25.5.2 相似三角形周长与面积的性质 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十五章　图形的相似 25.5 相似三角形的性质 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 相似三角形周长的比等于相似比 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1. 若△ ABC ∽△ A1 B1 C1且对应中线的比是1∶4，则△ A1 B1 C1 与△ ABC 周长的比是(　B　) A. 1∶2 B. 4∶1 C. 1∶8 D. 1∶4 B 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 思路点拨 　　注意利用相似比求两个三角形的周长比时要看清对应顺序. 【解析】∵△ ABC ∽△ A1 B1 C1且对应中线比是1∶4， ∴△ ABC 与△ A1 B1 C1的相似比为1∶4. ∴△ ABC 与△ A1 B1 C1周长的比为1∶4. ∴△ A1 B1 C1与△ ABC 周长的比为4∶1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 2. 如图，▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E 是 AB 的中点，△ BEO 的周长是8，则△ BCD 的周长为 ⁠. 16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， ∴ OB ＝ OD . ∵ E 是 AB 的中点，即 BE ＝ AE ， ∴ OE ∥ AD ， OE ＝ AD . ∴△ BOE ∽△ BDA . ∴ ＝ ＝ . ∵△ BEO 的周长是8， ∴△ BAD 的周长为16. 由题易知△ BCD ≌△ DAB . ∴△ BCD 的周长为16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 相似三角形面积的比等于相似比的平方 3. (2023·秦皇岛第七中学期末)如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， ＝ ，则下列结论正确的是(　B　) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵ ＝ ，∴ ＝ . ∵ DE ∥ BC ，∴△ ADE ∽△ ABC . ∴ ＝ ＝ ，故A选项错误； ∵ DE ∥ BC ，∴ ＝ ＝ ，故B选项正确； ∵△ ADE ∽△ ABC ， ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，故C，D选 项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 4. (2023·邯郸大名县月考)如图，有一锐角为30°的三角尺，它的内外两 个三角形是相似的，三角尺的斜边长为12 cm，其内部三角形的最短边 长为3 cm，则这个三角尺内、外两个三角形面积的比为(　D　) A. 1∶ B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，对图中的点进行标注， 根据题意可得△ ACB ，△ DEF 都是直角三角形且△ ACB ∽△ DEF ， ∠ B ＝30°， DE ＝3 cm， AB ＝12 cm，∴∠ F ＝∠ B ＝30°. ∵ DE ＝3 cm，∴ DF ＝2 DE ＝6 cm. ∴这个三角尺内、外两个三角形面积的比为 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 5. (2023·承德模拟预测)如图，已知 P ， Q 是边 AB 的三等分点，△ ABC 的面积为27，现从 AB 边上取一点 D ，沿平行于 BC 的方向剪下一个面 积为10的三角形，则点 D 在(　C　) A. 线段 AP 上 B. 线段 PQ 上，且靠近点 P C. 线段 PQ 上，且靠近点 Q D. 线段 BQ 上 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，取 AB 的中点 E ，过点 E 作 EF ∥ BC ，与 AC 交于点 F ，过点 Q 作 QH ∥ BC ，与 AC 交于点 H ， ∴△ AEF ∽△ ABC ，△ AQH ∽△ ABC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 ∴ ＝ ， ＝ ， 即 ＝ ， ＝ . ∴ S△ AEF ＝ ＜10， S△ AQH ＝12＞10. ∴若从 AB 边上取一点 D ，沿平行于 BC 的方向剪下一个面积为10的三 角形，则点 D 在线段 PQ 上，且靠近点 Q . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 6. (2023·保定高碑店市期末)如图， D ， E 分别是△ ABC 的边 AB ， AC 上的点，且 DE ∥ BC ， BE ， CD 相交于点 O ，若 S△ DOE ∶ S△ DOB ＝ 1∶3，则 ＝ 　 　，当 S△ ADE ＝2时，四边形 DBCE 的面积是 ⁠. 　 16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵ S△ DOE ∶ S△ DOB ＝1∶3，∴易得 ＝1∶3. ∵ DE ∥ BC ，∴△ ODE ∽△ OCB . ∴ ＝ ＝ . ∵ DE ∥ BC ，∴△ ADE ∽△ ABC . ∴ ＝ ＝ ＝ . ∵ S△ ADE ＝2，∴ S△ ABC ＝18. ∴ S四边形 DBCE ＝ S△ ABC － S△ ADE ＝18－2＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 7. 【教材第87页习题B组第2题改编】如图，在平行四边形 ABCD 中， E 是 CD 的延长线上一点， BE 与 AD 交于点 F ， DE ＝ CD . (1)求证：△ ABF ∽△ CEB ； (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ A ＝∠ C ， AB ∥ CD . ∴∠ ABF ＝∠ CEB . ∴△ ABF ∽△ CEB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 (2)若△ DEF 的面积为2，求平行四边形 ABCD 的面积. (2)解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC ， AB ∥ CD ， AB ＝ CD . ∴△ DEF ∽△ CEB ，△ DEF ∽△ ABF . ∵ DE ＝ CD ，∴ ＝ .∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∵ S△ DEF ＝2，∴ S△ CEB ＝18， S△ ABF ＝8. ∴ S四边形 BCDF ＝ S△ CEB － S△ DEF ＝16. ∴ S四边形 ABCD ＝ S四边形 BCDF ＋ S△ ABF ＝16＋8＝24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 8. (2023·石家庄第19中学期末)如图，在平行四边形 ABCD 中， E 是 AB 的中点， CE 和 BD 交于点 O ，若 S△ EOB ＝1，则四边形 AEOD 的面积为 (　B　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 第8题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵在平行四边形 ABCD 中， E 是 AB 的中点， ∴ CD ∥ AB ， CD ＝ AB ＝2 BE . ∴△ DOC ∽△ BOE . ∴ ＝ ＝2. ∵ S△ EOB ＝1，∴ S△ BOC ＝2， S△ DOC ＝4. ∴ S△ BCD ＝ S△ BOC ＋ S△ DOC ＝6.∴ S△ DAB ＝6. ∴ S四边形 AEOD ＝ S△ DAB － S△ EOB ＝6－1＝5. 第8题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 9. 如图，已知在△ ABC 中， D ， E 为 AB 边上两点， DF ∥ EH ∥ BC 分 别交 AC 于点 F ， H ，若 S△ ADF ＝ S四边形 DEHF ＝ S四边形 EBCH ，且 AB ＝2 ，则 AD ＝ ， DE ＝ 　2 －2　. 第9题图 2　 2 －2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵ DF ∥ EH ∥ BC ， ∴△ ADF ∽△ AEH ∽△ ABC . ∵ S△ ADF ＝ S四边形 DEHF ＝ S四边形 EBCH ， ∴ ＝ ， ＝ . ∴ ＝ ， ＝ . ∵ AB ＝2 ， ∴ AD ＝2， AE ＝2 . ∴ DE ＝ AE － AD ＝2 －2. 第9题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 10. 如图，若干个正三角形的一边在同一条直线 a 上，这边对的顶点也 在同一条直线 b 上，它们的面积依次为 S1， S2， S3， S4，…，若 S1＝ 1， S2＝2，则 S3＝ ， Sn ＝ ⁠. 第10题图 4　 2 n－1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图， ∵△ AEF ，△ BFG ，△ CGH 都为等边三角形， ∴∠ AFE ＝∠ BGF ＝60°，∠ BFG ＝∠ CGH ＝60°. ∴ AF ∥ BG ， BF ∥ CG . ∴∠ BAF ＝∠ CBG ，∠ ABF ＝∠ BCG . ∴△ ABF ∽△ BCG . ∴ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 又∵△ AEF ∽△ BFG ∽△ CGH ， ∴ ＝ ＝ ＝ . 即 ＝ .∴ ＝ S1· S3. ∴ S3＝ ＝ ＝22. 同理， S4＝ ＝ ＝23， S5＝ ＝ ＝24，…， ∴ Sn ＝2 n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 11. 某社区拟筹资金2 000元，计划在一块上、下底分别是10 m，20 m的梯形空地上种植花木(如图)，他们想在△ AMD 和△ BMC 地 带种植单价为10元/m2的太阳花，当△ AMD 地带种满花后，已经花了 500元，请你预算一下，若继续在△ BMC 地带种植同样的太阳花，资金 是否够用，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 解：资金不够用. 理由： S△ ADM ＝500÷10＝50(m2)， ∵ AD ∥ BC ，∴△ ADM ∽△ CBM . ∴ ＝ ＝ . ∴ S△ CBM ＝4 S△ ADM ＝4×50＝200(m2). ∴还需资金10×200＝2 000(元). ∴共需资金500＋2 000＝2 500(元)＞2 000元. ∴资金不够用. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 12. (2023·衡水武邑县开学考试)在同一平面内，将 两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点 A 为公共顶 点，点 D 在 AB 的延长线上，∠ BAC ＝∠ AED ＝90°， AB ＝ AE ＝2 . (1)图1中阴影部分的面积与△ ADE 的面积的比为 ⁠； 1∶2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图1，∵△ ABC ，△ ADE 都是等腰直角三角形， ∴易得∠ ABC ＝∠ ACB ＝∠ D ＝∠ DAE ＝45°， AD ＝ AE ＝4. ∴△ ABF ∽△ ADE . ∴ ＝ ＝ ＝ . ∴阴影部分的面积与△ ADE 的面积的比为1∶2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 (2)若将△ ABC 固定不动，把△ ADE 绕点 A 逆时针旋转α(0°＜α＜90°)， 此时线段 AD ，射线 AE 分别与射线 BC 交于点 M ， N . ①当△ ADE 旋转到如图2所示的位置时，求证：△ ABN ∽△ MAN ； ②如图2，若 BM ＝1，求 BN 的长； ③在旋转过程中，若 BM ＝ d ，请直接写出 CN 的长(用含 d 的式子表示). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 (2)①证明：由题意，得∠ ABN ＝∠ MAN ＝45°，∠ ANB ＝∠ MNA ， ∴△ ABN ∽△ MAN . ②解：在Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ＝2 ，则 BC ＝ ＝4， ∴ CM ＝ BC － BM ＝3. ∵∠ AMC ＝∠ B ＋∠ BAM ＝45°＋∠ BAM ， ∠ BAN ＝∠ MAN ＋∠ BAM ＝45°＋∠ BAM ， ∴∠ AMC ＝∠ BAN . ∵∠ B ＝∠ C ，∴△ ABN ∽△ MCA . ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 BN ＝ . ③ CN 的长为 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图2，当点 N 在线段 BC 上时， 由②可知△ ABN ∽△ MCA ， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 BN ＝ . ∴ CN ＝ BC － BN ＝4－ ＝ ； 如图3，当点 N 在线段 BC 的延长线上时，同理可得 CN ＝ BN － BC ＝ －4＝ .综上所述， CN 的长为 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 思路点拨 　　(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠ ABC ＝∠ ACB ＝∠ D ＝∠ DAE ＝45°，证明△ ABF ∽△ ADE ，根据相似三角形面积的比等于相 似比的平方计算即可； (2)①根据两角相等的两个三角形相似证明即可；②先根据勾股定 理求出 BC ，再证明△ ABN ∽△ MCA ，最后根据相似三角形的性质计 算即可；③分点 N 在线段 BC 上和线段 BC 的延长线上两种情况，根据 相似三角形的性质计算即可得到答案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2课时　相似三角形周长与面积的性质 素养达标 能力突破 基础通关 $$