25.4.3 用边边关系判定三角形相似 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十五章　图形的相似 25.4 相似三角形的判定 第3课时　用边边关系判定三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1. (2023·保定期中)已知△ ABC 的三边长分别是1， ， ，与△ ABC 相似的三角形三边长可能是(　A　) A. ，2， B. ，1， C. 1， ， D. ，1， 【解析】∵1∶ ∶ ＝ ∶2∶ ，∴与△ ABC 相似的三角形的 三边长是选项A中的数据. A 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 2. 【教材第81页习题A组第3题改编】下列四个三角形中，与左图中的 三角形相似的是(　B　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】设每个小正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为 ， 2 ， . A. 三角形三边长分别为2， ，3 ，与给出的三角形的各边不成比 例，故选项A错误； B. 三角形三边长分别为2，4，2 ，与给出的三角形的各边成比例， 故选项B正确； C. 三角形三边长分别为2，3， ，与给出的三角形的各边不成比 例，故选项C错误； D. 三角形三边长分别为 ，4， ，与给出的三角形的各边不成比 例，故选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 3. (2023·邯郸阶段练习)如图是老师画出的△ ABC ，已标出三边的长 度，下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ ABC 不一定相似的是 (　C　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】A. 由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和△ ABC 相似，故选项不符合题意； B. 由 ＝ ＝ ，且γ＝γ，则可得画出来的三角形和△ ABC 相似， 故选项不符合题意； C. 知道两边和邻角，画出来的三角形不一定和△ ABC 相似， 故选项符合题意； D. 由 ＝ ＝ ，则可得画出来的三角形和△ ABC 相似， 故选项不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 4. (2023·邢台第七中学期末)下列各组条件中，一定能够判定△ ABC 与 △ DEF 相似的是(　C　) A. ∠ A ＝∠ B ，∠ D ＝∠ E B. ∠ B ＝∠ E ， AB ＝3， AC ＝4， DE ∶ DF ＝3∶4 C. △ ABC 三边长分别为6，18，21，△ DEF 三边之比为2∶7∶6 D. ∠ C ＝90°，∠ E ＝90°， DE ∶ AB ＝ EF ∶ AC C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】A. ∠ A 和∠ B ，∠ D 和∠ E 不是两个三角形的对应角，故不能 判定两三角形相似，故此选项不符合题意； B. 根据∠ B ＝∠ E ， ＝ 不能判定两三角形相似，因为相等的两个 角不是夹角，故此选项不符合题意； C. △ ABC 三边长分别为6，21，18，则三边之比为2∶7∶6，由△ DEF 三边之比为2∶7∶6可知△ ABC 与△ DEF 相似，故此选项符合题意； D. DE ∶ AB ＝ EF ∶ AC 不是直角三角形的对应边成比例，故不能判定 两三角形相似，故此选项不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 5. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ ABC 和△ DEF 的顶点 都在格点上， P1， P2， P3， P4， P5是△ DEF 边上的5个格点，请按要 求完成下列各题： (1)求证：△ ABC 是直角三角形； (1)证明：∵ AB2＝20， AC2＝5， BC2＝25， ∴ AB2＋ AC2＝ BC2. 根据勾股定理的逆定理得△ ABC 为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 (2)判断△ ABC 和△ DEF 是否相似，并说明理由； (2)解：△ ABC 和△ DEF 相似. 理由：由(1)中数据得 AB ＝2 ， AC ＝ ， BC ＝5， DE ＝4 ， DF ＝2 ， EF ＝2 ， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ . ∴△ ABC ∽△ DEF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 (3)画一个三角形，使它的三个顶点为 P1， P2， P3， P4， P5中的3个格 点，并且与△ ABC 相似. (3)解：如图，连接 P2 P5， P2 P4， P4 P5， △ P2 P4 P5即为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 ∵ P2 P5＝ ， P2 P4＝ ， P4 P5＝2 ， AB ＝2 ， AC ＝ ， BC ＝5， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴△ ABC ∽△ P4 P5 P2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似 6. (2023·邢台第七中学期末)下列判断中，不正确的有(　B　) A. 三边对应成比例的两个三角形相似 B. 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似 C. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D. 有一个角是100°的两个等腰三角形相似 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 7. 已知：如图，∠ ABC ＝∠ CDB ＝90°， AC ＝5， BC ＝4，当 BD 的长为多少时，△ ABC 与△ BDC 相似？ 解：在Rt△ ABC 中，∵ AC ＝5， BC ＝4，∴ AB ＝3. 当 ＝ ，即 ＝ 时， Rt△ ABC ∽Rt△ BDC ，解得 BD ＝ ； 当 ＝ ，即 ＝ 时，Rt△ ABC ∽Rt△ CDB ， 解得 BD ＝ .故当 BD ＝ 或 时，两个三角形相似. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 思路点拨 　　图中对应关系不确定，需要分类讨论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 8. (2023·邢台第五中学阶段练习)如图，将边长为1的小正方形一字排 开， A1， A2， A3…依次是第2，3，4…个小正方形右下角的顶点， P 是 第一个小正方形左上角的顶点.记△ PA1 A2，△ PA1 A3，△ PA1 A4…依次 为①号三角形，②号三角形，③号三角形…已知这些三角形中有一个三 角形与①号三角形相似，则这个三角形的号数为(　C　) A. ③ B. ④ C. ⑤ D. ⑥ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵①号三角形中 PA1＝ ， PA2＝ ， A1 A2＝1；⑤号三角 形中 PA1＝ ， PA6＝ ＝ ＝5 ， A1 A6＝5；∵ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，∴△ A6 PA1∽△ PA1 A2.∴与①号三角形相 似的是⑤号三角形，故C为正确选项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 9. 一个三角形木架三边长分别是75 cm，100 cm，120 cm，现要 再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm的两根木 条要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另外两边(允许有 余料)，则截得的两段的长分别为 ⁠. 45 cm，72 cm或37.5 cm，50 cm　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】长120 cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之 和大于第三边， 则长120 cm的木条不能作为一边， 设从120 cm的木条上截下两段长分别为 x cm， y cm( x ＜ y ，且 x ＋ y ≤120)的木条， 当长60 cm的木条与长75 cm的一边对应时， ＝ ＝ ， 解得 x ＝80， y ＝96， x ＋ y ＞120，不符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 当长60 cm的木条与长100 cm的一边对应时， ＝ ＝ ，解得 x ＝ 45， y ＝72； 当长60 cm的木条与长120 cm的一边对应时， ＝ ＝ ，解得 x ＝ 37.5， y ＝50. 综上，有两种不同的截法：把长120 cm的木条截成长45 cm，72 cm的两 段或把长120 cm的木条截成长37.5 cm，50 cm的两段. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 思路点拨 　　题中对应关系不确定，需要分类讨论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 10. 如图，点 B ， D ， E 在一条直线上， BE 与 AC 相交于点 F ， ＝ ＝ . (1)求证：∠ BAD ＝∠ CAE ； (1)证明：∵ ＝ ＝ ， ∴△ ABC ∽△ ADE . ∴∠ BAC ＝∠ DAE . ∴∠ BAC －∠ DAF ＝∠ DAE －∠ DAF ， 即∠ BAD ＝∠ CAE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 (2)若∠ BAD ＝21°，求∠ EBC 的度数； (2)解：∵△ ABC ∽△ ADE ， ∴ ∠ ABC ＝∠ ADE . 又∵∠ ABC ＝∠ ABE ＋∠ EBC ， ∠ ADE ＝∠ ABE ＋∠ BAD ，　 ∴∠ EBC ＝∠ BAD ＝21°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 (3)连接 EC ，求证：△ ABD ∽△ ACE . (3)证明：∵ ＝ ，∴ ＝ . 又由(1)知∠ BAD ＝∠ CAE ， ∴△ ABD ∽△ ACE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 11. 如图，在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ A ＝ 90°， AB ＝2， BC ＝3， CD ＝1， E 是 AD 的中点. (1)求证：△ CDE ∽△ EAB ； (1)证明：如图，过点 C 作 CF ⊥ AB 于点 F ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 ∴∠ A ＝∠ CFA ＝∠ CFB ＝90°. ∵ AB ∥ CD ，∴∠ A ＋∠ D ＝180°. ∴∠ D ＝90°. ∴四边形 ADCF 是矩形. ∴ AF ＝ CD ＝1， AD ＝ CF . ∴ BF ＝ AB － AF ＝1. ∴ CF ＝ ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 ∵ E 是 AD 的中点， ∴ AE ＝ DE ＝ AD ＝ CF ＝ . ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∴ ＝ . 又∵∠ D ＝∠ A ＝90°，∴△ CDE ∽△ EAB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 (2)△ CDE 与△ CEB 有可能相似吗？若相似，请给出证明过程； 若不相似，请简述理由. (2)解：△ CDE ∽△ CEB ， 证明：∵ CE ＝ ＝ ， BE ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ .∴△ CDE ∽△ CEB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第3课时　用边边关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 $$