24.3 一元二次方程根与系数的关系 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十四章　一元二次方程 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 一元二次方程根与系数的关系 1. (2023·天津中考)若 x1， x2是方程 x2－6 x －7＝0的两个根，则(　A　) A. x1＋ x2＝6 B. x1＋ x2＝－6 C. x1 x2＝ D. x1 x2＝7 【解析】∵ x1， x2是方程 x2－6 x －7＝0的两个根， ∴ x1＋ x2＝6， x1 x2＝－7. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 2. 方程 x2＋ x ＝5 x ＋6的两个实数根的和与积分别是(　C　) A. －5，6 B. －4，6 C. 4，－6 D. －1，6 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 3. (2023·保定高碑店市月考)若关于 x 的一元二次方程 x2＋ mx －3＝0有 一个解为1，则该方程的另一个解为(　D　) A. 0 B. 2 C. 3 D. －3 【解析】设该方程的另一个解为 t . 根据根与系数的关系，得1× t ＝－3， 解得 t ＝－3， 即该方程的另一个解为－3. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 4. 下列一元二次方程中，两根之和为2的是(　D　) A. x2－2 x ＋3＝0 B. － x2－2 x ＋1＝0 C. x2－ x －1＝0 D. 2 x2－4 x －1＝0 【解析】A. 方程 x2－2 x ＋3＝0没有实数根，A选项不符合题意； B. 方程－ x2－2 x ＋1＝0的两根之和为－2，B选项不符合题意； C. 方程 x2－ x －1＝0的两根之和为1，C选项不符合题意； D. 方程2 x2－4 x －1＝0的两根之和为2，D选项符合题意. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 5. 若矩形的长和宽是方程 x2－6 x ＋ m ＝0(0＜ m ≤9)的两根，则矩形的 周长为 ⁠. 【解析】设矩形的长和宽分别为 a ， b . 根据题意，得 a ＋ b ＝6， 所以矩形的周长＝2( a ＋ b )＝12. 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 用根与系数的关系求含两根的代数式的值 6. (2023·张家口宣化区期中)若α，β是方程 x2＋2 x －2 024＝0的两个实数 根，则α2＋3α＋β的值为(　B　) A. 2 015 B. 2 022 C. －2 015 D. 4 010 【解析】∵α，β是方程 x2＋2 x －2 024＝0的两个实数根， ∴α＋β＝－2，α2＋2α＝2 024. ∴原式＝α2＋2α＋α＋β＝2 024＋(－2)＝2 022. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 7. 设 x1， x2是方程 x2＋4 x －5＝0的两个根，则 ＋ ＝ 　 　. 【解析】∵ x1， x2是方程 x2＋4 x －5＝0的两根， ∴ x1＋ x2＝－4， x1 x2＝－5. ∴ ＋ ＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 用根与系数的关系求方程中待定字母的值 8. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2 mx ＋ m2－ m ＋2＝0的两个实数根 x1， x2满足 x1＋ x2＋ x1 x2＝2，则实数 m 的值为 ⁠. 【解析】根据题意，得Δ＝4 m2－4( m2－ m ＋2)≥0， 解得 m ≥2. 根据根与系数的关系，得 x1＋ x2＝－2 m ， x1 x2＝ m2－ m ＋2， ∵ x1＋ x2＋ x1 x2＝2， ∴－2 m ＋ m2－ m ＋2＝2. 整理，得 m2－3 m ＝0. 解得 m1＝0， m2＝3.∵ m ≥2，∴ m 的值为3. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 9. 关于 x 的方程 x2＋6 x ＋ m ＝0的两实数根都是负数，请写出一个满足 要求的实数 m ＝ ⁠. 10. 关于 x 的一元二次方程( m －2) x2＋3 x ＋ m2＋2 m －8＝0有一个根为 0，则 m 的值为 ，另一个根为 ⁠. 5(答案不唯一)　 －4　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】把 x ＝0代入方程( m －2) x2＋3 x ＋ m2＋2 m －8＝0， 整理，得 m2＋2 m －8＝0，解得 m ＝－4或 m ＝2. ∵方程( m －2) x2＋3 x ＋ m2＋2 m －8＝0是一元二次方程， ∴ m －2≠0.∴ m ≠2，即 m ＝－4. 设方程的另一个根为 a ， 由根与系数的关系，得 a ＋0＝－ ＝－ ， 解得 a ＝ ，即方程的另一个根为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 11. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2 m －1) x －3 m2＋ m ＝0. (1)求证：无论 m 为何值，方程总有实数根； 解：(1)∵Δ＝[－(2 m －1)]2－4×1×(－3 m2＋ m )＝4 m2－4 m ＋1＋12 m2 －4 m ＝16 m2－8 m ＋1＝(4 m －1)2≥0， ∴方程总有实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 (2)若 x1， x2是方程的两个实数根，且 ＋ ＝－ ，求 m 的值. 解：(2)由题意知， x1＋ x2＝2 m －1， x1 x2＝－3 m2＋ m . ∵ ＋ ＝ ＝ ＝ －2＝－ ， ∴ －2＝－ ，整理得5 m2－7 m ＋2＝0， 解得 m ＝1或 m ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 12. 若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为 x2－12 x ＋ m ＝0的两 根，则 m 的值为(　B　) A. 32 B. 36 C. 32或36 D. 不存在 【解析】利用一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋ x2＝12， x1 x2＝m . 若 x1＝4，则 x2＝8，不成立(根据三角形两边之和大于第三边)， ∴ x1＝ x2＝6. 则 m ＝36. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 13. 若一个一元二次方程的两根分别是方程 x2－5 x －6＝0两根的相反 数，则这个一元二次方程为(　C　) A. x2－5 x ＋6＝0 B. x2＋5 x ＋6＝0 C. x2＋5 x －6＝0 D. x2＋6 x －5＝0 C 【解析】设方程 x2－5 x －6＝0的两根分别为 a 和 b . 根据题意，得 a ＋ b ＝5， ab ＝－6， ∵(－ a )＋(－ b )＝－( a ＋ b )＝－5， (－ a )(－ b )＝ ab ＝－6，∴所求的方程为 x2＋5 x －6＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 14. 在解方程 x2＋ bx ＋ c ＝0时，小马看错了一次项系数 b ，得到的解为 x1＝2， x2＝－3；小虎看错了常数项 c ，得到的解为 x1＝－1， x2＝4， 则正确的方程是(　A　) A. x2－3 x －6＝0 B. x2－3 x －4＝0 C. x2＋ x －6＝0 D. x2＋3 x －6＝0 【解析】由题意，得 c ＝2×(－3)＝－6，－ b ＝－1＋4＝3， ∴ b ＝－3， c ＝－6.∴方程为 x2－3 x －6＝0. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 15. 若方程4 x2＋( a2－3 a －10) x ＋4 a ＝0的两个根互为相反数，则 a 的 值是(　C　) A. 5或－2 B. 5 C. －2 D. 非以上答案 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】设方程的两根为 x1， x2， 则 x1＋ x2＝－ ＝0， x1· x2＝ ＝ a . ∴ a2－3 a －10＝0， ( a －5)( a ＋2)＝0， 解得 a1＝5， a2＝－2. ∵方程的两根互为相反数，∴ x1 x2＜0， 即 a ＜0，∴ a ＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 16. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于 x 的一元二次方程 x2－10 x ＋ m ＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(　C　) A. B. 2 C. D. 2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】设菱形的两条对角线长分别为 a ， b . ∵菱形的面积＝两条对角线乘积的一半，∴ ab ＝11，即 ab ＝22. ∴由题意，得 ∴菱形的边长＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 17. 已知关于 x 的一元二次方程( a ＋ c ) x2＋2 bx ＋( a － c )＝0，其中 a ， b ， c 分别为△ ABC 三边的长. ①如果 x ＝－1是方程的根，则△ ABC 是等腰三角形； ②如果方程有两个相等的实数根，则△ ABC 是直角三角形； ③如果△ ABC 是等边三角形，则这个一元二次方程的根为－1和2. 其中正确的是 （填序号） ⁠（）. ①②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】把 x ＝－1代入( a ＋ c ) x2＋2 bx ＋( a － c )＝0，得 a ＋ c －2 b ＋ a － c ＝0，∴ a ＝ b . ∴△ ABC 是等腰三角形，所以①正确. 当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0，即4 b2－4( a ＋ c )( a － c )＝0， ∴ b2＋ c2＝ a2. ∴△ ABC 是直角三角形，所以②正确. 当△ ABC 是等边三角形时， a ＝ b ＝ c ， 此时方程化为2 ax2＋2 ax ＝0，解得 x1＝0， x2＝－1，所以③错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 18. 关于 x 的一元二次方程( m －1) x2－2 mx ＋ m ＋1＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根. (1)证明：∵ b2－4 ac ＝(－2 m )2－4( m －1)·( m ＋1)＝4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 (2)当 m 为何整数时，此方程的两个根都是正整数？ (2)解：( m －1) x2－2 mx ＋ m ＋1＝0， [( m －1) x －( m ＋1)]( x －1)＝0， x1＝ ， x2＝1. ∵此方程的两个根都是正整数，∴ ＞0，且 ≠1， x1＝ ＝1＋ ， m －1＝1或 m －1＝2.∴ m ＝2或 m ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 (3)若△ ABC 的两边 AB ， AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为5，当△ ABC 是等腰三角形时，求 m 的值. (3)解：∵一元二次方程( m －1) x2－2 mx ＋ m ＋1＝0的解为 x1＝ ， x2＝1， 又∵△ ABC 是等腰三角形，第三边 BC 的长为5， ∴ ＝5，解得 m ＝1.5， 经检验， m ＝1.5是原方程的解，故 m 的值是1.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 19. 如果关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有两个实数 根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方 程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号). ①方程 x2－ x －2＝0是倍根方程； ②若( x －2)( mx ＋ n )＝0是倍根方程，则4 m2＋5 mn ＋ n2＝0； ③若 p ， q 满足 pq ＝2，则关于 x 的方程 px2＋3 x ＋ q ＝0是倍根方程； ④若方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0是倍根方程，则必有2 b2＝9 ac . ②③④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】①解方程 x2－ x －2＝0得， x1＝2， x2＝－1，得 x1≠2 x2， ∴方程 x2－ x －2＝0不是倍根方程.故①不正确. ②若( x －2)( mx ＋ n )＝0是倍根方程， x1＝2， 因此 x2＝1或 x2＝4. 当 x2＝1时， m ＋ n ＝0； 当 x2＝4时，4 m ＋ n ＝0. ∴4 m2＋5 mn ＋ n2＝( m ＋ n )(4 m ＋ n )＝0.故②正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 ③∵ pq ＝2，则 px2＋3 x ＋ q ＝ px2＋( pq ＋1) x ＋ q ＝( px ＋1)( x ＋ q )＝0， ∴ x1＝－ ， x2＝－ q . ∵ pq ＝2，∴ q ＝ . ∴ x2＝－ q ＝－ ＝2 x1. 因此 px2＋3 x ＋ q ＝0是倍根方程，故③正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 ④方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的根为 x1＝ ， x2＝ ， 若 x1＝2 x2，则 ＝ ×2， 即 － ×2＝0， ∴ ＝0. ∴ b ＋3 ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 ∴3 ＝－ b . ∴9( b2－4 ac )＝ b2.∴2 b2＝9 ac ； 若2 x1＝ x2时，则 ×2＝ ，　 则 ×2－ ＝0， ∴ ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 ∴－ b ＋3 ＝0. ∴ b ＝3 . ∴ b2＝9( b2－4 ac ). ∴2 b2＝9 ac .故④正确. 故答案为②③④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 素养达标 能力突破 基础通关 $$