26.3 解直角三角形 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十六章　解直角三角形 26.3 解直角三角形 解直角三角形 1. (2023·张家口宣化区期中)在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别 为 a ， b ， c .已知 a ＝6， b ＝8， c ＝10，则 cos A 的值为(　C　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】在△ ABC 中，∵ a ＝6， b ＝8， c ＝10， a2＋ b2＝62＋82＝36＋ 64＝100， c2＝100， ∴ a2＋ b2＝ c2. ∴△ ABC 是直角三角形，且∠ C 为直角. ∴ cos A ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 2. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AB ＝12，∠ A ＝42°，则 BC 的长约 为 .(结果精确到0.1.参考数据： sin 42°≈0.67， cos 42°≈0.74， tan 42°≈0.90) 【解析】∵∠ C ＝90°，∴ sin A ＝ . ∵ AB ＝12，∠ A ＝42°， sin 42°≈0.67， ∴ BC ≈12×0.67≈8.0. 8.0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 3. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝ ， AB ＝2 .解这个直角 三角形. 解：在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝ ， AB ＝2 ， ∴ BC ＝ ＝ ＝ . ∴tan A ＝ ＝ ＝1.∴∠ A ＝45°. ∴∠ B ＝90°－∠ A ＝90°－45°＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 可解的非直角三角形 4. (2023·秦皇岛海港区一模)如图，将△ ABC 放在每个小正方形的边长 均为1的网格中，点 A ， B ， C 均在格点上，则tan A 的值是(　B　) A. B. C. 2 D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，连接 BD . 由题意，得 AD2＝22＋22＝8， BD2＝12＋12＝2， AB2＝12＋32＝10， ∴ AD2＋ BD2＝ AB2. ∴△ ABD 是直角三角形，且∠ ADB ＝90°. 在Rt△ ABD 中， AD ＝2 ， BD ＝ ，∴tan A ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 思路点拨 　　根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三 角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 5. 如图，在△ ABC 中，已知∠ A ＝60°，∠ B ＝45°， AC ＝12，求 AB 的长. 解：如图，作 CD ⊥ AB 于点 D . 在Rt△ ACD 中，∵∠ ADC ＝90°，∠ A ＝60°， AC ＝12， ∴ AD ＝ AC · cos A ＝ ×12＝6， CD ＝ AC · sin A ＝12× ＝6 . 在Rt△ BCD 中，∵∠ BDC ＝90°，∠ B ＝45°， CD ＝6 ， ∴ BD ＝ CD ＝6 . ∴ AB ＝ AD ＋ BD ＝6＋6 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 解直角三角形的简单应用 6. 如图是小夏同学家的衣架示意图，已知 AB ＝ AC ＝18 cm，∠ B ＝ α，则衣架的宽 BC 为(　B　) A. 36 sin α cm B. 36 cos α cm C. 18tan α cm D. cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D . ∵ AB ＝ AC ＝18 cm， AD ⊥ BC ， ∴ BC ＝2 BD . ∵ AD ⊥ BC ， ∴ BD ＝ AB cos α. ∴ BC ＝2 BD ＝2 AB cos α＝2×18× cos α＝36 cos α(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 7. 如图，将45°的∠ AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点 O 与 刻度尺下沿的端点重合， OA 与刻度尺下沿重合， OB 与刻度尺上沿的 交点 B 在刻度尺上的2 cm处，若按相同的方式将37°的∠ AOC 放置在该 刻度尺上，则 OC 与刻度尺上沿的交点 C 在刻度尺上的 cm处 (结果精确到0.1 cm.参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80， tan 37°≈0.75). 2.7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，过点 B 作 BD ⊥ OA 于点 D ，过点 C 作 CE ⊥ OA 于点 E . 在△ BOD 中，∠ BDO ＝90°，∠ DOB ＝45°， ∴ CE ＝ BD ＝ OD ＝2 cm. 在△ OCE 中，∠ COE ＝37°，∠ CEO ＝90°， ∴tan 37°＝ ≈0.75. ∴ OE ＝ ＝ ≈2.7 (cm)， 即 OC 与刻度尺上沿的交点 C 在刻度尺上的2.7 cm处. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 8. 【教材第116页习题A组第3题改编】如图，厂房屋顶人字架(形状为等 腰三角形)的跨度 BC 为12 m，∠ B ＝36°，求中柱 AD 的长. (结果精确到0.1 m.参考数据： sin 36°≈0.59， cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 解：∵ AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， ∴ BD ＝ CD ＝ BC ＝6 m. 在Rt△ ABD 中，∠ B ＝36°， BD ＝6 m， tan B ＝ ， ∴ AD ＝ BD ·tan B ＝ BD ·tan 36°≈0.73×6＝4.38≈4.4(m). 答：中柱 AD 的长约为4.4 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 9. 在△ ABC 中，tan A ＝ ， AC ＝4 ， CB ＝5，则 AB ＝ ⁠. 【解析】如图1，当∠ ABC 为钝角时，作 CD ⊥ AB ，交 AB 的延长线于 点 D . ∵tan A ＝ ，∴ ＝ . 5或11　 设 CD ＝ x ，则 AD ＝2 x . ∵在Rt△ ADC 中， AD2＋ CD2＝ AC2， ∴(2 x )2＋ x2＝(4 )2，即4 x2＋ x2＝80， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 解得 x ＝4(负值已舍去). ∴ CD ＝4， AD ＝8. 在Rt△ BCD 中， BD ＝ ＝ ＝3. ∴ AB ＝ AD － BD ＝8－3＝5； 如图2，当∠ ABC 为锐角时，作CD'⊥ AB 于点D'， 由上可知AD'＝8，BD'＝3， ∴ AB ＝AD'＋BD'＝8＋3＝11.∴ AB ＝5或11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 10. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC ⊥ CD ，点 E 在 AC 上，连接 DE ， DE ＝ AC ， DE ∥ BC ， CD ＝4，tan∠ ABC ＝2，则边 AB 的长 为 ⁠. 第10题图 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，过点 A 作 AF ⊥ BC 交 BC 于点 F . ∵ DE ∥ BC ，∴∠ DEC ＝∠ ACF . 在△ DCE 和△ AFC 中， ∴△ DCE ≌△ AFC (AAS).∴ AF ＝ CD ＝4. ∵tan∠ ABC ＝2，∴ ＝2.∴ BF ＝2. ∴ AB ＝ ＝ ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 11. 如图，在△ ABC 中， CD 平分∠ ACB ， BD ⊥ CD 于点 D ，∠ ABD ＝∠ A ，若 BD ＝1， AC ＝7，则 cos ∠ CBD 的值为 ⁠. 第11题图 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，延长 BD 交 AC 于点 E . ∵ CD 平分∠ ACB ， BD ⊥ CD ， ∴∠ CDE ＝∠ CDB ＝90°，∠ DCE ＝∠ DCB . 在△ DCE 和△ DCB 中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 ∴△ DCE ≌△ DCB (ASA). ∴ BD ＝ ED ＝1， BC ＝ CE . ∵∠ ABD ＝∠ A ，∴ AE ＝ BE ＝ BD ＋ ED ＝2. ∵ AC ＝7，∴ CE ＝ AC － AE ＝5＝ BC . ∴ cos ∠ CBD ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 12. 如图，6个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形 ABC 中，若小 正方形的边长为1，则： (1)tan B ＝ ⁠； 【解析】(1)如图， 依题意，得 FH ∥ BC ， EH ＝1， FH ＝2， ∴∠ B ＝∠ EFH . ∴tan B ＝tan∠ EFH ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 (2) BC ＝ ⁠. 【解析】(2)如图，过点 E 作 ED ⊥ AC ，交 AC 于点 D . 依题意，得 DE ∥ FH ， DE ＝2， CD ＝3， ∴∠ EFH ＝∠ AED . ∴tan∠ EFH ＝tan∠ AED ＝ ＝ . ∴ AD ＝1.∴ AC ＝ AD ＋ CD ＝1＋3＝4. ∵tan B ＝ ，tan B ＝ ，∴ BC ＝2 AC ＝8. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 13. (2023·张家口宣化区期中)如图，tan B ＝ ，且 DA ⊥ BA 于点 A ， DC ⊥ BC 于点 C ， DA ＝3， DC ＝7. (1)求 cos B ， sin B 的值； 解：(1)如答图1，延长 CD ， BA ，它们的延长线交于点E . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 ∵ DC ⊥ BC 于点 C ， ∴∠ BCE ＝90°. ∵tan B ＝ ，tan B ＝ ， ∴ ＝ .设 CE ＝4 k ，则 BC ＝3 k . ∴ BE ＝ ＝ ＝5 k . ∴ cos B ＝ ＝ ＝ . sin B ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 (2)连接 BD ，求 BD 的长. 解：(2)如答图2，连接 BD . ∵ DA ⊥ BA 于点 A ， ∴∠ E ＋∠ ADE ＝90°. ∵ DC ⊥ BC 于点 C ， ∴∠ E ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ ADE ＝∠ CBE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 ∴ cos ∠ ADE ＝ cos ∠ CBE ＝ . ∵ cos ∠ ADE ＝ ，∴ ＝ . ∵ AD ＝3，∴ DE ＝5.∴ CE ＝ CD ＋ DE ＝7＋5＝12. 由(1)，知 ＝ ，∴ BC ＝9. ∴ BD ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 14. 请阅读下面材料，并根据提供的解题思路求解问题： 如图1，在由边长为1的小正方形组成的网格中，连接格点 D ， N 和 E ， C ， DN 和 EC 交于点 P ，求 cos ∠ CPN 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 【解题思路】 要求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三 角形.观察发现问题中∠ CPN 不在直角三角形中，我们可以利用网格画 平行线等方法构造直角三角形，比如连接格点 M ， N ，可发现 MN ∥ EC ，则∠ DNM ＝∠ CPN ，连接 DM ，那么∠ CPN 就变换到Rt△ DMN 中，进而求出答案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 【解决问题】 (1)根据上述方法归纳，请求图1中 cos ∠ CPN 的值； 解：(1)如图1所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 ∵点 M ， N ， D 都在格点上，∴ DN ＝ ＝ ， MN ＝ ＝ ， DM ＝ ＝2 . ∵∠ ECN ＝∠ MNK ＝45°，∴ MN ∥ EC . ∴∠ DNM ＝∠ CPN . ∵ DM2＋ MN2＝8＋2＝10， DN2＝10， ∴ DM2＋ MN2＝ DN2. ∴△ DMN 是直角三角形，且∠ DMN ＝90°. 在Rt△ DMN 中， cos ∠ DNM ＝ ＝ ＝ ＝ . ∴ cos ∠ CPN ＝ cos ∠ DNM ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 (2)如图2， AN 与 CM 交于点 P ，求 sin ∠ CPN 的值. 解：(2)如图2所示，连接 GN ， GA . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 ∵点 N ， G ， A 均在格点上， ∴ AG ＝ GN ＝ ＝ ， AN ＝ ＝ . ∵ AG2＋ GN2＝10， AN2＝10，∴ AG2＋ GN2＝ AN2. ∴△ AGN 是直角三角形，且∠ AGN ＝90°. ∵tan∠ CMK ＝ ＝2，tan∠ GAK ＝ ＝2， ∴tan∠ CMK ＝tan∠ GAK ＝2.∴∠ CMK ＝∠ GAK . ∴ AG ∥ CM . ∴∠ CPN ＝∠ GAN . 在Rt△ AGN 中， sin ∠ GAN ＝ ＝ ＝ . ∴ sin ∠ CPN ＝ sin ∠ GAN ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26.3 解直角三角形 素养达标 能力突破 基础通关 $$