14.3 实数-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

第1课时　实数的相关概念及分类 课时目标 1.通过对实际问题的探究,使学生认识到数的扩充的必要性. 2.通过经历从有理数扩充到实数的过程,了解无理数和实数,能正确地对实数进行分类,感悟数的扩充. 3.通过无理数和有理数的概念特征,能正确地识别无理数,提高辨析的能力. 学习重点 探索无理数的概念的过程、了解无理数和实数的概念. 学习难点 对无理数的认识. 课时活动设计 情境引入 如图1所示,在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC,然后剪下这个三角形,再沿斜边上的高CD剪开后,拼成如图2所示的正方形. (1)这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等?面积是多少? (2)如果设正方形的边长为x cm,那么x与这个正方形的面积有怎样的关系? 解:(1)相等.因为S△ABC=×2×2=2(cm2),所以S正方形=2 cm2. (2)根据题意,得x2=2.因为正方形的边长是整数,所以x是2的算术平方根,即x=. 问题:是一个什么样的数呢? 设计意图:通过实际问题的探究,前后知识得到了衔接,学生认识到数的扩充的必要性,为本节的学习作铺垫. 探究新知 1.初步感知 (1)是整数吗?-3,-2,-1,0,1,2,3的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的整数吗? (2)是分数吗?-,-,-,-,,,,的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的分数吗? (3)会是有理数吗? 教师引导学生小组交流,使学生认识到: (1)整数的平方是整数,没有平方后等于2的整数. (2)分数的平方是分数,没有平方后等于2的分数. (3)平方后等于2的数既不是整数,也不是分数,所以不是以前熟悉的有理数. 想一想:到底是什么样的数呢? 2.强化认识 借助计算机可以得到=1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569….它是一个无限不循环小数. 我们早就认识的圆周率π,它也是一个无限不循环小数: π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 1…. 所以和π都是无限不循环小数. 有理数包括整数和分数两部分,整数和分数都可以代成怎样的小数? (1)整数可以写成小数形式,如-10=-10.0,-1=-1.0,0=0.0,50=50.0. 对于任意给定的一个整数,你能将它写成小数的形式吗? (2)分数可以写成有限小数或无限循环小数,如-=-0.01,-=-0.6,=3.5,=0.187 5,-=-0.333 33…=-0.,=0.666 66…=0.,=0.318 18…=0.3. 任意给定一个分数,你能将它写成有限小数或无限循环小数的形式吗?(可以借助计算器计算) (3)有理数是不是总可以写成有限小数或无限循环小数的形式呢? 学生自主交流,讨论上面的问题,教师进行总结. 总结:任意有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式,反过来,有限小数或无限循环小数都是有理数.由此可见,无限不循环小数不是有理数.我们把无限不循环小数叫做无理数. 在这里要把握无理数的两个本质特征:首先是无限小数,并且是不循环的小数.所以,,π这些都是无理数. 无理数和有理数一样都是有正负的,无理数包括正无理数和负无理数. 我们把有理数和无理数统称为实数. 师生一起探究,实数可以怎么分类?学生组内讨论,教师归纳总结. 归纳总结:实数的分类. 实数 实数还可以分为正实数、0、负实数. 实数 设计意图:引导学生认识到有理数可以化成有限小数或无限循环小数的形式,使学生类比有理数的特点,总结出无理数的概念,了解数的扩充的必要性和实数的意义,并明确实数的分类,提高学生对实数的理解. 典例精讲 例　有下列各数,哪些数是有理数,哪些数是无理数? ,-,3.14,π,-,,0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0). 解:是有理数的有,-,3.14,是无理数的有π,-,,0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0). 设计意图:通过例题探究,充分理解有理数和无理数的区别,能够把新旧知识联系起来,建立起新的知识结构,增强学生探究与归纳能力,提升学生的数学素养. 课堂小结 学生小组内交流总结. 1.无理数的定义. 2.实数如何分类? 设计意图:通过小结,学生梳理本节课的内容,同学互帮互助,解决困惑,充分发挥学生的主体意识,提高学生的语言概括能力和发散思维能力. 课堂8分钟. 1.教材第71页练习第1,2题,习题A组第1,2题,第72页习题B组第1,2题. 2.七彩作业. 第1课时　实数的相关概念及分类 　　　1.无理数的概念. 2.实数的分类. 实数 实数还可以分为正实数、0、负实数. 实数 教学反思   第2课时　实数的有关性质 课时目标 1.认识无理数存在的普遍性. 2.了解实数的意义,知道实数与数轴上的点是一一对应的. 3.理解实数的倒数、相反数、绝对值的意义. 学习重点 认识无理数存在的普遍性,知道实数与数轴上的点是一一对应的. 学习难点 理解实数与数轴上的点一一对应. 课时活动设计 回顾引入 我们知道,任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,那么无理数能不能用数轴上的点来表示呢? 设计意图:使学生回顾有理数的知识点,用类比方法引出本节所学的内容. 探究新知 学生观察思考并回答问题,教师总结补充. 1.如图所示,将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上,使得正方形的一个顶点和原点O重合,一条边恰好落在数轴正方向上,其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B. (1)线段OA,OB的长分别是多少? (2)点A,B在数轴上对应的数分别是哪两个数? 2.如图所示,设一枚5角硬币的直径为1个单位长度,将这枚硬币放置在平面内一条数轴上,使硬币边缘上的一点P与原点O重合.让这枚硬币沿数轴的正方向无滑动滚动一周,这时点P转到数轴上点P'的位置. (1)线段OP'的长是多少? (2)在数轴上与点P'对应的数是哪个数? 实际上,1题中小正方形的边长是,所以线段OA的长为,与点A对应的数是;同理,线段OB的长为,与点B对应的数是.第2题中线段OP'与的长等于π,与点P'对应的数是π. 教师提问:通过以上几个问题,你有什么发现?说说你的看法. 无理数和有理数一样,也可以用数轴上的点来表示. 教师归纳:每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的点表示的数是有理数或无理数.实数和数轴上的点是一一对应的. 解读“一一对应”:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;数轴上的每一个点都表示一个实数. 设计意图:教师引导学生发现实数和数轴上的点是一一对应的.经过观察和思考,加深学生的理解,锻炼学生发现问题的能力和表达能力. 新知讲解 复习有理数的相反数、绝对值、倒数,类比有理数的有关意义,谈谈实数的相关意义. 有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义在实数范围内仍然有意义. 1.相反数:一个实数a的相反数是-a;互为相反数的两数的和为0. 2.绝对值:一个正实数的绝对值等于它本身; 一个负实数的绝对值等于它的相反数. 0的绝对值是0. 设a表示一个实数,则|a|= 3.倒数:乘积为1的两个实数互为倒数.a的倒数是(a≠0). 总结:实数是由有理数和无理数组成的,任意实数都有绝对值、相反数和倒数(0没有倒数),它们和有理数的绝对值、相反数和倒数的意义是一样的. 我们可对实数作如下分类: 实数 设计意图:回顾有理数的相反数、绝对值、倒数,类比有理数思考实数的相关性质,发展学生的类比思维. 巩固训练 求下列各数的相反数、倒数、绝对值: (1)-;(2);(3)-;(4);(5);(6)-π. 解:(1)-的相反数是,倒数是-,绝对值是. (2)的相反数是-,倒数是,绝对值是. (3)-的相反数是3,倒数是-,绝对值是3. (4)相反数是,倒数是-,绝对值是. (5)的相反数是-,倒数是的绝对值是. (6)-π的相反数是π,倒数是-,绝对值是π. 设计意图:通过具体实例巩固实数的的相反数、倒数、绝对值. 课堂小结 组内交流,师生归纳. (1)实数与数轴的关系. (2)有理数的相反数、绝对值、倒数的概念. 设计意图:通过小结,学生梳理本节课的内容,同学互帮互助,解决困惑,充分发挥学生的主体意识,提高学生的语言概括能力和发散思维能力. 课堂8分钟. 1.教材第75页习题A组第1,2题,习题B组第1题. 2.七彩作业. 第2课时　实数的有关性质 　 1.实数与数轴的关系: 实数和数轴上的点是一一对应的. 2.实数的性质: 一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数; 0的绝对值是0. 教学反思   第3课时　比较实数的大小 课时目标 1.能够对实数进行大小比较,提高学生逻辑思维能力和运算能力. 2.能利用有理数估计一个无理数的大致范围,培养学生的数感和运算能力. 学习重点 实数的大小比较,利用有理数估计一个无理数的大致范围. 学习难点 利用有理数估计一个无理数的大致范围. 课时活动设计 回顾引入 在七年级,我们学习了有理数的大小比较,请同学们回忆有理数的大小比较的方法,并独立完成以下题目. 1.数轴上的点A,B,C,D分别表示什么数?请把点A,B,C,D分别表示的数按照从小到大的顺序排列起来. 解:点A表示-4,点B表示-1,点C表示0,点D表示3.从小到大排列是-4<-1<0<3. 2.比较大小: 6　>　0;-3　<　0;2.5　>　-100;-4　>　-8.  总结:(1)数轴比较法.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大. (2)法则比较法.正数大于0,0大于负数,正数大于负数.两个负数比较,绝对值大的反而小. 思考:现在有理数扩充到了实数,那么两个实数该如何比较大小呢? 设计意图:通过实例让学生比较有理数的大小,可以帮助学生回忆有理数大小比较的方法,并且为学习新知识作铺垫,激发学生的学习欲望. 探究新知 利用数轴比较两个实数的大小 两个有理数可以通过数轴来比较大小,那么两个无理数是否也可以通过数轴来比较大小? 由两个正方形的面积(3和2)的大小,能不能得到它们边长(和)的大小? 让学生在数轴上表示和,展示作法. 如图,显然点A表示的数是,点B表示的数是,点B在点A的右边,所以>. 观察数轴上表示和的两点的位置,思考: (1)和都位于哪两个整数之间? (2)在整数1和2之间的无理数有多少? 学生通过观察明确任何一个无理数都在两个相邻整数之间,便于两个实数进行大小比较. 如果将面积分别为a和b(a>b)的两个正方形,按上图所示方式摆放,它们的边长和的大小关系是怎样的? 学生分小组交流、讨论,教师和学生一起总结. 总结:一般地,已知两个正数a和b,如果a>b,那么>;反过来,如果>,那么a>b.同样地,数轴上的两点,右边的点表示的数大于左边的点表示的数. 设计意图:通过类比有理数利用数轴比较大小的方法,让学生自己总结出比较实数大小的方法,提高学生的迁移应用能力. 典例精讲 例　请你根据如图所示的数轴上点的位置,将下列各数用“<”按从小到大的顺序排列起来: -,,3,,0,,-,-. 解:-<-<-<0<<<<3. 设计意图:通过例题巩固新知,提高学生的应用能力. 探究新知 两个实数的大小比较,除了利用数轴比较之外,还有没有其他的方法?下面我们共同来研究这个问题. 例1　比较下列各组数中两个数的大小: (1)2和;　　　　　(2)-和-π. 分析:因为是无理数,2化成小数后是无限循环小数.可借助计算器进行比较大小. 思考:如果不借助计算器,如何比较呢?请同学们交流讨论,师生共同给出解答过程. 当一个正有理数和一个正无理数直观上不好比较时,我们可以通过把它们分别平方,进行有理数的比较,再比较它们的大小.因为这两个数都是正数,我们可以通过比较它们的平方比较出这两个数的大小.我们把这种方法称为“平方法”. 总结:已知两个正数a和b,如果a>b,那么a2>b2;反过来,如果a2>b2,那么a>b. 两个负数相比较,绝对值大的反而小,首先我们应比较它们的绝对值的大小. 注意:1.两个负数相比较,首先应比较它们的绝对值,再根据绝对值大的反而小,比较两个负数的大小.2.对π这样的无限不循环小数,可以找一个和π接近的数做平方去比较. 解:(1)因为==,()2=7=,而>, 所以>.即2>. (2)因为()2=10,π2=(3.141 5…)2,而10>3.152>π2, 所以>π.从而-<-π. 例2　判断下列各实数在哪两个相邻的整数之间: (1);　　　　　　　　　　(2)-. 分析:(1)因为完全平方数的算术平方根为自然数,所以首先在5的左右两边找距离5最近的完全平方数4和9,然后依据被开方数越大,算术平方根越大,即可找到在哪两个相邻的整数之间.(2)这是一个负无理数,我们可以先找-的绝对值在哪两个相邻的整数之间,再依据不等式的性质可以得到结论. 解:(1)因为4<5<9,所以<<.所以2<<3,即在2和3之间. (2)因为0<<1,所以0<<1. 所以0<<1.从而-1<-<0,即-在-1和0之间. 归纳:实数的大小比较常用的方法有(1)平方比较法;(2)数轴法;(3)倒数比较法;(4)估算法;(5)作差法;(6)用计算器计算结果比较法. 设计意图:通过例题,学生掌握比较实数的方法,除了利用数轴比较,还可以利用平方法等估计无理数的大小.培养学生对知识的灵活应用,增强学生思维的发散性. 典例精讲 例　比较下列各组数中两个数的大小: (1)和2;　　　　(2)-1和1;　　　　(3)和0.5. 解:(1)因为()2=5,22=4,5>4,所以>2. (2)两边都减1,得-1>2-1,即-1>1. (3)两边都除以2,得>,即>0.5. 设计意图:通过例题,学生掌握利用有理数估计实数大小的方法,熟练掌握比较实数大小的方法,提高学生的数学思维能力与计算能力. 课堂小结 1.类比有理数的大小比较,扩展到实数的大小比较: “形”上,在数轴上的两点,右边的点表示的数大于左边的点表示的数. “数”上,正数大于0,0大于负数,正数大于负数.两个负数比较,绝对值大的反而小. 两个实数的比较,可以采用“平方法”等比较大小. 2.用有理数估算一个无理数的大致范围,可以找距离被开方数最近的两个完全平方数,再利用不等式的性质估算出其范围. 设计意图:回顾本节课内容,掌握比较无理数大小的几种方法,归纳总结相关知识,提高学生总结归纳能力和综合运用能力. 课堂8分钟. 1.教材第78页练习第2,3题,习题A组第1,2,3题. 2.七彩作业. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$