26.4.1 仰角、俯角、方向角 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十六章　解直角三角形 26.4 解直角三角形的应用 第1课时　仰角、俯角、方向角 与仰角、俯角有关的问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. (2023·张家口四模)如图，从热气球 A 处看一栋楼底部 C 的俯角是 (　D　) A. ∠ BAD B. ∠ ACB C. ∠ BAC D. ∠ DAC 第1题图 D 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 2. 如图，一架飞机在空中 A 处检测到正下方地平面目标 C ，此时飞机的 飞行高度 AC ＝2 800米，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角α＝34°，此 时 AB 的长为(　B　) A. 2 800 sin 34°米 B. 米 C. 2 800 cos 34°米 D. 米 第2题图 B 【解析】由题意得， AC ⊥ BC ，在Rt△ ABC 中， AC ＝2 800米， ∠ ABC ＝α＝34°，∴ AB ＝ ＝ (米). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 3. 如图，在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进 a 米到达 C 点，又测得楼顶的仰角为60°，已知该高楼的高度为15 米，则 a ＝ 米. 第3题图 30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】由题意，得 AB ⊥ BD ， 在Rt△ ACB 中，∠ ACB ＝60°， AB ＝15 米， ∴ BC ＝ ＝ ＝15(米). 在Rt△ ABD 中，∠ ADB ＝30°， AB ＝15 米， ∴ BD ＝ ＝ ＝45(米). ∴ CD ＝ BD － BC ＝45－15＝30(米)，即 a ＝30米. 第3题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 4. 如图，从航拍无人机 A 处看一栋楼顶部 B 的仰角α为30°，看这栋楼底 部 C 的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度 为(　B　) A. 140 m B. 160 m C. 180 m D. 200 m 第4题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，过点 A 作 AD ⊥ BC ，垂足为 D . 由题意，得 AD ＝120 m，在Rt△ ABD 中，∠ BAD ＝30°， ∴ BD ＝ AD ·tan 30°＝120× ＝40 (m). 在Rt△ ACD 中，∠ CAD ＝60°， ∴ CD ＝ AD ·tan 60°＝120 m. ∴ BC ＝ BD ＋ CD ＝160 m. ∴这栋楼的高度为160 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 5. 2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发 射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入中国 空间站.如图，在发射的过程中，飞船从地面 O 处发射，当飞船到达 A 处时，从位于地面 C 处的雷达站测得 AC 的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞船到达 B 处，此时测得仰角为45°. (1)求点 A 距地面的高度 AO ； 解：(1)在Rt△ AOC 中，∵∠ AOC ＝90°， ∠ ACO ＝30°， AC ＝8 km， ∴ AO ＝ AC · sin 30°＝ AC ＝ ×8＝4(km). ∴点 A 距地面的高度 AO 为4 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 (2)求飞船从 A 处到 B 处的平均速度.(结果精确到0.1 km/ s .参考数据： ≈1.73) 解：(2)在Rt△ AOC 中，∵∠ AOC ＝90°，∠ ACO ＝30°， AC ＝8km，∴ OC ＝ AC · cos 30°＝ AC ＝ ×8＝4 (km). 在Rt△ BOC 中，∵∠ BOC ＝90°，∠ BCO ＝45°， ∴∠ BCO ＝∠ OBC ＝45°，∴ OB ＝ OC ＝4 (km). ∴ AB ＝ OB － OA ＝(4 －4)km. (4 －4)÷10≈0.3(km/s). ∴飞船从 A 处到 B 处的平均速度约为0.3 km/ s . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 与方向角有关的问题 6. (2023·唐山乐亭县期中)如图，海中有一小岛 A ，在 B 处测得小岛 A 在 北偏东30°方向上，渔船从 B 处出发由西向东航行10海里到达 C 处，在 C 处测得小岛 A 恰好在正北方向上，此时渔船与小岛 A 的距离为(　D　) A. 海里 B. 海里 C. 20海里 D. 10 海里 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】由题意，得 AC ⊥ BC ，在Rt△ ABC 中， ∠ ABC ＝90°－30°＝60°， BC ＝10海里， ∴ AC ＝ BC ·tan 60°＝10× ＝10 (海里). ∴此时渔船与小岛 A 的距离为10 海里. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 7. 如图，为了测量河宽 CD ，先在 A 处测得对岸 C 点在其北偏东30°方 向，然后沿河岸直行到点 B ，在 B 点测得对岸 C 点在其北偏西45°方 向，经过计算，河宽 CD 是30米，则从 A 点到 B 点的距离为 ⁠ 米.(结果保留根号) (10 ＋ 30)　 第7题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】由题意，得 CD ⊥ AB ，在Rt△ ACD 中， ∠ CAD ＝90°－30°＝60°， CD ＝30米， ∴ AD ＝ ＝ ＝10 (米). 在Rt△ CDB 中，∠ CBD ＝90°－45°＝45°， ∴ BD ＝ ＝30米. ∴ AB ＝ AD ＋ BD ＝(10 ＋30)米. ∴从 A 点到 B 点的距离为(10 ＋30)米. 第7题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 8. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆 BC ＝ a ， AB ＝ b ， AB 的最大仰角为α.当∠ C ＝45°时，则点 A 到桌面 的最大高度是(　D　) A. a ＋ B. a ＋ C. a ＋ b cos α D. a ＋ b sin α 第8题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】题图示意图如图，过点 A 作 AF ⊥ BE 于点 F ，过点 B 作 BG ⊥ CD 于点 G . 在Rt△ ABF 中， AF ＝ AB · sin α＝ b sin α， 在Rt△ BCG 中， BG ＝ BC · sin 45°＝ a × ＝ a ， ∴点 A 到桌面的最大高度＝ BG ＋ AF ＝ a ＋ b sin α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 9. 如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼 AB 的高度.小亮站立在距离 楼底部94米的 D 点处，操控无人机从地面 F 点竖直起飞到正上方60米的 E 点处时，测得楼 AB 的顶端 A 的俯角为30°，小亮的眼睛点 C 看无人机 的仰角为45°， CD ＝1.7米， B ， F ， D 三点在同一条直线上.求楼 AB 的 高度.(结果精确到0.1米.参考数据： ≈1.7) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 解：如图，过点 C 作 CG ⊥ EF ，垂足为 G ，延长 BA 交 HE 于点 I . 由题意，得 BI ⊥ EH ， GF ＝ CD ＝1.7米， CG ＝ DF ， EI ＝ BF ， EF ＝ IB ＝60米， BD ＝94米， ∴ EG ＝ EF － FG ＝60－1.7＝58.3(米). 在Rt△ EGC 中，∠ ECG ＝45°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 ∴ CG ＝ ＝58.3(米).∴ DF ＝ CG ＝58.3米. ∴ IE ＝ BF ＝ BD － DF ＝94－58.3＝35.7(米). 在Rt△ AIE 中，∠ AEI ＝30°， ∴ AI ＝ IE ·tan 30°＝35.7× ≈35.7× ＝20.23(米).∴ AB ＝ IB － IA ≈60－20.23＝39.77(米)≈39.8(米). ∴楼 AB 的高度约为39.8米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 10. 甲、乙两旅游爱好者从点 B 出发到点 D ，甲沿 B － C － D 的路线，乙沿 B － A － D 的路线.经测量，点 C 在点 B 的正北方向，点 D 在点 C 的北偏西60°方向，点 A 在点 B 的正西方向，点 D 在点 A 的北偏东 45°方向， AB ＝7 000米， CD ＝2 000 米. (1)求点 D 到直线 BC 的距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 解：(1)如图，过点 D 作 DE ⊥ BC 的延长线于点 E . 则∠ CDE ＝90°－60°＝30°， DE ＝ CD · sin 60°＝2 000 × ＝3 000(米). 答：点 D 到直线 BC 的距离为3 000米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 (2)为方便联系，甲、乙两人各携带一部对讲机，对讲机信号覆盖半径 是6 000米，当甲在点 D ，乙在点 A 时，乙能否收到甲的呼叫信号？请 说明理由.(结果精确到1米.参考数据： ≈1.414， ≈1.732) 解：(2)乙能收到甲的呼叫信号.理由如下： 如图，过点 D 作 DF ⊥ AB 于点 F . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 根据题意，得∠ B ＝90°，又∵∠ E ＝90°， ∴四边形 BEDF 是矩形.∴ BF ＝ DE ＝3 000米. 根据题意，得∠ DAF ＝90°－45°＝45°， ∴ AF ＝ DF ＝ AB － BF ＝7 000－3 000＝4 000(米). ∴ AD ＝ ＝ ＝4 000 ≈4 000×1.414＝5 656(米). ∵对讲机信号覆盖半径是6 000米，6 000米＞5 656米， ∴乙能收到甲的呼叫信号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1课时　仰角、俯角、方向角 素养达标 能力突破 基础通关 $$