25.6.2 利用相似三角形测距离 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十五章　图形的相似 25.6 相似三角形的应用 第2课时　利用相似三角形测距离 利用相似三角形测河宽 1 2 3 4 5 6 7 8 1. (2023·石家庄二模)如图，某学生在 A 处看见河对岸有一大树 P ，想测 得点 A 与点 P 之间的距离，他先从点 A 向正西走90 m到达点 P 的正南方 点 C 处，再回到点 A 向正南走30 m到点 D 处，再从点 D 处向正东走到点 E 处，使得 E ， A ， P 三点恰好在一条直线上，测得 DE ＝22.5 m，则点 A 与点 P 之间的距离为(　D　) A. 112.5 m B. 120 m C. 135 m D. 150 m D 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】由题意可得∠ C ＝∠ CAD ＝∠ D ＝90°， ∴∠ DAE ＋∠ CAP ＝90°，∠ P ＋∠ CAP ＝90°. ∴∠ DAE ＝∠ P . ∴△ DAE ∽△ CPA . ∴ ＝ . ∵ DE ＝22.5 m， AD ＝30 m， AC ＝90 m， ∴ AE ＝ ＝ ＝37.5(m). ∴ ＝ ，解得 AP ＝150 m. ∴点 A 与点 P 之间的距离为150 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 2. (2023·邢台威县期末)如图，为了测量平静的河面的宽度，即 EP 的长，在离河岸点 D 3.2 m远的点 B 处，立一根长为1.6 m的标杆 AB ，在河对岸的岸边有一根长为4.5 m的电线杆 MF ，电线杆的顶端 M 在河里的倒影为点 N ，即 PM ＝ PN ，两岸均高出水平面0.75 m，即 DE ＝ FP ＝0.75 m.经测量，此时 A ， D ， N 三点在同一直线上，并且点 M ， F ， P ， N 共线，点 B ， D ， F 共线，且 AB ， DE ， MF 均垂直于河面 EP . (1)过点 B 作 BH ⊥ EP 于点 H ，则 BH ＝ m；设 AN 交 EP 于点 O ，则 OH ＝ m； 0.75　 4.7　 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】(1)如图，根据题意作出图形， 则四边形 BDEH 是矩形， ∴ BH ＝ DE ＝0.75 m， BD ∥ EH . ∴ AH ＝ AB ＋ BH ＝1.6＋0.75＝2.35(m). ∵ BD ∥ OH ，∴△ ABD ∽△ AHO . ∴ ＝ .∴ ＝ . ∴ OH ＝4.7 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 (2)河宽 EP ＝ ⁠m. 【解析】(2)∵ PM ＝ PN ， MF ＝4.5 m， FP ＝0.75 m， ∴ PN ＝ MF ＋ FP ＝5.25(m). ∵ AH ⊥ EP ， PN ⊥ EP ，∴ AH ∥ PN . ∴△ AHO ∽△ NPO . ∴ ＝ . ∴ ＝ .∴ PO ＝10.5 m. ∴河宽 EP ＝ PO ＋ OE ＝10.5＋(4.7－3.2)＝12(m). 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 3. 如图，要测量公园的荷花池 A ， B 两端的距离，由于条件限制无法直 接测得，请你用所学过的相似三角形的有关知识设计出一种测量方案. 具体要求：①用直尺或圆规画出测量的示意图，并说明运用的数学原 理；②需要测量哪些有关的数据；③待测量的数据可以用 a ， b ， c ， d 等字母表示，最后表达出 AB 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 解：(答案不唯一)如图，取一点 O ，连接 OA ， OB ，延长 AO 到点 C ， 使得 OC ＝ OA ，延长 BO 到点 D ，使得 OD ＝ BO ，连接 CD . 运用的数学原理：相似三角形. 量出 CD 的长记为 a ， 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 ∵ ＝ ＝2，∠ AOB ＝∠ COD ， ∴△ AOB ∽△ COD . ∴ ＝ ＝2. ∴ ＝2，∴ AB ＝2 a . 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 三角形的内接四边形 4. 如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC ，边 BC 长12 cm， BC 边上 的高 AD 为10 cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边 GH 在 BC 上，其余两个顶点 E ， F 分别在 AB ， AC 上，则这个正方形零件的边长 是(　A　) A. cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm 第4题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵四边形 EFHG 是正方形， ∴ EF ∥ BC . ∴△ AEF ∽△ ABC . 又∵ AD ⊥ BC ，∴ ＝ . 设正方形零件 EFHG 的边长为 x cm，则 AK ＝(10－ x )cm， ∴ ＝ ，解得 x ＝ . 即这个正方形零件的边长为 cm. 第4题图 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 5. 如图所示的一张三角形纸片 ABC ，边 AB 的长为20 cm， AB 边上的高 为25 cm，在三角形纸片 ABC 中从下往上依次裁剪去宽为4 cm的矩形纸 条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是(　B　) A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张 第5题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的 边是4 cm， 根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形上方边长的线段为 x cm， 则由题意易得 ＝ ，解得 x ＝5， 故从正方形上方边上到 AB 的长为25－5＝20(cm). ∵20÷4＝5，∴这张正方形纸条是第5张. 第5题图 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 6. 《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十步有 木，出西门七百五十步见木.问邑方有几何.”意思是如图，点 M ， N 分 别是正方形 ABCD 的边 AD ， AB 的中点， ME ⊥ AD ， NF ⊥ AB ， EF 过点 A ，且 ME ＝30步， NF ＝750步，则正方形的边长为(　D　) A. 140步 B. 150步 C. 280步 D. 300步 D 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵点 M ， N 分别是正方形 ABCD 的边 AD ， AB 的中点， ∴ AM ＝ AD ， AN ＝ AB ， AB ＝ AD . ∴ AM ＝ AN . 由题意可得 AM ∥ FN ， EM ∥ AN ， ∴∠ EAM ＝∠ F ，∠ FAN ＝∠ E . ∴△ AEM ∽△ FAN . ∴ ＝ ，即 AM2＝ ME · FN ， 解得 AM ＝150. ∴ AD ＝2 AM ＝300步，即正方形的边长为300步. 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 7. 【教材第91页例2改编】有一块锐角三角形卡纸余料 ABC ，它的边 BC ＝120 cm，高 AD ＝80 cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁 剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片 EFGH 和正方形纸片 PMNQ ，裁 剪时，矩形纸片的较长边在 BC 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长 边 EH 上，其余顶点均分别在 AB ， AC 上，具体裁剪方式如图所示. (1)求矩形纸片较长边 EH 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 解：(1)如图，记 AD 与 PQ ， EH 的交点分别为点 K ， R . 设 EF ＝2 x cm，则 EH ＝5 x cm，由矩形的性质， 得 EH ∥ BC ，易证△ AEH ∽△ ABC ， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得 x ＝15.∴ EH ＝5 x ＝15×5＝75(cm). ∴矩形纸片较长边 EH 的长为75 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 (2)裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩 余料△ AEH 中与边 EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向 边 EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 解：(2)设正方形的边长为 a cm，由(1)，得 AR ＝ AD － RD ＝80－2×15＝50(cm)， AK ＝(50－ a ) cm， 由题意易得△ APQ ∽△ AEH ，∴ ＝ ， 即 ＝ ，解得 a ＝30. ∵与边 EH 平行的中位线的长应为 ×75＝37.5(cm)， 而37.5≠30，∴小聪的剪法不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 8. 公共自行车车桩的截面示意图如图所示， AB ⊥ AD ， AD ⊥ DC ，点 B ， C 在 EF 上， EF ∥ HG ， EH ⊥ HG ， AB ＝80 cm， AD ＝24 cm， BC ＝25 cm， EH ＝4 cm. (1)求点 C 到 AB 的距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 ∵ AB ⊥ AD ， AD ⊥ DC ， ∴四边形 ANFD 是矩形. ∴ CN ＝ AD ＝24 cm，即点 C 到 AB 的距离为24 cm. 解：(1)如图，过点 C 作 CN ⊥ AB 交 AB 于点N ， 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 (2)求点 A 到地面的距离. 解：(2)如图，过点 A 作 AM ⊥ BF 交 BF 于点 M ，由(1)可得∠ AMB ＝∠ CNB ＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 又∵∠ ABM ＝∠ CBN ， ∴△ BNC ∽△ BMA . ∴ ＝ .∴ ＝ . ∴ AM ＝ ＝ (cm). 又∵ EH ⊥ HG ， EH ＝4 cm， ∴易得点 A 到地面的距离为 ＋4＝ ＝80.8(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 思路点拨 　　(1)过点 C 作 CN ⊥ AB 交 AB 于点 N ，证明四边形 ANFD 是矩形，即 可得解； (2)过点 A 作 AM ⊥ BF 交 BF 于点 M ，证明△ BNC ∽△ BMA ，即可 得解. 1 2 3 4 5 6 7 8 第2课时　利用相似三角形测距离 素养达标 能力突破 基础通关 $$