通过学习“抽样与数据分析”这一内容,有助于学生感悟从不确定性的角度认识客观世界的思维方式和解决问题的方法,并能初步理解通过数据认识客观世界的意义,感受大数据时代的特征,发展学生的数据观念和模型观念. 2.本单元教学内容分析 冀教版教材九年级上册第二十三章数据分析,本章包括四个小节:23.1平均数与加权平均数;23.2中位数和众数;23.3方差;23.4用样本估计总体. “抽样与数据分析”主题通过用平均数、中位数和众数描述数据集中趋势——用方差刻画一组数据的离散程度——用样本估计总体,运用样本估计总体的统计基本思想,用样本的平均数或者方差估计总体的的平均数或者方差.平均数、中位数、众数都能描述数据的集中程度,但是描述的角度有所不同.平均数是其中最为广泛应用的数据,它能较好的代表一组数据的集中程度.在具体的实际问题中,我们还应该根据不同的情况具体分析,合理地运用平均数、中位数和众数.方差可以刻画一组数据的离散程度,可以用于描述产品质量、特殊人群的身高整齐程度以及某些技能水平发挥的稳定性等.在描述数据的特征时,应结合具体的情况,综合考虑数据的平均数和方差.当平均数相等时,可以利用方差比较其稳定性,得到最优选择方案.在用样本估计总体时,样本不同,得到的结果一般也不同.当样本容量足够大并且具有较好的代表性时,样本在一定程度上可以反应总体的数据特征,样本的平均数会在总体的平均数附近波动,样本的方差也会在总体的方差附近波动,样本容量越大,波动越小.通过对本章内容的学习,学生能体会抽样的必要性,并能通过实例认识简单随机抽样.学生从经历收集、整理、描述、分析数据的活动,了解数据的处理的过程,能根据问题的需要设计合适的调查问卷并会用简单随机抽样收集数据,并能根据统计图计算一组数据的中位数、众数、加权平均数,知道计算加权平均数的分布式计算方法,知道中位数、众数、平均数都能刻画这组数据的集中趋势以及它们各自的特点.会计算一组简单数据的方差,知道方差能刻画这组数据的波动程度,知道样本与总体的关系,能用样本平均数估计总体平均数,能用样本方差估计总体方差;能根据问题的需要提取中位数、众数、平均数、方差等数据的数字特征,能根据数据的数字特征解释或解决问题;能根据需要使用恰当的统计图表整理和表示数据,能根据统计图表分析随机现象的变化趋势. 三、单元学情分析 本单元内容是冀教版数学九年级上册第二十三章数据分析,学生在小学阶段已经学习了数据的收集、整理、描述、分析数据的简单方法,会定性描述简单随机现象发生的可能性的大小,已经初步建立了数据意识.本章对于学生来说,相对比较简单,本章通过实际问题的呈现,使得学生在解决实际问题时能够感受到平均数、中位数、众数、方差在描述数据特征时各自的特点.在本章的学习中,学生将学习简单的获得数据的抽样方法,在小学学习的基础上,进一步通过数据了解客观世界.通过对本章的学习,使得学生能够用平均数、中位数、众数、方差描述一组数据的特征,能够用样本估计总体. 四、单元学习目标 1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动,了解数据处理的过程,能用计算器处理较为复杂的数据. 2.进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的意义,并会求一组数据的平均数、中位数和众数,增强学生的运算能力和数据意识. 3.会计算加权平均数,理解“权”的意义,并能选择适当的统计量来表示数据的集中趋势. 4.体会刻画数据离散程度的意义,理解方差的含义,并会计算简单数据的方差. 5.体会样本和总体的关系,知道可以通过样本平均数、样本方差来估计总体的平均数和总体的方差. 6.能对统计结果进行合理的解释,进而进行简单的判断和预测,并能进行交流,学生通过对本章的学习,能清晰地表达自己的观点,体会统计对决策的作用,增强学生的应用意识. 五、单元学习内容及学习方法概览 数据分析 课时划分 内容本质与研究方法 23.1　平均数与加权平均数 第1课时　算术平均数 借助实际问题研究算术平均数的概念,运用数形结合的思想,培养学生的读图能力和直觉思维 第2课时　加权平均数 借助实际问题研究加权平均数的概念,并从实际问题中理解“权”的意义,通过本节课的学习,发展学生的读表、读图能力,会用组中值估计一组数据的平均数 23.2　中位数和众数 第1课时　中位数和众数的认识 从实际问题中体验平均数受极端值的影响较大,从而感受中位数和众数出现的合理性 第2课时　“三数”的综合应用 从实际问题中,感受“三数”的综合应用问题,会选用合适的数据代表总体数据的情况 续表 数据分析 课时划分 内容本质与研究方法 23.3　 方差 第1课时　 方差的计算 通过实际问题,体会方差出现的必要性,并能根据图像读出一组数据的波动情况,培养学生的读图能力,通过计算方差,培养学生的计算能力 第2课时　 方差在实际问题中的应用 从实际问题中,感受方差对实际问题的决策的必要性,并能根据平均数和方差进行合理的决策 23.4　用样本估计总体 统计的核心思想是由样本推断总体,用样本平均数估计总体平均数,用样本方差估计总体方差,由于抽样的任意性,对不同的样本,其样本平均数可能不同,但当样本容量较大时,样本平均数具有稳定理 六、单元评价与课后作业建议 本单元课后作业整体设计体现以下原则: 针对性原则:每课时课后作业严格按照新课程标准设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况. 层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所收获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识. 根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业. 学科网（北京）股份有限公司 $$