24.1 一元二次方程 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十四章　一元二次方程 24.1 一元二次方程 一元二次方程的概念 1. (2023·石家庄桥西区期中)下列方程中，是一元二次方程的是(　B　) A. 4( x ＋2)＝25 B. 2 x2＋3 x －1＝0 C. x ＋ y ＝0 D. ＝4 2. 当 m 时，关于 x 的方程( m －2) x2＋ x －2＝0是一元二次方程. 【解析】由一元二次方程的概念，易知 m －2≠0，解得 m ≠2. B ≠2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 3. 关于 x 的方程 x｜ k－1｜＋5 x －3＝0是一元二次方程，则 k 的值为 ⁠ ⁠. 【解析】由一元二次方程的概念，易知｜ k －1｜＝2，解得 k ＝－1或3. －1 或3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 一元二次方程的一般形式 4. 一元二次方程4 x2＋1＝6 x 的二次项系数，一次项系数，常数项分别 是(　C　) A. 4，1，6 B. 4，6，1 C. 4，－6，1 D. 4，－6，－1 【解析】4 x2＋1＝6 x 化为一般形式为4 x2－6 x ＋1＝0. ∴一元二次方程4 x2＋1＝6 x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别 是4，－6，1. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 5. (2023·唐山古冶区期中)一元二次方程( x ＋3)( x －1)＝2 x －4化为一般 形式是(　D　) A. x2－1＝0 B. x2－7＝0 C. x2＋4 x ＋1＝0 D. x2＋1＝0 【解析】( x ＋3)( x －1)＝2 x －4. 去括号，得 x2＋2 x －3＝2 x －4. 移项，得 x2＋2 x －2 x －3＋4＝0， 合并同类项，得 x2＋1＝0. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 6. 一个关于 x 的一元二次方程，它的二次项系数为3，一次项系数为2， 常数项为－3，则这个一元二次方程是 ⁠. 7. 若一元二次方程2 x2－( m ＋1) x ＋1＝ x ( x －1)的一次项系数为－2， 则 m 的值为 ⁠. 【解析】2 x2－( m ＋1) x ＋1＝ x ( x －1). 化为一般形式为 x2－ mx ＋1＝0. ∵一次项系数为－2，∴－ m ＝－2，解得 m ＝2. 3 x2＋2 x －3＝0　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 一元二次方程的根 8. 若关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＋ m ＝0有一个根为1，则 m 的值为 (　B　) A. －1 B. 1 C. －3 D. 3 【解析】把 x ＝1代入方程 x2－2 x ＋ m ＝0，得1－2＋ m ＝0，解得 m ＝1. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 9. 已知关于 x 的一元二次方程( a －1) x2－2 x ＋｜ a ｜－1＝0有一 个根为 x ＝0，则 a ＝ ⁠. 【解析】将 x ＝0代入( a －1) x2－2 x ＋｜ a ｜－1＝0，得｜ a ｜－1＝0， 解得 a ＝±1. ∵一元二次方程 a －1≠0，∴ a ≠1.∴ a ＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 　　注意题干隐含条件，“一元二次方程”隐含“ a －1≠0”，不能忘 记这个条件. 思路点拨 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 10. 若 a 是方程 x2＋2 x －1＝0的一个根，则2 a2＋4 a －2 024的值为 (　D　) A. 2 023 B. －2 023 C. 2 022 D. －2 022 【解析】∵ a 是方程 x2＋2 x －1＝0的一个根， ∴ a2＋2 a －1＝0.∴ a2＋2 a ＝1. ∴2 a2＋4 a －2 024＝2( a2＋2 a )－2 024＝2－2 024＝－2 022. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 列一元二次方程 11. 某中学有一块长30 m，宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出 四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度，设 花带的宽度为 x m，则可列方程为(　C　) C A. (30－ x )(20－ x )＝ ×20×30 B. 30 x ＋2×20 x ＝ ×20×30 C. (30－2 x )(20－ x )＝ ×20×30 D. (30－2 x )(20－ x )＝ ×20×30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 12. 某班共有 x 名同学，每名同学都分别给其他同学发了一条消息，这 样一共产生272条消息. (1)列出关于 x 的方程； 解：(1)由题意，得 x ( x －1)＝272. (2)将方程化为 ax2＋ bx ＋ c ＝0的形式，并指出 a ， b ， c 的值. 解：(2) x ( x －1)＝272. 整理，得 x2－ x －272＝0. 则 a ＝1， b ＝－1， c ＝－272. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 13. 【教材第36页习题B组第1题改编】关于 x 的方程( a －3) x｜ a－1｜＋2 x －3＝0是一元二次方程，则 a 的值为 ⁠. 【解析】∵关于 x 的方程( a －3) x｜ a－1｜＋2 x －3＝0是一元二次方程， ∴ a －3≠0且｜ a －1｜＝2，解得 a ＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 14. 若关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)的其中一根为 x ＝ 2 023，则关于 x 的方程 a ( x ＋2)2＋ bx ＋2 b ＋ c ＝0的根为 ⁠. 【解析】 a ( x ＋2)2＋ bx ＋2 b ＋ c ＝0整理，得 a ( x ＋2)2＋ b ( x ＋2)＋ c ＝0. ∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)的其中一根为 x ＝ 2 023， ∴关于 x 的方程 a ( x ＋2)2＋ b ( x ＋2)＋ c ＝0，其中一根为 x ＋2＝ 2 023，解得 x ＝2 021. x ＝2 021　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 15. 已知一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0). (1)如果方程有一个根是1，那么 a ， b ， c 之间有什么关系？ 解：(1)将 x ＝1代入原方程，得 a ×12＋ b ×1＋ c ＝0，即 a ＋ b ＋ c ＝0. (2)如果方程有一个根是－1，那么 a ， b ， c 之间有什么关系？ 解：(2)将 x ＝－1代入原方程，得 a ×(－1)2＋ b ×(－1)＋ c ＝0，即 a － b ＋ c ＝0. (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 解：(3)将 x ＝0代入原方程，得 a ×0＋ b ×0＋ c ＝0，∴ c ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 思路点拨 　　此题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.解此题的关键 是要掌握一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)中几个特殊值的特殊形 式：当 x ＝1时， a ＋ b ＋ c ＝0；当 x ＝－1时， a － b ＋ c ＝0；当 x ＝0 时， c ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 16. 根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化为一元二次方程的一 般形式. (1)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14 cm，面积为24 cm2， 求它的两条直角边的长； 解：(1)设其中一条直角边的长为 x cm， 则另一条直角边的长为(14－ x )cm， 根据题意，得 x (14－ x )＝24，整理，得 x2－14 x ＋48＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 (2)有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字 小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数. 解：(2)设十位数字为 x ，则个位数字为 x ＋3，百位数字为 x ＋2， 根据题意，得9[( x ＋3)2＋ x2＋( x ＋2)2]－[100( x ＋2)＋10 x ＋( x ＋3)]＝ －20， 整理得27 x2－21 x ＋66＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 17. 一元二次方程 a ( x2＋1)＋ b ( x ＋2)＋ c ＝0化为一般式后为6 x2＋10 x －1＝0，求以 a ， b 为两条对角线长的菱形的面积. 解：∵ a ( x2＋1)＋ b ( x ＋2)＋ c ＝0， ∴ ax2＋ bx ＋ a ＋2 b ＋ c ＝0. ∵一元二次方程 a ( x2＋1)＋ b ( x ＋2)＋ c ＝0化为一般式后为 6 x2＋10 x －1＝0， ∴ a ＝6， b ＝10.∴ S菱形＝ ×6×10＝30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 18. 定义：如果关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0) 满足 b ＝ a ＋ c ，那么我们称这个方程为“完美方程”. (1)下面方程是“完美方程”的是 .(填序号) ① x2－4 x ＋3＝0；②2 x2＋ x ＋3＝0；③2 x2－ x －3＝0. 【解析】① x2－4 x ＋3＝0. ∵ a ＝1， b ＝－4， c ＝3， ∴ a ＋ c ＝4≠ b ，则方程 x2－4 x ＋3＝0不是“完美方程”. ③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 ②2 x2＋ x ＋3＝0. ∵ a ＝2， b ＝1， c ＝3， ∴ a ＋ c ＝5≠ b ，则方程2 x2＋ x ＋3＝0不是“完美方程”. ③2 x2－ x －3＝0. ∵ a ＝2， b ＝－1， c ＝－3， ∴ a ＋ c ＝ b ，则方程2 x2－ x －3＝0是“完美方程”. 故答案为③. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 (2)已知3 x2＋ mx ＋ n ＝0和 mx2＋5 x ＋ n ＝0都是关于 x 的“完美方 程”，则 m ＝ ， n ＝ ⁠. 【解析】∵3 x2＋ mx ＋ n ＝0和 mx2＋5 x ＋ n ＝0都是关于 x 的“完美方 程”， ∴解得 4　 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 19. 在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做 匀变速直线运动，在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和 末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积，若一个小球以 5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动. (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ 解：(1)小球的滚动速度平均每秒减少5÷4＝1.25(米/秒). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 (2)如果设小球滚动5米用了 x 秒，请根据题意列出方程. 解：(2)小球滚动5米用了 x 秒，此时小球的速度是(5－1.25 x )米/秒， 由题意得 x · ＝5， 整理得 x2－8 x ＋8＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24.1 一元二次方程 素养达标 能力突破 基础通关 $$