24.2.2 公式法 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十四章　一元二次方程 24.2 解一元二次方程 第2课时　公式法 一元二次方程根的判别式 1. 用公式法解一元二次方程3 x2－2 x －1＝0时，计算 b2－4 ac 的结果为 (　D　) A. 8 B. －8 C. 14 D. 16 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 2. 如果一元二次方程 x2＋ px ＋ q ＝0能用公式法求解，那么必须满足的 条件是(　A　) A. p2－4 q ≥0 B. p2－4 q ≤0 C. p2－4 q ＞0 D. p2－4 q ＜0 【解析】∵ a ＝1， b ＝ p ， c ＝ q ， ∴当 b2－4 ac ＝ p2－4 q ≥0时，一元二次方程 x2＋ px ＋ q ＝0能用公式法 求解. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 3. 下列一元二次方程有实数解的是(　D　) A. x2＋2＝0 B. 2 x2－ x ＋1＝0 C. x2－2 x ＋2＝0 D. x2＋3 x －2＝0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 4. 关于 x 的一元二次方程 x2＋ mx －8＝0的根的情况是(　A　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无法确定 D. 没有实数根 A 【解析】在关于 x 的一元二次方程 x2＋ mx －8＝0中， a ＝1， b ＝ m ， c ＝－8. ∴ Δ＝ b2－4 ac ＝ m2－4×1×(－8)＝ m2＋32＞0. ∴原方程有两个不相等的实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 5. 已知关于 x 的方程2 x2－ mx ＋1＝0的判别式 b2－4 ac ＝16，则 m 的值 为 ⁠. ±2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 用公式法解一元二次方程 6. 用公式法解一个一元二次方程的根为 x ＝ ，则此方程的 二次项系数，一次项系数，常数项分别为(　A　) A. 3，5，－1 B. －3，－5，1 C. 3，－5，1 D. －3，5，－1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵用公式法解一个一元二次方程的根为 x ＝ ， 根据一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)的求根公式 x ＝ ， 可得 a ＝3， b ＝5， c ＝－1， ∴此方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为3，5，－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 7. (2023·邢台襄都区月考)下列方程中，以 x ＝ 为根的是 (　B　) A. x2－5 x － c ＝0 B. x2＋5 x － c ＝0 C. x2－5 x ＋2 c ＝0 D. x2＋5 x ＋ c ＝0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】A. 此方程的根为 x ＝ ，不符合题意； B. 此方程的根为 x ＝ ，符合题意； C. 此方程的根为 x ＝ ，不符合题意； D. 此方程的根为 x ＝ ，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 8. 【教材第42页习题A组第2题改编】已知代数式7 x ( x ＋5)＋10与代数 式9 x －9的值互为相反数，则 x ＝ ⁠. 【解析】∵7 x ( x ＋5)＋10与代数式9 x －9的值互为相反数， ∴7 x ( x ＋5)＋10＋9 x －9＝0.整理，得7 x2＋44 x ＋1＝0. ∵ b2－4 ac ＝442－4×7×1＝1 908. ∴ x ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 9. 小明在解方程 x2－5 x ＝－3的过程中出现了错误，其解答如下： 解：∵ a ＝1， b ＝－5， c ＝－3，(第一步) ∴ b2－4 ac ＝(－5)2－4×1×(－3)＝37.(第二步) ∴ x ＝ .(第三步) ∴ x1＝ ， x2＝ .(第四步) (1)小明的解答是从第 步开始出错的； 一　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 (2)请写出本题正确的解答过程. 解：方程化为一般式为 x2－5 x ＋3＝0， 其中 a ＝1， b ＝－5， c ＝3， ∴ b2－4 ac ＝(－5)2－4×1×3＝13＞0. ∴ x ＝ ＝ . ∴ x1＝ ， x2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 10. 用公式法解下列方程： (1)(2023·无锡中考节选)2 x2＋ x －2＝0； 解：(1)∵ a ＝2， b ＝1， c ＝－2， ∴ b2－4 ac ＝12－4×2×(－2)＝17. ∴ x ＝ ＝ . ∴ x1＝ ， x2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 (2) x2－4 x ＋10＝0； 解：(2)∵ b2－4 ac ＝(－4 )2－4×1×10＝8， ∴ x ＝ ＝2 ± ， ∴ x1＝2 ＋ ， x2＝2 － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 (3)5 x2－3 x ＝ x ＋1. 解：(3)方程整理为一般式为5 x2－4 x －1＝0， ∵ b2－4 ac ＝16－4×5×(－1)＝36. ∴ x ＝ ＝ .∴ x1＝1， x2＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 11. 关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋1＝0. (1)当 b ＝ a ＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况； 解：(1)由 a ≠0，得 b2－4 ac ＝( a ＋2)2－4 a ×1＝ a2＋4≥4， ∴方程有两个不相等的实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a ， b 的值，并求 此时方程的根. 解：(2)(答案不唯一)∵方程有两个相等的实数根， ∴ b2－4 ac ＝ b2－4 a ＝0. 可取 b ＝4， a ＝4，则原方程可变为4 x2＋4 x ＋1＝0， 解得 x1＝ x2＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 12. 关于 x 的一元二次方程 mx2－2( m －1) x ＋ m －1＝0有两正实根，那 么 m 的取值范围是(　C　) A. m ≥1 B. m ≤1且 m ≠0 C. m ＜0 D. m ＜1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 mx2－2( m －1) x ＋ m －1＝0有两个正 实数根， ∴ 解得 m ＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 13. 若关于 x 的一元二次方程( m －1) x2＋2 x －2＝0没有实数根，则实数 m 的取值范围是(　A　) A. m ＜ B. m ＞ C. m ＞ 或 m ≠1 D. m ≠1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵方程( m －1) x2＋2 x －2＝0是关于 x 的一元二次方程， ∴ m －1≠0，解得 m ≠1. 又∵方程没有实数根， ∴此方程根的判别式Δ＝4＋8( m －1)＜0， 解得 m ＜ . 综上，实数 m 的取值范围是 m ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 14. (2023·邢台南宫市期中)嘉琪在解一元二次方程● x2－4 x ＋2＝0时，不小心把二次项系数沾上了墨水，若这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则被沾上了墨水的二次项系数可能是(　B　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】∵一元二次方程 x2－4 x ＋2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－4)2－4×●×2＞0，且●≠0， 解得●＜2且●≠0. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 15. 直线 y ＝ x ＋ a 不经过第二象限，则关于 x 的一元二次方程 ax2＋2 x ＋1＝0的实数解的个数是 ⁠. 【解析】∵直线 y ＝ x ＋ a 不经过第二象限，∴ a ≤0. ∵ ax2＋2 x ＋1＝0是一元二次方程，∴ a ≠0. ∴ a ＜0. ∴ b2－4 ac ＝22－4 a ＞0. ∴方程有两个不相等的实数根. 2个　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 16. 已知关于 x 的方程 mx2－( m ＋2) x ＋2＝0( m ≠0). (1)求证：方程总有两个实数根； 解：(1) b2－4 ac ＝( m ＋2)2－4× m ×2＝ m2－4 m ＋4＝( m －2)2≥0， ∴方程总有两个实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值. 解：(2) x ＝ ， ∴ x1＝1， x2＝ . ∵方程的两个实数根都是整数， ∴正整数 m 的值为1或2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 17. 定义：如果关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)满足 a ＋ b ＋ c ＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. (1)写出一个“凤凰”方程是 ⁠； 【解析】由题可知，要写出一个一元二次方程，并且满足 a ＋ b ＋ c ＝ 0，即为2 x2＋ x －3＝0.(答案不唯一) 2 x2＋ x －3＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 (2)“凤凰”方程必定有一个根是 ⁠； 【解析】关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)，且满足 a ＋ b ＋ c ＝0，当 x ＝1时，有 a ＋ b ＋ c ＝0.故“凤凰”方程必定有一个根是 x ＝1. x ＝1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 (3)已知方程 x2＋ mx ＋ n ＝0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根， 求 mn 的值. 解：(3)∵ x2＋ mx ＋ n ＝0是“凤凰”方程； ∴1＋ m ＋ n ＝0，即 n ＝－ m －1； ∵方程 x2＋ mx ＋ n ＝0有两个相等的实数根； ∴Δ＝ m2－4 n ＝0.将 n ＝－ m －1代入，得 m2－4(－ m －1)＝0， 解得 m ＝－2，∴ n ＝1. ∴ mn ＝(－2)×1＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 18. 已知 y1和 y2均是以 x 为自变量的函数，当 x ＝ m 时，函数值分别是 M1和 M2，若存在实数 m ，使得 M1＋ M2＝0，则称函 数 y1和 y2是“和谐函数”.以下函数 y1和 y2是“和谐函数”的是(　D　) A. y1＝4 x2＋ x 和 y2＝－ x ＋1 B. y1＝ x2＋2 x 和 y2＝－ x ＋1 C. y1＝－6 x2＋3 x 和 y2＝－ x －1 D. y1＝ x2＋2 x 和 y2＝－ x －1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】A. 令 y1＋ y2＝0，则4 x2＋1＝0. 此方程无解， ∴函数 y1和 y2不是“和谐函数”，故A不符合题意. B. 令 y1＋ y2＝0，则 x2＋2 x － x ＋1＝0， 此方程无解. ∴函数 y1和 y2不是“和谐函数”，故B不符合题意. C. 令 y1＋ y2＝0，则－6 x2＋2 x －1＝0，此方程无解， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 ∴函数 y1和 y2不是“和谐函数”，故C不符合题意. D. 令 y1＋ y2＝0，则 x2＋2 x － x －1＝0， 整理得 x2＋ x －1＝0， 解得 x1＝ ， x2＝ ， ∴函数 y1和 y2是“和谐函数”，故D符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第2课时　公式法 素养达标 能力突破 基础通关 $$