25.4.2 用边角关系判定三角形相似 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十五章　图形的相似 25.4 相似三角形的判定 第2课时　用边角关系判定三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 1. (2023·保定期末)如图，在△ ABC 中，∠ A ＝78°， AB ＝6， AC ＝9.将 △ ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的 是(　A　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】A. 有两边对应成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似， 符合题意； B. ＝ ， ＝ ，∠ A ＝∠ A ，两三角形有两边对应成比例且夹角相 等，故两三角形相似，不符合题意； C. 阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似， 不符合题意； D. 阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似， 不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 2. (2023·石家庄期中)如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上，下列条件中能判定△ ABC ∽△ AED 的是(　B　) ①∠ AED ＝∠ B ； ②∠ ADE ＝∠ C ； B ③ ＝ ； ④ ＝ . A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵∠ A ＝∠ A ， ∴∠ AED ＝∠ B 或∠ ADE ＝∠ C 时，△ ABC ∽△ AED . 　 ∵ ＝ ，∴ ＝ . ∵∠ A ＝∠ A ，∴△ ABC ∽△ AED . 故①②③可以判断， ∵ ＝ ，∠ A ＝∠ A ， ∴△ ABC ∽△ ADE ，与所求对应关系不一致，故④不能判断. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 3. (2023·邢台一模)如图，在四边形 ABCD 中，∠ ADC ＝∠ BAC ，则添 加下列条件后，不能判定△ ADC 和△ BAC 相似的是(　C　) A. CA 平分∠ BCD B. ∠ DAC ＝∠ ABC C. ＝ D. ＝ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】A. 由 CA 平分∠ BCD 可得∠ BCA ＝∠ ACD ，结合∠ ADC ＝∠ BAC ，可以证明△ ABC ∽△ DAC ，故此选项不符合题意； B. 由∠ DAC ＝∠ ABC ，结合∠ ADC ＝∠ BAC ，可以证明△ ABC ∽△ DAC ，故此选项不符合题意； C. 由 ＝ ，结合∠ ADC ＝∠ BAC ，不可以证明△ ABC ∽△ DAC ， 故此选项符合题意； D. 由 ＝ ，结合∠ ADC ＝∠ BAC ，可以证明△ ABC ∽△ DAC ，故此选项不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 4. 如图，在方格纸中，△ ABC 和△ EPD 的顶点均在格点上，要使△ ABC ∽△ EPD ，则点 P 所在的格点为 ⁠. P3　 【解析】∵∠ BAC ＝∠ PED ，而 ＝ ， ∴ ＝ 时，△ ABC ∽△ EPD . ∵ DE ＝4，∴ EP ＝6. ∴点 P 落在 P3处. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 5. 【教材第78页习题B组第1题改编】(2023·沧州期末)如图，点 B ， C 分 别在△ ADE 的边 AD ， AE 上，且 AC ＝3， AB ＝2.5， EC ＝2， DB ＝ 3.5，求证：△ ABC ∽△ AED . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 证明：∵ AC ＝3， AB ＝2.5， EC ＝2， DB ＝3.5， ∴ AE ＝5， AD ＝6. ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∴ ＝ . ∵∠ A ＝∠ A ， ∴△ ABC ∽△ AED (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 6. 如图，在△ ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 上的点，且 BD ＝2 AD ， CE ＝2 AE . (1)求证：△ ADE ∽△ ABC ； (1)证明：∵ BD ＝2 AD ， CE ＝2 AE ， ∴ ＝ ＝ . 又∵∠ DAE ＝∠ BAC ，∴△ ADE ∽△ ABC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 (2)若 DF ＝2，求 FC 的长度. (2)解：∵△ ADE ∽△ ABC ， ∴∠ ADE ＝∠ ABC ， ＝ ＝ . ∴ DE ∥ BC ，∴△ DEF ∽△ CBF . ∴ ＝ ，即 ＝ ， FC ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 7. 如图，不等长的两对角线 AC ， BD 相交于点 O ，且将四边形 ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若 OA ∶ OC ＝ OB ∶ OD ＝1∶2，则关 于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是(　B　) A. 甲，丙相似，乙，丁相似 B. 甲，丙相似，乙，丁不相似 C. 甲，丙不相似，乙，丁相似 D. 甲，丙不相似，乙，丁不相似 第7题图 【解析】∵ OA ∶ OC ＝ OB ∶ OD ＝1∶2，对顶角相等，∴甲、丙相似. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 8. 如图，已知∠ ACB ＝∠ ADC ＝90°， AD ＝2， CD ＝ ，当 AB 的长 为 时，△ ACB 与△ ADC 相似. 第8题图 3或3 　 【解析】∵ AD ＝2， CD ＝ ，∴ AC ＝ . 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： ①当Rt△ ACB ∽Rt△ ADC 时，有 ＝ ，∴ AB ＝3； ②当Rt△ ACB ∽Rt△ CDA 时，有 ＝ ， ∴ AB ＝3 .即当 AB 的长为3或3 时，△ ACB 与△ ADC 相似. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 9. 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，点 F 在 CD 上，且 CF ＝ 3 FD . (1)求证：△ ABE ∽△ DEF ； (1)证明：∵正方形 ABCD ，∴∠ A ＝∠ D ＝90°， AB ＝ CD . ∵ CF ＝3 FD ，∴ FD ＝ CD . ∵ E 是 AD 的中点，∴ AE ＝ ED ＝ AD . ∴ ＝ ＝ . ∵∠ A ＝∠ D ＝90°，∴△ ABE ∽△ DEF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 (2)△ ABE 与△ BEF 相似吗？为什么？ (2)解：△ ABE 与△ BEF 相似， 理由：设 AB ＝ AD ＝ CD ＝4 a ， ∵ E 为 AD 的中点， CF ＝3 FD ， ∴ AE ＝ DE ＝2 a ， DF ＝ a . ∴ BE ＝ ＝2 a ， EF ＝ ＝ a ， BF ＝ ＝5 a .∴ BF2＝ EF2＋ BE2，即∠ BEF ＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 ∴∠ A ＝∠ BEF ＝90°. ∵ ＝ ＝2， ＝ ＝2， ∴ ＝ .∴△ ABE ∽△ EBF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 10. (2023·邢台第七中学期末改编)如图所示，∠ C ＝90°， BC ＝8 cm， AC ＝6 cm，点 P 从点 B 出发，沿 BC 向点 C 以2 cm/s的速度移动，点 Q 从点 C 出发沿 CA 向点 A 以1 cm/s的速度移动，如 果 P ， Q 分别从 B ， C 同时出发，经过多少秒时，以 C ， P ， Q 为顶点 的三角形恰与△ ABC 相似？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 解：∵∠ C ＝90°， BC ＝8 cm， AC ＝6 cm， ∴ AB ＝ ＝10(cm). 设经过 t 秒时，以 C ， P ， Q 为顶点的三角形恰与△ ABC 相似，则 BP ＝2 t cm， CP ＝ BC － BP ＝(8－2 t )cm， CQ ＝ t cm， ∵∠ C 是公共角， ①当 ＝ ，即 ＝ 时， △ CPQ ∽△ CBA ，解得 t ＝2.4； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 ②当 ＝ ，即 ＝ 时， △ CPQ ∽△ CAB ， 解得 t ＝ . ∴经过2.4秒或 秒时，以 C ， P ， Q 为顶点的三角形恰与△ ABC 相似. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2课时　用边角关系判定三角形相似 素养达标 能力突破 基础通关 $$