25.5.1 相似三角形对应线段的性质 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十五章　图形的相似 25.5 相似三角形的性质 第1课时　相似三角形对应线段的性质 相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1. 已知△ ABC ∽△A'B'C'且相似比为2∶3， BD 和B'D'分别是两个三角 形对应角的平分线，若 BD ＝4 cm，则B'D'的长是(　C　) A. 3 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 cm C 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵相似三角形对应角平分线的比等于相似比， ∴ BD ∶B'D'＝2∶3. ∵ BD ＝4 cm， ∴B'D'＝6 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 2. 如图，△ ABC ∽△A'B'C'， AD ， BE 分别是△ ABC 的高和中线， A'D'，B'E'分别是△A'B'C'的高和中线，且 AD ＝4，A'D'＝3， BE ＝ 6，则B'E'的长为(　D　) A. B. C. D. 第2题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵△ ABC ∽△A'B'C'， AD ， BE 分别是△ ABC 的高和中线， A'D'，B'E'分别是△A'B'C'的高和中线， AD ＝4，A'D'＝3， BE ＝6. ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ . ∴B'E'＝ . 第2题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 3. 顺次连接三角形三边的中点，所围成的三角形与原三角形的对应高的 比是(　C　) A. 1∶4 B. 1∶3 C. 1∶2 D. 1∶ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形相 似，且相似三角形对应高的比等于相似比， 又∵顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形每条边的长均等于原三 角形对应边的一半， ∴顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应高的比是 1∶2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 4. (2023·张家口期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点 P (3，3)， A (0，1)， B (4，1)，射线 PA ， PB 与 x 轴分别交于点 C ， D ，则 CD ＝ (　A　) A. 6 B. 5.5 C. 4.5 D. 3 第4题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】如图，连接 AB . ∵ A (0，1)， B (4，1)， ∴ AB ＝4，且 AB ∥ CD . ∴△ PAB ∽△ PCD ，且相似比等于 AB 和 CD 边上的高的比，即2∶3. ∴ AB ∶ CD ＝2∶3. ∵ AB ＝4，∴ CD ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 5. 【教材第85页练习改编】如图，∠ B ＋∠ DEC ＝180°，且 AD ∶ AC ＝3∶5. (1)若 AM ， AN 分别为△ ADE 与△ ACB 的对应中线，且 AM ＝9 cm，则 AN 的长为 ⁠. 15 cm　 【解析】∵∠ B ＋∠ DEC ＝180°，∠ DEC ＋∠ AED ＝180°， ∴∠ B ＝∠ AED . ∵∠ BAC ＝∠ EAD ，∴△ ABC ∽△ AED . (1)∵△ ABC ∽△ AED ， AD ∶ AC ＝3∶5， AM ， AN 分别 为△ ADE 与△ ACB 的对应中线， ∴ AM ∶ AN ＝ AD ∶ AC ＝3∶5.∵ AM ＝9 cm，∴ AN ＝15 cm. 第5题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 (2)若 AF ， AG 分别为△ ADE 与△ ACB 的对应高线，且 AG ＝10 cm， 则 AF 的长为 ⁠. 【解析】∵∠ B ＋∠ DEC ＝180°，∠ DEC ＋∠ AED ＝180°， ∴∠ B ＝∠ AED . ∵∠ BAC ＝∠ EAD ，∴△ ABC ∽△ AED . (2)同(1)可得 AF ∶ AG ＝ AD ∶ AC ＝3∶5. ∵ AG ＝10 cm，∴ AF ＝6 cm. 第5题图 6 cm　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 (3)若 AH ， AI 分别为△ ADE 与△ ACB 的对应角平分线，则 的值 为 ⁠. 【解析】∵∠ B ＋∠ DEC ＝180°，∠ DEC ＋∠ AED ＝180°， ∴∠ B ＝∠ AED . ∵∠ BAC ＝∠ EAD ，∴△ ABC ∽△ AED . (3)同(1)可得 AH ∶ AI ＝ AD ∶ AC ＝3∶5， ∴ ＝ . 　 第5题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 6. (2023·邢台信都区月考改编)如图，若方格纸中每个小正方形的边长均 为1，则阴影部分的面积为 ⁠. 第6题图 　 【解析】由题可得 CD ∥ AB ， ∴△ ABO ∽△ DCO . ∴ ＝ ＝ ＝ . ∴ S阴影＝ CD · BD ＝ ×4×4× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 7. 如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D ， E 分别在边 AC ， AB 上， AG ⊥ BC 于点 G ， AF ⊥ DE 于点 F ，∠ EAF ＝∠ GAC . 若 AD ＝3， AB ＝5， 求 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 解：∵ AG ⊥ BC ， AF ⊥ DE ， ∴∠ AFE ＝∠ AGC ＝90°. ∵∠ EAF ＝∠ GAC ， ∴∠ AED ＝∠ C . 又∵∠ EAD ＝∠ CAB ，∴△ ADE ∽△ ABC . ∵ AF ， AG 分别是△ ADE 和△ ABC 的高， ∴ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 8. 如图，在△ ABC 中， BC ＝120，高 AD ＝60，正方形 EFGH 的一边在 BC 上，点 E ， F 分别在 AB ， AC 上， AD 交 EF 于点 N ，则 AN 的长为 (　B　) A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵四边形 EFGH 是正方形，∴ EF ∥ GH . ∴△ AEF ∽△ ABC . ∵ AD ⊥ BC ，∴ AD ⊥ EF . ∴ EH ＝ ND ＝ FG . ∵△ AEF ∽△ ABC ，∴ ＝ . 设正方形的边长为 x ，则有 ＝ ，解得 x ＝40. ∴ AN ＝ AD － DN ＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 9. 如图，在矩形 ABCD 中， AD ＞ AB ， CE 平分∠ BCD 交 AD 于点 E ， 过点 A 作 AF ⊥ CE 交 CE 的延长线于点 F ， DH ⊥ FC 于点 H ， FM ⊥ AD 于点 M ，若 DE ∶ AE ＝1∶2，则 ＝ 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵四边形 ABCD 是矩形， AF ⊥ CE ， ∴∠ AFE ＝∠ EDC ＝90°. ∵∠ FEA ＝∠ DEC ，∴△ AEF ∽△ CED . 又∵ DH ⊥ FC ， FM ⊥ AD ，∴ ＝ ＝ . ∵四边形 ABCD 是矩形， CE 平分∠ BCD ， ∴∠ BCE ＝∠ ECD ＝∠ DEC ＝45°. ∴ DE ＝ DC . ∴ EF ＝ AF . ∵ DE ∶ AE ＝1∶2，∴设 DE ＝ a ，则 AE ＝2 a ， ∵在Rt△ AEF 中， EF2＋ AF2＝ AE2， ∴ EF ＝ a .∴ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 10. 如图是一个照相机成像的示意图，像高 MN ，景物高度为 AB ， CD 为水平视线，根据物体成像原理知 AB ∥ MN ， CD ⊥ MN . (1)如果像高 MN 是35 mm，焦距 CL 是50 mm，拍摄的景物高度 AB 是 4.9 m，那么拍摄点离景物的距离 LD 是多少？ 解：∵ AB ∥ MN ，∴△ LMN ∽△ LBA . 又∵ CD ⊥ MN ，∴ CD ⊥ AB . ∴ ＝ ，即 ＝ . (1)∵像高 MN 是35 mm，焦距 CL 是50 mm，拍摄的景物高度 AB 是4.9 m， ∴ ＝ ，解得 LD ＝7 m.∴拍摄点离景物的距离 LD 是7 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 (2)如果要完整地拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物的距离为4 m， 像高不变，那么相机的焦距应调整为多少毫米？ 解：∵ AB ∥ MN ，∴△ LMN ∽△ LBA . 又∵ CD ⊥ MN ，∴ CD ⊥ AB . ∴ ＝ ，即 ＝ . (2)∵拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物的距离为4 m，像高不 变，即 MN ＝35 mm， AB ＝2 m， LD ＝4 m， ∴ ＝ ，解得 CL ＝70 mm.∴相机的焦距应调整为70 mm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 11. (2023·邯郸广平县期末改编)如图，△ ABC 是一 张直角三角形的纸，∠ ACB ＝90°， AC ＝30 cm， BC ＝40 cm， CD ⊥ AB 于点 D . (1)求 CD 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 解：(1)∵∠ ACB ＝90°， AC ＝30 cm， BC ＝40 cm， ∴ AB ＝ ＝50(cm). ∵ CD · AB ＝ AC · BC ， ∴ CD ＝ ＝24(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 (2)将斜边上的高 CD 进行五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸 条，求这4张纸条的面积和. 解：(2)如图，∵ EF ∥ AB ，∴△ CEF ∽△ CAB . ∴ ＝ ＝ .∵ AB ＝50 cm，∴ EF ＝ ×50＝10(cm). 同理可得 MN ＝ AB ＝20 cm， PQ ＝ AB ＝30 cm， GH ＝ AB ＝40 cm， ∴这4张纸条的面积和＝10× ＋20× ＋30× ＋40× ＝480(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 思路点拨 　　(1)先利用勾股定理计算出 AB ＝50 cm，再利用面积公式即可计算 出 CD ＝24 cm； (2)先证明△ CEF ∽△ CAB ，因为斜边上的高 CD 被五等分，所以 ＝ ＝ ，则 EF ＝ ×50＝10(cm)，同理可得 MN ＝ AB ＝20 cm， PQ ＝ AB ＝30 cm， GH ＝ AB ＝40 cm，然后根据矩形的面积公式计 算即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1课时　相似三角形对应线段的性质 素养达标 能力突破 基础通关 $$