26.4.2 与坡度、坡角有关的问题 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十六章　解直角三角形 26.4 解直角三角形的应用 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 与坡度、坡角有关的问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1. (2023·石家庄桥西区期中)如图是某幼儿园的滑滑梯简易图，已知滑坡 AB 的坡度是1∶3，滑坡的水平宽度是6 m，则高 BC 为(　C　) A. 3 m B. 5 m C. 2 m D. 4 m 第1题图 C 【解析】∵滑坡 AB 的坡度是1∶3，∴在Rt△ ABC 中， ＝ . ∵ AC ＝6 m，∴ BC ＝ AC ＝2 m. 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 2. 如图，滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道 AC 的长为200米，则 滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度 AB 的长为(　D　) A. 米 B. 米 C. 200 cos 20米 D. 200 sin 20°米 第2题图 【解析】∵ sin C ＝ ，∠ C ＝20°， AC ＝200米，∴ AB ＝ AC · sin C ＝200 sin 20°(米). D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 3. 已知某斜坡 AB 的坡度 i ＝1∶1，则斜坡 AB 的坡角α的度数为 ⁠°. 【解析】∵斜坡 AB 的坡度 i ＝1∶1，坡角为α，∴tan α＝1.∴α＝45°. 45　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 4. 如图，长500米的水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽3 m，坝高4 m，斜坡 AB 的坡比 i1＝1∶2，斜坡 CD 的坡比 i2＝1∶3. (1)求坝底宽 AD 的长； 解：(1)由题意，得 BE ⊥ AD ， CF ⊥ AD ， BE＝ CF ＝4 m， BC ＝ EF ＝3 m， ∵斜坡 AB 的坡比 i1＝1∶2，斜坡 CD 的坡比 i2＝1∶3， ∴ ＝ ， ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 ∴ AE ＝2 BE ＝8 m， DF ＝3 CF ＝12 m. ∴ AD ＝ AE ＋ EF ＋ DF ＝8 ＋3＋12 ＝ (20 ＋3)m. ∴坝底宽 AD 的长为(20 ＋3)m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 (2)修筑这个堤坝需要多少立方米的土？ 解：(2)∵ BC ＝3 m， AD ＝(20 ＋3)m，BE ＝4 m， ∴梯形 ABCD 的面积＝ ( AD ＋ BC )· BE ＝ ×(20 ＋3＋3)×4 ＝(120＋12 )m2. 500×(120＋12 )＝(60 000＋6 000 )m3， ∴修筑这个堤坝需要(60 000＋6 000 )m3的土. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 其他问题 5. (2023·唐山滦州市期中)如图，沿 AB 方向架桥 BD ，从桥两端 B ， D 出发，修公路 BC 和 DC ，测得∠ ABC ＝150°， BC ＝1 800 m，∠ BCD ＝105°，则公路 DC 的长为(　B　) A. 900 m B. 900 m C. 900 m D. 1 800 m 第5题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，过点 C 作 CE ⊥ BD ，垂足为 E . ∵∠ ABC ＝150°， ∴∠ CBE ＝180°－150°＝30°，∠ BCE ＝150°－90°＝60°. 又∵∠ BCD ＝105°，∴∠ DCE ＝105°－60°＝45°. 在Rt△ BCE 中，∠ CBE ＝30°， BC ＝1 800 m， ∴ CE ＝ BC · sin 30°＝ BC ＝900 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 在Rt△ CDE 中，∠ DCE ＝45°， ∴ CD ＝ ＝ ＝900 m， 即公路 DC 的长为900 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 6. 如图，△ OAB 是某大桥主塔的正面示意图， OA ＝ OB ＝ a m，∠ OAB ＝70°，则桥面宽度 AB 是(　D　) A. m B. m C. ( a · cos 70°)m D. (2 a · cos 70°)m 第6题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，过点 O 作 OC ⊥ AB 于点 C . ∵ OA ＝ OB ，∴ AC ＝ BC ＝ AB . 在Rt△ OAC 中， OA ＝ a m，∠ OAB ＝70°， cos ∠ OAB ＝ ， ∴ AC ＝ OA cos ∠ OAB ＝ a · cos 70°(m). ∴ AB ＝2 AC ＝2 a · cos 70°(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 7. 如图，小明为了测量门口一棵大树的高度，他自制一个直角三角形 (Rt△ DEF )纸板测量大树 AB 的高度，已知tan∠ EDF ＝0.5，他调整自 己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线 上，测得边 DF 离地面的高度 AC ＝1.5 m， CD ＝13 m，则树 AB 的高度 是(　C　) A. 7 m B. 7.5 m C. 8 m D. 8.5 m C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】由题意，得∠ DCB ＝90°，tan∠ EDF ＝0.5， CD ＝13 m， AC ＝1.5 m， ∴ BC ＝ CD ·tan∠ EDF ＝13×0.5＝6.5(m). ∴ AB ＝ AC ＋ BC ＝1.5＋6.5＝8(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 8. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱 OA 垂直于地面 OB ，支架 CD 与 OA 交于点 A ，支架 CG ⊥ CD 交 OA 于点 G ，支架 DE 平行地面OB ，篮筐 EF 与支架 DE 在同一直线上， OA ＝2.5米， AD ＝0.8米， ∠ AGC ＝32°. (1)求∠ GAC 的度数； 解：(1)∵ CG ⊥ CD ，∴∠ ACG ＝90°. ∵∠ AGC ＝32°， ∴∠ GAC ＝90°－∠ AGC ＝90°－32°＝58°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮 网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由.(参考 数据： sin 32°≈0.53， cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62) 解：(2)该运动员能挂上篮网. 理由：如图，延长 OA ， ED 交于点 M . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 ∵ OA ⊥ OB ，∴∠ AOB ＝90°. ∵ DE ∥ OB ，∴∠ DMA ＝∠ AOB ＝90°. ∵∠ GAC ＝58°，∴∠ DAM ＝∠ GAC ＝58°. ∴∠ ADM ＝90°－∠ DAM ＝32°. 在Rt△ ADM 中， AD ＝0.8米， ∴ AM ＝ AD · sin 32°≈0.8×0.53＝0.424(米). ∴ OM ＝ OA ＋ AM ＝2.5＋0.424＝2.924(米). ∵2.924米＜3米，∴该运动员能挂上篮网. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 9. 如图，为确定某隧道 AB 的长度，在建设中测量人员在离地面2 700米 高度 C 处的飞机上，测得正前方 A 点处的俯角为60°， BC 的坡比为1∶ ，则隧道 AB 的长为 　1 800 米　(结果保留根号). 1 800 米　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图， 由题意，得∠ AHC ＝90°，∠ MCA ＝60°＝∠ CAH . ∵ BC 的坡比为1∶ ，即tan B ＝ ，则∠ B ＝30°. ∴∠ ACB ＝∠ B ＝30°. ∴ AB ＝ CA ＝ ＝ ＝1 800 (米). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 10. 如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图.其中 AB 段是助滑 坡，倾斜角∠1＝37°， BC 段是水平起跳台， CD 段是着陆坡，倾斜角 ∠2＝30°， sin 37°≈0.6， cos 37°≈0.8.若整个赛道长度(包括 AB ， BC ， CD 段)为300 m，平台 BC 的长度是60 m，整个赛道的垂直高度 AN 是131 m，则 AB 段的长度大约是 ⁠. 110 m　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，过点 C 作 CF ⊥ DN 于点 F ，则 CF ＝ MN . 设 AB ＝ x m，在Rt△ ABM 中， sin ∠1＝ ，∠1＝37°， 则 AM ＝ AB · sin ∠1≈0.6 x m. 由题意，得 CD ＝300－60－ x ＝(240－ x )m. 在Rt△ CFD 中， sin ∠2＝ ，∠2＝30°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 ∴ CF ＝ CD · sin ∠2＝ CD · sin 30°＝ (240－ x )＝(120－0.5 x )m. 由题意，得0.6 x ＋120－0.5 x ＝131， 解得 x ＝110. ∴ AB 段的长度大约是110 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 11. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高 仪 ABCD 为正方形， AB ＝30 cm，顶点 A 处挂了一个铅锤 M . 如图是测 量树高的示意图，测高仪上的点 D ， A 与树顶 E 在一条直线上，铅垂线 AM 交 BC 于点 H . 经测量，点 A 距地面1.8 m，到树 EG 的距离 AF ＝11 m， BH ＝20 cm.求树 EG 的高度(结果精确到0.1 m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 解：由题意可知∠ BAE ＝∠ MAF ＝∠ BAD ＝90°， FG ＝1.8 m，则∠ EAF ＋∠ BAF ＝∠ BAF ＋∠ BAH ＝90°，∴∠ EAF ＝∠ BAH . ∵ AB ＝30 cm， BH ＝20 cm， ∴tan∠ BAM ＝ ＝ ＝ . ∴tan∠ EAF ＝ ＝tan∠ BAH ＝ . ∵ AF ＝11 m，∴ ＝ .解得 EF ＝ . ∴ EG ＝ EF ＋ FG ＝ ＋1.8≈9.1(m). 答：树 EG 的高度约为9.1 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 12. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽 利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法.“赵爽弦 图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜 爱.小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接 EG ， DG . 若正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的边长之比为 ∶1，则 sin ∠ DGE 等于(　A　) A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，过点 D 作 DN ⊥ GE 交 GE 的延长线于点 N . 由题意知，两个正方形之间是4个全等的三角形，正方形 ABCD 与正方 形 EFGH 的边长之比为 ∶1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 设△ ABG 的长直角边为 a ，短直角边为 b ，大正方形的边长为 x ， 小正方形的边长为 x ， 且a ， b ， x 均大于0， 即 ED ＝ BG ＝ HC ＝ AF ＝ b ， AG ＝ BH ＝ CE ＝ DF ＝ a ， 由题意，得解得 易得∠ NED ＝∠ FEG ＝45°. ∵ EG ＝ GH ＝ x ＝ b ， NE ＝ ND ＝ ED ＝ b ＝ x ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 ∴ GN ＝ EG ＋ NE ＝ x ＋ x . ∴tan∠ DGE ＝ ＝ ＝ ， ∴ sin ∠ DGE ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　与坡度、坡角有关的问题 素养达标 能力突破 基础通关 $$