25.6.1 利用相似三角形测内径和高度 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十五章　图形的相似 25.6 相似三角形的应用 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 利用相似三角形测内径 1. 如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10 cm，为求出它的厚度 x ，现用一个交叉卡钳( AC 和 BD 的长相等)去测量零件的内径直径 AB . 如果 ＝ ＝ ，且量得 CD 的长是3 cm，那么零件的厚度 x 是 ⁠cm. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵ ＝ ＝ ，∠ COD ＝∠ AOB ， ∴△ COD ∽△ AOB . ∴ ＝ . ∵ CD ＝3 cm，∴ AB ＝9 cm. ∴零件的厚度 x ＝(10－9)÷2＝ (cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 2. 如图是测量玻璃管内径的示意图，点 D 正对“10 mm”刻度线，点 A 正对“30 mm”刻度线， DE ∥ AB . 若量得 AB 的长为7.5 mm，则内径 DE 的长为 ⁠mm. 【解析】∵ DE ∥ AB ，∴△ CDE ∽△ CAB . ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 DE ＝2.5 mm. 2.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 利用相似三角形测高度 3. (2023·石家庄月考)如图，某学生拿着一把12 cm长的尺子，站在距电 线杆30 m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电 线杆，已知该学生的臂长为60 cm，则电线杆的高度是(　D　) A. 2.4 m B. 24 m C. 0.6 m D. 6 m D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，过点 A 作 AN ⊥ EF 于点N ，交 BC 于点 M ， ∵ BC ∥ EF ，∴ AM ⊥ BC ，△ ABC ∽△ AEF . ∴ ＝ . 由题意，得 AM ＝0.6 m， AN ＝30 m， BC ＝0.12 m， ∴ EF ＝ ＝ ＝6(m)，即电线杆的高度是6 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 4. (2023·保定统考二模)西周数学家商高总结了用“矩”(如图1)测量物 高的方法：把矩的两边放置在图2所示的位置，从矩的一端 A (人眼)望点 E ，使视线通过点 C ，记人站立的位置为点 B ，量出 BG 长，即可算得 物高 EG . 若 a ＝30 cm， b ＝60 cm， AB ＝1.6 m，量得 BG ＝2.4 m，则 物体的高 EG 为(　D　) A. 1.2 m B. 2 m C. 2.4 m D. 2.8 m D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】由题可得 AF ＝ BG ＝2.4 m， EF ＝ EG － FG ， FG ＝ AB ＝1.6 m， CD ＝ a ＝0.3 m， AD ＝ b ＝0.6 m， ∴ EF ＝( EG －1.6)m. ∵ CD ⊥ AF ， EF ⊥ AF ，∴ CD ∥ EF . ∴△ ADC ∽△ AFE . ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 EG ＝2.8 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 5. (2023·保定阜平县期末)如图，九年级(一)班课外活动小组利用标杆测 量学校旗杆 AB 的高度，已知标杆的高度 CD ＝3 m，标杆与旗杆的水平 距离 BD ＝15 m，人的眼睛与地面的高度 EF ＝1.6 m，人与标杆 CD 的 水平距离 DF ＝2 m，此时，旗杆顶端 A ，标杆的顶端 C ，人眼 E 恰好在 一条直线上.求旗杆 AB 的高度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 解：如图，过点 E 作 EH ⊥ AB ，交 CD 于点 G ，交 AB 于点 H . 易得 EG ＝ FD ， EH ＝ FB ， EF ＝ GD ＝ HB ， ∵ CD ⊥ FB ， AB ⊥ FB ， ∴ CD ∥ AB . ∴△ CGE ∽△ AHE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴ ＝ . ∴ AH ＝11.9. ∴ AB ＝ AH ＋ HB ＝ AH ＋ EF ＝11.9＋1.6＝13.5(m). 答：旗杆 AB 的高度为13.5 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 利用小孔成像求高度 6. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验.如图，蜡烛与 带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一 半，当蜡烛火焰的高度 AB 为1.5 cm时，所成的像A'B'的高度为(　C　) A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】设所成的像A'B'的高度为 x cm， 由题意可得， ＝ ，解得 x ＝3. ∴所成的像A'B'的高度为3 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 7. 【教材第89页做一做改编】在两千四五百年前，墨子和他的学生做了 世界上第1个小孔成倒像的实验(如图1)，并在《墨经》中有这样的精彩 记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图2所示的小孔成像实 验中，若物距为10 cm，像距为15 cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9 cm，则蜡烛火焰的高度是(　A　) A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】设蜡烛火焰的高度是 x cm， 由相似三角形的性质，得 ＝ . 解得 x ＝6，即蜡烛火焰的高度是6 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 8. (2023·河北模拟预测)如图，小明在 A 时测得某树的影长为3 m，在 B 时又测得该树的影长为2 m.若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 (　A　) A. m B. 2 m C. 6 m D. m 第8题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图所示， ∵ CF ⊥ EF ，∴∠ CFD ＋∠ EFD ＝90°. ∵ FD ⊥ CE ，∴∠ FCD ＋∠ CFD ＝90°. ∴∠ EFD ＝∠ FCD . ∵∠ FDC ＝∠ EDF ＝90°，∴△ CDF ∽△ FDE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 ∴ ＝ . ∵ CD ＝2， DE ＝3，∴ ＝ ，解得 DF ＝ . ∴树的高度为 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 9. 兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下，一名同学测得一 根长为1 m的竹竿的影长为0.4 m，同时另一名同学测量树的高度时，发 现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测 得此影子长为0.2 m，一级台阶高为0.3 m，如图所示，若此时落在地面 上的影长为4.4 m，则树高为(　C　) A. 11.5 m B. 11.75 m C. 11.8 m D. 12.25 m 第9题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】画出示意图如图所示，过点 F 作 EF ⊥ AB ， 根据题意，得 EF ＝ BC ＝4.4 m， DF ＝0.2 m， BE ＝ FC ＝0.3 m， 则 ED ＝4.4＋0.2＝4.6(m)， ∵同一时刻物高与影长成正比，∴ AE ∶ ED ＝1∶0.4， 即 AE ∶4.6＝1∶0.4. ∴ AE ＝11.5 m. ∴ AB ＝ AE ＋ EB ＝11.5＋0.3＝11.8(m). ∴树高为11.8 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 思路点拨 　　在同一时刻物高和影长成正比，注意落在台阶上的影长不能简 单相加. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 10. (2023·廊坊固安县期末改编)如图，路灯距地面的高度 PO ＝8 m，身 高1.6 m的铭铭在点 A 处测量发现，他的影长 AM ＝2.4 m. (1)求 AO 的长； 解：(1)如图，设 AO ＝ x m， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 根据题意，得 OP ∥ AF ， AF ＝1.6 m， ∴△ MAF ∽△ MOP . ∴ ＝ . ∴ ＝ ， 解得 x ＝9.6，即 AO 的长为9.6 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 解：(2)设 BN ＝ y m，根据题意，得 OP ∥ BE ，EB ＝1.6 m， OB ＝ OA － AB ＝9.6－8＝1.6(m)， ∴△ NBE ∽△ NOP . ∴ ＝ . ∴ ＝ ，解得 y ＝0.4，即他的影子 BN 的 长度为0.4 m. (2)铭铭由 A 处沿 AO 所在的直线行走8 m到点 B 时，求他的影子 BN 的长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 11. 小红家的阳台上放置了一个晾衣架如图1所示，图2是晾衣架的侧面 示意图，立杆 AB ， CD 相交于点 O ， B ， D 两点立于地面，经测量知， AB ＝ CD ＝136 cm， OA ＝ OC ＝51 cm， OE ＝ OF ＝34 cm，现将晾衣架完全稳固张开，扣链 EF 成一条线段，且 EF ＝32 cm.垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于 cm时，才不会碰到地面. 120　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，过点 O 作 OM ⊥ EF 于点 M ，则 EM ＝ EF ＝16 cm， 在Rt△ OEM 中， OM ＝ ＝30 cm.过点 A 作 AH ⊥ BD 于点 H ，则Rt△ OEM ∽Rt△ ABH ，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴ AH ＝120 cm，∴垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120 cm时，才不会碰到地面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 思路点拨 　　探究：过点 A 作 AH ⊥ BD 于点 H ，过点 O 作 OM ⊥ EF 于点 M ，利 用等腰三角形的判定和性质以及勾股定理求出 OM 的值，再证明△ ABH ∽△ OEM ，利用相似比求出 AH 的值，即可得到答案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 素养达标 能力突破 基础通关 $$