第三节 正交分解与三角函数-2024年新高一上学期物理专项训练

第三节 正交分解与三角函数 需要掌握的内容 1.熟练三角函数基本关系 sinα= cosα= tanα= c在水平方向的投影是b，c在竖直方向的投影是a。 2.正交分解的步骤 首先建立直角坐标系，其次把每个力按照三角函数分解到x轴y轴上，最后根据力的平衡让x方向合力为零，y方向为零列出关系求解。 3.需要熟练常规的正交分解结论 重力沿斜面向下的分力F1=mgsinα，重力垂直于斜面的分力F2=mgcosα 左上的拉力F1=，水平向右的拉力F2=mgtanα 4. 应用正交分解判断受力个数 （1） 会使用假设法 （2） 通过相互作用力的思想以及正交分解分析出分力的反作用力，通过平衡条件判断受力个数 经典习题 单选题1．如图所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M的物体，∠ACB=30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住；EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量也为M的物体，则有（　　） A．细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比为1∶1 B．细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比为2∶1 C．轻杆BC对C端的支持力与轻杆HG对G端的支持力之比为1∶ D．轻杆BC对C端的支持力与轻杆HG对G端的支持力之比为1∶1 2．单兵飞行器使得人类像鸟儿一样自由飞行的梦想成为现实。某士兵驾驶单兵飞行器（由燃油背包和脚下的喷射器组成）在无风的晴朗天气里沿水平方向匀速飞行的场景如图所示，喷射器引擎沿士兵身体所在直线的方向斜向后喷气，士兵身体与水平面的夹角为。若士兵与飞行器的总重为G，受到的空气阻力大小（其中k为常量，v是飞行速度的大小），不计喷气过程燃油的减少，则士兵受到的空气阻力大小为 ；士兵飞行的速度大小为 。 3．如图所示，质量为m＝0.6kg的物块通过一段细绳悬挂在轻绳PA和PB的结点P上并处于静止状态，PA与竖直方向的夹角为α＝53°，PB沿水平方向。质量为M＝25kg的木块与PB相连，恰好静止在倾角为θ＝37°的斜面上，已知重力加速度取g＝10m/s2，物块与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求： （1）轻绳PA和轻绳PB各自产生张力的大小； （2）木块M跟斜面之间的动摩擦因数。（该结果保留两位有效数字） 单选题4．如图所示，半径为的半圆形光滑轨道固定在竖直平面内，为圆心，为轨道最高点。中间有孔、质量为的小球穿过圆弧轨道，轻弹簧一端固定在点，另一端与小球相连，小球在点保持静止，与夹角为。已知重力加速度为，弹簧的劲度系数为，则（　　） A．小球可能只受到两个力的作用 B．小球一定未发生形变 C．轨道对小球的弹力大小为 D．轻弹簧的原长为 5．如图所示，整个装置处于静止状态，光滑滑轮D固定在斜面体C上，连接物块A的轻绳OD段水平、DA段与斜面平行，已知物块A的质量，物块B的质量，轻绳OE与竖直方向的夹角以及斜面的倾角均为，取重力加速度，，。求： （1）绳OE、OD中的拉力大小； （2）斜面C对物块A的摩擦力大小和方向； （3）地面对C的摩擦力大小。 单选题6．如图，轻细线和、把质量为的重物如图悬挂。平衡时是水平的，与水平面的夹角为。的拉力为，的拉力为。以下说法正确的是（　　） A． B． C．如果三根细线的材料相同，则逐渐增加物重先断 D．逐渐增加夹角（仍小于90°），细线的拉力增大 7．学校艺术节需要在操场上布置舞台、灯光、音响，图为一种射灯悬挂方案的简化图。同一竖直平面的装置、、共同悬挂射灯，其中两根轻绳、连接到竖直墙上。是一种建筑安装器材---总长度不变但拉力可调式弹簧，点为固定悬点。水平，、与水平方向的夹角均为，射灯质量为。为使射灯位置始终稳定在点且两根轻绳、处于伸直状态，求可调式弹簧拉力的大小范围（计算结果保留三位有效数字）。    8．如图所示，质量M=2kg的木块套在水平杆上，并用轻绳与质量m=kg的小球相连。今用跟水平方向成角的力F=10N拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，g取10m/s2.求： （1）运动过程中轻绳与水平方向夹角； （2）木块与水平杆间的动摩擦因数。 9．如图所示，质量均为1kg的物块A、B静止在水平面上，A、B由劲度系数为3N/cm的轻弹簧相连，物块A套在竖直杆上，在竖直向上的力F作用下沿杆缓慢上移，已知物块A、B处于水平面时距离为16cm，弹簧原长为18cm，物块B与地面间动摩擦因数为0.75，物块A与杆间动摩擦因数为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（，，，） （1）当A在地面时，B所受的摩擦力为多少？ （2）当A上升到c点时，弹簧的弹力恰为使物块B运动的最小值，已知c点的高度，B运动之前，力F随上升高度h的变化如图所示，求出坐标a、b和Fc的数值。 10．如图，斜面体放在粗糙的水平地面上，轻绳绕过两光滑的轻小定滑轮，左端与粗糙斜面上的物块P相连，右端与小球相连，轻绳与斜面垂直。现将小球从A处由静止释放，小球在AB间摆动过程中，斜面体和物块P始终保持静止不动，则小球从的运动过程中，先增大后减小的力是（　　） A．斜面对物块的支持力 B．斜面对物块的静摩擦力 C．地面对斜面体的支持力 D．地面对斜面体的静摩擦力 单选题11．如图所示，A、B两球完全相同，质量为m，用两根等长的细线悬挂在O点，两球之间夹着一根劲度系数为k的轻弹簧，静止不动时，弹簧位于水平方向，两根细线之间的夹角为θ。则弹簧的长度被压缩了（　　） A． B． C． D． 12．如图（下左）用绳AC和BC吊起一个重50N的物体,两绳与竖直方向的夹角分别为30°和45°,求绳AC和BC对物体的拉力. 13．如图所示，雪橇与小孩的总质量为46kg，大人用与水平方向成37°斜向上的拉力拉雪橇，雪橇做匀速直线运动，雪橇与地面间的动摩擦因数为0.2，求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2） （1）雪橇对地面的压力大小； （2）大人对雪橇的拉力的大小。 14．课间时，同学们在教室内玩耍，某同学用两只手分别撑住桌子（桌面等高）使自己悬空，并保持如图所示姿势静止，两手臂和桌面夹角均为θ=60°，若该同学质量为M=60kg，每张桌子的质量为m=15kg，桌脚与地面之间的动摩擦因数μ=0.8，桌面与地面均水平，桌子对手臂的作用力沿手臂方向。求： （1）左侧桌子对地面的压力大小； （2）左侧桌子对地面的摩擦力大小。 单选题15．如图所示，2022年春晚舞蹈诗剧《只此青绿》中演员的一个舞蹈动作被网友赞为“青绿腰”，这是一个后仰身体与地面接近平行、看起来难度极大的优美动作。下列关于此演员静态造型时的受力分析可能正确的是（　　） A． B． C．D． 多选题16．如图所示，一倾角为45°的斜面固定于墙角，为使一光滑的铁球静止于图示位置，需加一水平力F，且F通过球心．下列说法正确的是(　　) A．铁球一定受墙水平向左的弹力 B．铁球可能受墙水平向左的弹力 C．铁球一定受斜面通过铁球的重心的弹力 D．铁球可能受斜面垂直于斜面向上的弹力 多选题17．如图所示，两个相似的斜面体在竖直向上的力F的作用下静止靠在竖直粗糙墙壁上。关于斜面体A和B的受力情况，下列说法正确的是（　　） A．A一定受到四个力作用 B．A与B之间一定有摩擦力 C．B与墙壁之间一定有弹力和摩擦力 D．B可能受到四个力作用 单选题18．如图所示，一个半球形的碗固定在桌面上，碗口水平。O点为其球心，碗的内表面及碗口光滑。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球。当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与0点的连线跟水平方向的夹角为α=90°。质量为m2的小球位于水平地面上，设此时竖直的细线对m2的拉力大小为T，质量为m2的小球对地面压力大小为FN，则 A． B． C．FN=(m2-m1）g D．FN=m2g 单选题19．弹簧下挂一小球，拉力为T．现使小球靠着倾角为α的光滑斜面，并使弹簧仍保持竖直方向，则小球对斜面的正压力为（   ） A．Tcosα B．Ttanα C．0 D．Tcotα 单选题20．两相同的楔形木块A、B叠放后分别以图1、2两种方式在水平外力F1和竖直外力F2作用下，挨着竖直墙面保持静止状态，则在此两种方式中，木块B受力个数之比为（　　） A．4∶4 B．4∶3 C．5∶3 D．5∶4 答案 1．C 【详解】下图（a）和下图（b）中的物体都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力； 分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图（a）和图（b）所示 图（a）中，根据 FTAC=FTCD=Mg 且夹角为120° 故 FTNC=FTAC=Mg 方向与水平方向成30°，指向斜右上方； 图（b）中，根据平衡方程有 所以 方向水平向右； 故 轻杆BC对C端的支持力与轻杆HG对G端的支持力之比为； 故选C。 2． 【详解】[1][2]士兵与飞行器组成的系统受到重力、沿着士兵身体斜向上的喷气反冲力以及水平方向的空气阻力的作用，根据物体的平衡条件，空气阻力的大小 结合 解得士兵飞行的速度大小 3．（1）10N，8N；（2）0.80 【详解】（1）如图1所示，分析结点P的受力      根据平衡条件得 解得轻绳PA、PB的张力分别为 FA=10N，FB=8N （2）对斜面上的物体受力分析，如图2所示    根据平衡条件得 其中 联立代入数据解得 4．D 【详解】 A．根据平衡条件可知，小球一定受重力、弹簧的拉力和圆环的支持力三个力的作用，故A错误； B．小球对圆环有压力作用，可知小球一定发生形变，故B错误； C．对小球受力分析，如图所示 根据几何关系可知为正三角形，则 ， 故C错误； D．根据胡克定律 解得轻弹簧的原长为 故D正确。 故选D。 5．（1），；（2），沿斜面向上；（3） 【详解】（1）对物块B受力分析，根据平衡条件可得 （2）对物块A受力分析，根据平衡条件可得 解得 方向沿斜面向上。 （3）以物块A、C以及滑轮为整体，受力分析，水平方向有 6．C 【详解】AB．以点为对象，根据受力平衡可得 ， 解得 ， 故AB错误； C．如果三根细线的材料相同，由于拉力最大，则逐渐增加物重先断，故C正确； D．逐渐增加夹角（仍小于90°），根据 可知细线的拉力减小，故D错误。 故选C。 7． 【详解】要使两绳都能绷直，必须轻绳拉力，轻绳拉力，由平衡条件可知，当时，此时最小，则有 解得最小值为 当时，最大，则有 解得最大值为 所以的取值范围为 8．（1）30°；（2） 【详解】（1）（2）对滑块受力分析可知 对小球 联立解得 θ=30° 9．（1）6N；（2）0.08m，0.08246m，16N 【详解】（1）当A在地面时，根据平衡关系，B所受的摩擦力大小与弹簧弹力大小相等 （2）A缓慢上升，视为平衡状态，弹簧弹力先减小再增大，因为存在，此时弹簧处于原长初状态，坐标a点弹簧弹力斜向上，设弹簧弹力为T，弹簧与水平方向夹角为，则 得 得 当弹簧处于原长时，有 当A上升到c点时，此时弹簧长度为 弹簧弹力为 设此时弹簧与水平方向夹角为，对A受力分析得 又 联立得 10．D 【详解】AB．假设右滑轮到小球的距离为l，绳子与竖直方向的角度为，小球从的运动过程中，由牛顿第二定律可知 得 由动能定理可知v不断变大，且减小，所以T变大。则，T先增大后减小。 设物块的质量为m，斜面体的质量为M、倾角为θ，对物块受力分析可知斜面对物块的支持力为 斜面对物块的静摩擦力为 则先减小后增大，不变，故AB错误； CD．对斜面体和物块P整体受力分析可知地面对斜面体的支持力 地面对斜面体的静摩擦力 则先减小后增大，先增大后减小，故C错误，D正确。 故选D。 11．A 【详解】对球A受力分析，受重力mg、拉力 、弹簧的弹力F，如图 根据平衡条件，结合合成法，有 根据胡克定律，有 解得 故选A。 12． ； 【详解】对悬点C受力分析，因为C点平衡，所以有 ； 解得： ； 13．（1）400N；（2）100N 【详解】（1）（2）以雪橇和小孩为整体，竖直方向 水平方向 又，联立解得 ， 根据牛顿第三定律雪橇对地面的压力 14．（1）450N；（2） 【详解】（1）对人受力分析如图    由受力分析可知 解得 对左侧桌子受力分析    由受力分析可知 解得 由牛顿第三定律可知 （2）由对左侧桌子的受力分析可知 解得 由牛顿第三定律可知 15．A 【详解】演员受竖直向下的重力G，地面对两脚竖直向上的支持力N1和N2；水平方向受力为零，则地面对人的摩擦力不可能沿着同一方向，综上所述只有A可能正确，BCD错误。 故选A。 16．BC 【详解】CD．根据题意，利用假设法，如果把斜面挪走，无论水平力多大，小球都不能静止，则斜面一定对小球有弹力的作用，由弹力的方向可知，斜面对小球对弹力的方向一定垂直与接触面，即铁球一定受斜面通过铁球的重心的弹力，故D错误C正确； AB．根据题意，小球处于平衡状态，则可知小球所受各力的合力为零，对小球进行受力分析，小球受重力、推力、斜面对小球的支持力及可能存在的墙水平向左的弹力，如图所示 由几何关系，根据平衡条件有 可知，若，则，若，则，A错误，B正确。 故选BC。 17．AB 【详解】A． A受重力、弹力、摩擦力及推力作用，由平衡条件可知其一定受到四个力作用，所以A正确； B． A与B之间一定有摩擦力，对A分析，假设没有摩擦力，A不能平衡，所以A与B之间一定有摩擦力，则B正确； C．对A、B整体受力分析，只需受两个力就能平衡，假设B与墙壁之间有弹力，则需要一个向左的水平推力，所以B与墙壁之间没有弹力和摩擦力，则C错误； D． B只能受到三个力作用，重力、A对B的支持力、及摩擦力，所以D错误； 故选AB。 18．D 【详解】两小球受力分析如图： 先对小球m1受力分析，受重力和支持力，假设细线对小球m1有拉力作用，则小球m1受力不可能平衡，故拉力T为零； 再对小球m2受力分析，由于拉力T为零，受重力和支持力，支持力与重力平衡 FN= m2g 故D正确，ABC错误。 故选D。 19．C 【详解】因为弹簧处于竖直方向，所以小球受到竖直向上的拉力和重力，如果受到斜面的弹力，则小球的合力不为零，不能静止，所以斜面对小球的弹力为零． A．Tcosα，与结论不相符，选项A错误； B．Ttanα，与结论不相符，选项B错误； C．0，与结论相符，选项C正确； D．Tcotα，与结论不相符，选项D错误； 故选C. 20．C 【详解】图甲中，根据整体法可知，木块B除了受重力外，一定受到墙面水平向右的弹力（与水平推力平衡）和竖直向上的静摩擦力（与重力平衡），隔离B分析，其一定还受到A的弹力（垂直于接触面向左上方），隔离A分析，A受到重力、水平向左的推力、B对其垂直于接触面向右下的弹力，这样的三个力不可能使A平衡，所以A一定还要受到B对其沿接触面斜向右上的静摩擦力才能平衡，可知B一定受到A沿接触面斜向左下的静摩擦力，故B共受5个力的作用； 图乙中，据整体法可知B与墙面间既无弹力也无摩擦力，所以B受重力和A的弹力及摩擦力共3个力的作用。 则在此两种方式中，木块B受力个数之比为5∶3。 故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $$