13.3 全等三角形的判定-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

第1课时　利用“边边边”判定两个三角形全等 课时目标 1.经历从三角形全等的概念出发探索三角形全等条件的过程,积累数学活动经验. 2.掌握基本事实一,利用基本事实一证明两个三角形全等. 3.会利用三角形全等证明线段、角相等. 学习重点 利用基本事实一证明两个三角形全等. 学习难点 三角形全等条件的探索. 课时活动设计 情境引入 我们知道,三条边对应相等、三个角对应相等的两个三角形全等,但我们希望能用较少的条件来判定两个三角形全等,这样的条件应当是怎样的呢? 我们的研究路径:一个条件→两个条件→三个条件…… 1.只给一个条件: ①只给一条边: ②只给一个角: 2.给出两个条件: ①一边一内角: ②两内角: ③两边: 结论:只给出一个或两个条件时,都不能保证所画的三角形一定全等. 给出三个条件画三角形,会有几种可能的情况?哪些情况画出的三角形一定全等呢? 设计意图:积累探究判定三角形全等的经验,为进一步学习作铺垫. 探究新知 探究1　“三条边”对应相等的两个三角形全等 (1)用一根长13 cm的细铁丝,折成一个边长分别是3 cm,4 cm,6 cm的三角形.把你做的三角形和同学做的三角形进行比较,它们能重合吗? (2)用同一根细铁丝,余下1 cm,用其余部分折成一个边长分别是3 cm,4 cm,5 cm的三角形,再和同学做的三角形进行比较,它们能重合吗? (3)不同小组任取一组能构成三角形的三边长的数据,和同学分别按这些数据用尺规画三角形,画成的两个三角形能重合吗? 小组互动,教师指导. 归纳 基本事实一:如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等.可简记为“边边边”或“SSS”. 几何语言:如图,在△ABC和△DEF中, ∵ ∴△ABC≌△DEF(SSS). 探究2　三角形的稳定性 问题1:猜想三角形和四边形哪一种结构更加牢靠? 解:三角形更牢靠. 问题2:观察下面两组木架,如果分别拉动它们,会得到怎样的结果? 解:三角形的形状和大小是固定不变的,而四边形的会改变. 只要三角形的三边确定,它的形状和大小就完全确定了,三角形所具有的这一性质叫做三角形的稳定性. 设计意图:培养学生抽象、归纳的能力,规范几何语言. 典例精讲 例1　如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC. 证明:∠A=∠C. 证明:在△ABD和△CDB中,∵ ∴△ABD≌△CDB(SSS).∴∠A=∠C. 例2　用尺规作一个角等于已知角. 已知:∠AOB.求作:∠A'O'B'=∠AOB. 解:作法: (1)以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D; (2)画一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C'; (3)以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第(2)步中所画的弧交于点D'; (4)过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB. 设计意图:让学生体会如何用“三边对应相等的两个三角形全等”证明两个三角形全等,培养学生在具体问题中分析问题、解决问题的能力.发展推理意识和几何直观,培养学生的核心素养. 巩固训练 1.如图,D,F是线段BC上的两点,AB=EC,AF=ED,要使△ABF≌△ECD,还需要条件　BF=CD　.(填一个条件即可)  第1题图 第2题图 2.如图,AB=CD,AD=BC,则下列结论:①△ABC≌△CDB;②△ABC≌△CDA;③△ABD≌△CDB;④BA∥DC.正确的有(　C　) A.1个　　　　　B.2个　　　　　C.3个　　　　　D.4个 3.已知:如图,AB=AE,AC=AD,BD=CE.求证:△ABC≌△AED. 证明:∵BD=CE, ∴BD-CD=CE-CD. ∴BC=ED. 在△ABC和△AED中, ∵ ∴△ABC≌△AED(SSS). 4.如图,AD=BC,AC=BD.求证:∠C=∠D.(提示:连接AB) 证明:如图,连接AB两点. 在△ABD和△BAC中,∵ ∴△ABD≌△BAC(SSS). ∴∠D=∠C. 设计意图:通过巩固训练,进一步加深学生对利用“边边边”判定三角形全等的理解. 课堂小结 1.今天我们学习的内容是什么? 2.我们学到了哪些呢? 设计意图:通过提问的方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果. 课堂8分钟. 1.教材第40页习题A组第2,3题,习题B组第1,2题. 2.七彩作业. 第1课时　利用“边边边”判定两个三角形全等 　 基本事实一:如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等. 可简记为“边边边”或“SSS”. 几何语言:如图,在△ABC和△DEF中,∵ ∴△ABC≌△DEF(SSS). 教学反思 第2课时　利用“边角边”判定两个三角形全等 课时目标 1.掌握“边角边”基本事实的内容. 2.能初步应用“边角边”判定两个三角形全等. 3.经历探究“两边一角”条件下两个三角形是否全等的过程,积累数学活动经验. 学习重点 “边角边”基本事实的理解和应用. 学习难点 寻找判定三角形全等的条件. 课时活动设计 情境引入 问题:画△ABC,其中AB=2.5 cm,BC=1.5 cm,并且使BC=1.5 cm的这条边所对的角是30°. 小明已经画出了AB=2.5 cm和BC边所对的30°的角. (1)请你选择合适的画图工具帮小明画出边BC; (2)把你所画的图形与小组成员所画的图形对比,并交流. 解:(1) (2)学生小组内对比交流. 思考问题: 1.符合条件的三角形有几个? 解:两个. 2.两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗? 解:不一定全等. 结论:两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时,这两个三角形不一定全等. 设计意图:尽可能让学生操作,通过操作、思考认识到:根据两边和其中一边的对角作三角形,可以做出两种不同的形状,这说明满足“两边和其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等,使学生突破易错点. 探究新知 已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',∠B=∠B',BC=B'C'. 这两个三角形能否重合? 学生动手操作后组内交流,最后总结. 解:将△ABC叠放在△A'B'C'上,使点B与点B'重合,边BC落在边B'C'上. ∵BC=B'C', ∴边BC与边B'C'重合.∴点C与点C'重合. ∵∠B=∠B',∴边AB落在边A'B'上. ∵AB=A'B',∴边AB与边A'B'重合.∴点A与点A'重合. 由两点确定一条直线可得AC与A'C'重合.∴△ABC≌△A'B'C'. 总结 三角形全等的基本事实二:如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.可简记为“边角边”或“SAS”. 几何语言: 如图,在△ABC和△DEF中, ∵ ∴△ABC≌△DEF(SAS).　　　　　 设计意图:培养学生的归纳及语言表达能力;使学生准确掌握定理的内涵及外延;使学生树立几何学习应当关注文字语言、图形语言、几何语言的意识. 典例精讲 例1　如图是测量工具的示意图.其中AD=BC,AD,BC的中点O被固定在一起,AD,BC可以绕点O张合.我们想要知道玻璃瓶的内径是多少,只要量出AB的长度就可以了,你知道这是为什么吗? 解:如图,连接AB,CD. ∵O是AD,BC的中点,∴AO=DO,BO=CO. 在△AOB和△DOC中, ∵ ∴△AOB≌△DOC(SAS). ∴AB=DC. ∴只要量出AB的长,就可以知道玻璃瓶的内径CD是多少. 例2　已知:如图,AD∥BC,AD=CB. 求证:(1)△ABD≌△CDB; (2)∠A=∠C. 证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD. 在△ABD和△CDB中,∵ ∴△ABD≌△CDB(SAS). (2)∵△ABD≌△CDB,∴∠A=∠C. 设计意图:通过例题讲解,一是让学生体会如何用“边角边”这一基本事实来判定两个三角形全等,二是可以让学生进一步学习规范的证明过程和格式. 巩固训练 1.如图,AB=DB,BC=BE,欲证△ABE≌△DBC,则需要增加的条件是(　D　) A.∠A=∠D　　　B.∠E=∠C　　　C.∠A=∠C　　　D.∠ABD=∠EBC 2.如图,已知AC平分∠BAD,AB=AD. 求证:△ABC≌△ADC. 证明:∵AC平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中, ∵ ∴△ABC≌△ADC(SAS). 3.已知:如图,AB=AC,BD=CD,E为AD上一点.求证:BE=CE. 证明:在△ABD和△ACD中, ∵ ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABE和△ACE中, ∵ ∴△ABE≌△ACE(SAS). ∴BE=CE. 设计意图:通过巩固训练,进一步加深学生对利用“边角边”判定三角形全等的理解. 课堂小结 1.今天我们学习的内容是什么? 2.我们学到了哪些呢? 设计意图:通过提问的方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果. 课堂8分钟. 1.教材第43页习题A组第1,2题,习题B组第1,2题. 2.七彩作业. 第2课时　利用“边角边”判定两个三角形全等 　　　 基本事实二: 如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.可简记为“边角边”或“SAS”. 几何语言: 如图,在△ABC和△DEF中, ∵ ∴△ABC≌△DEF(SAS). 教学反思   第3课时　利用“角边角、角角边”判定两个三角形全等 课时目标 1.掌握“角边角”以及“角角边”基本事实的内容. 2.能初步应用“角边角”、“角角边”判定两个三角形全等. 3.经历探索三角形全等的过程,积累数学活动经验. 学习重点 “角边角”以及“角角边”基本事实的理解和应用. 学习难点 寻找判定三角形全等的条件. 课时活动设计 复习回顾 1.已知:如图,CD平分∠ACB,AC=BC.求证:AD=BD. 分析:要证边相等⇔证明两个三角形全等⇔ 设计意图:通过回顾已学的知识,引起学生对新知识的思考. 新知引入 问题:两角和一边对应相等的三角形是否全等?“两角和一边”有几种不同的位置关系? “两角和一边”的位置关系: 两角和这两个角的夹边⇒　　 两角和其中一个角的对边⇒　 设计意图:通过问题,让学生自主思考,联系已有的学习经历,使知识形成体系. 探究新知 探究1　基本事实三 观察下图中的△ABC,画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B. 画法:1.画A'B'=AB; 2.画∠DA'B'=∠A,∠EB'A'=∠B,A'D,B'E交于点C'. 观察:△A'B'C'与△ABC全等吗?怎么验证? 学生独立思考后组内交流,最后总结. 解:△ABC≌△A'B'C'.理由:将△ABC叠放在△A'B'C'上,使点A与点A'重合,边AB落在边A'B'上. ∵AB=A'B', ∴边AB与边A'B'重合.∴点B与点B'重合. ∵∠A=∠A',∴边AC落在边A'C'上. ∵∠B=∠B',∴边BC落在边B'C'上. ∵两条直线相交只有一个交点, ∴点C与点C'重合. ∴△ABC≌△A'B'C'. 总结:如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等.可简记为“角边角”或“ASA”. 几何语言: 如图,在△ABC和△A'B'C'中, ∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA). 探究2　全等三角形的判定定理 已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C'. 求证:△ABC≌△A'B'C'. 分析:可将∠A=∠A'这个条件转化为∠C=∠C'. 证明:∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A'+∠B'+∠C'=180°(三角形内角和定理), 又∵∠A=∠A',∠B=∠B'(已知), ∴∠C=∠C'(等量代换). 在△ABC和△A'B'C'中,∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA). 想一想:从中我们可以得到什么规律? 全等三角形的判定定理: 如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等.可简记为“角角边”或“AAS”. 几何语言:如图,在△ABC和△DEF中, ∵ ∴△ABC≌△DEF(AAS). 设计意图:培养学生的归纳及语言表达能力;使学生准确掌握定理的内涵及外延;使学生树立几何学习应当关注文字语言、几何语言的意识. 学以致用 例　小华的爸爸装修时不小心将一块三角形玻璃摔成了三块,如果只带一块去玻璃店重新配一块相同的玻璃,那么要带哪块去呢?小华放学回家见了,马上想到了办法,你知道小华想了什么办法吗? 解:带③去.利用“ASA”可以证明三角形全等. 设计意图:理解数学来源于生活,服务于生活. 典例精讲 例1　已知:如图,AD=BE,∠A=∠FDE,BC∥EF. 求证:△ABC≌△DEF. 解:∵AD=BE(已知), ∴AD+DB=BE+DB,即AB=DE(等式的性质). ∵BC∥EF(已知), ∴∠ABC=∠E(两直线平行,同位角相等). 在△ABC和△DEF中, ∵ ∴△ABC≌△DEF(ASA). 例2　如图,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E. 求证:(1)△BDA≌△AEC;(2)DE=BD+CE. 证明:(1)∵BD⊥m,CE⊥m,∴∠ADB=∠CEA=90°. ∴∠ABD+∠BAD=90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠CAE=90°. ∴∠ABD=∠CAE. 在△BDA和△AEC中, ∵ ∴△BDA≌△AEC(AAS). (2)∵△BDA≌△AEC, ∴BD=AE,AD=CE. ∴DE=DA+AE=BD+CE. 设计意图:通过例题,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性. 巩固训练 1.下列各图中,a,b,c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(　B　) A.甲和乙　　　　　B.乙和丙　　　　　C.甲和丙　　　　　D.只有丙 2.如图,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是　AC=BC　.  设计意图:这个环节充分发挥了学生的主观能动性,是对本节课学习内容的巩固及内化. 课堂小结 1.今天我们学习的内容是什么? 2.我们学到了哪些呢? 设计意图:通过提问的方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果. 课堂8分钟. 1.教材第47页习题A组第2,3题,习题B组第1,2题. 2.七彩作业. 第3课时　利用“角边角、角角边”判定两个三角形全等 　　　 基本事实三:如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这 两个三角形全等.可简写成“角边角”或“ASA”. 全等三角形的判定定理:如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等.可简写成“角角边”或“AAS”. 教学反思   第4课时　图形变换与全等三角形 课时目标 1.会从图形变换的角度,认识两个可能全等的三角形的位置关系. 2.会综合利用本节学过的基本事实及相关定理证明两个三角形全等. 学习重点 会从图形变换的角度,认识两个可能全等的三角形的位置关系. 学习难点 会综合利用本节学过的基本事实及相关定理证明两个三角形全等. 课时活动设计 复习回顾 1.判断下列条件是否能证明△ABC≌△DEF,请给出理由. ①AB=DE,AC=DF,BC=EF; ②AB=DE,BC=EF,∠C=∠F; ③AC=EF,∠B=∠E,∠C=∠F; ④BC=EF,∠B=∠E,∠C=∠F; ⑤AB=DE,BC=EF,∠B=∠E. 解:①由SSS能证明△ABC≌△DEF; ②不能证明△ABC≌△DEF,SSA不能证明三角形全等; ③不能证明△ABC≌△DEF,因为AC,EF不是对应边; ④由ASA能证明△ABC≌△DEF; ⑤由SAS能证明△ABC≌△DEF. 2.如图,(1)若已知AB=DC,试说明△ABC≌△DCB. ①以“SSS”为依据,还需添加一个条件为　AC=DB　;  ②以“SAS”为依据,还需添加一个条件为　∠ABC=∠DCB　;  (2)若已知∠ABC=∠DCB,试说明△ABC≌△DCB. ①以“ASA”为依据,还需添加一个条件为　∠ACB=∠DBC　;  ②以“AAS”为依据,还需添加一个条件为　∠A=∠D　.  3.判定两个三角形全等的条件有哪些? 解:SSS,SAS,ASA,AAS. 设计意图:通过回顾已学的知识,以及对几种判定方法的复习,让学生形成知识体系. 探究新知 利用全等图形拼图 1.画出我们常见的两个三角形,并说出这两个三角形是经过怎样的图形变化(旋转、平移、轴对称)得到的,请自己剪出两个全等的三角形进行拼图. 2.观察老师给出的每组中的两个三角形,请你说出其中一个三角形经过怎样的变换后,能够与另一个三角形重合. 学生分小组进行讨论,教师引导学生归纳总结. 归纳:在两个全等的三角形中,有些图形具有特殊的位置关系,即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转(有时是两种变换)得到的. 设计意图:通过利用两个全等三角形拼出具有特殊的位置关系的图形,即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转(有时是两种变换)得到的,发现两个三角形间的这种特殊关系,能够帮助同学们较快地找到命题证明的途径,从而解决问题. 典例精讲 例1　如图,C是线段AB的中点,CD=BE,CD∥BE. 求证:∠D=∠E. 证明:∵C是线段AB的中点, ∴AC=CB. 又∵CD∥BE, ∴∠ACD=∠CBE. 在△ACD和△CBE中, ∵ ∴△ACD≌△CBE(SAS). ∴∠D=∠E. 例2　如图1所示,在△ABC中,AE⊥BC于点E,AE=BE,D是AE上的一点,且DE=CE,连接BD,CD. (1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系,并说明理由. (2)如图2所示,若将△DCE绕点E旋转一定的角度后,试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由. 解:(1)BD=AC,BD⊥AC.理由如下: 如图1所示,延长BD交AC于点F. ∵AE⊥BC,∴∠AEB=∠AEC=90°. 在△BED和△AEC中,∵ ∴△BED≌△AEC(SAS). ∴BD=AC,∠DBE=∠CAE. ∵∠BED=90°,∴∠EBD+∠BDE=90°. ∵∠BDE=∠ADF,∴∠ADF+∠CAE=90°. ∴∠AFD=180°-90°=90°. ∴BD⊥AC. (2)结论不发生变化.理由如下: 如图2所示,设AC与DE相交于点O. ∵∠BEA=∠DEC=90°, ∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED. ∴∠BED=∠AEC. 在△BED和△AEC中,∵ ∴△BED≌△AEC(SAS). ∴BD=AC,∠BDE=∠ACE. ∵∠DEC=90°,∴∠ACE+∠EOC=90°. ∵∠EOC=∠DOF,∴∠BDE+∠DOF=90°. ∴∠DFO=180°-90°=90°,∴BD⊥AC. 你有什么发现,试着用图形变化的角度说说. 设计意图:熟练运用图形变化的视角找全等,形成解题技巧,培养学生的应用意识和能力.进一步感知定理.学生运用全等知识进行几何推理证明,体会数学结论的严谨性. 巩固训练 1.如图,已知AB∥CF,E为DF的中点,若AB=8 cm,CF=5 cm,则BD为(　B　) A.2 cm　　　　　　B.3 cm　　　　　　C.4 cm　　　　　　D.1 cm 2.如图,已知EC=BF,AC∥DF,AC=DF. 求证:(1)AB=DE; (2)AB∥DE. 证明:(1)∵EC=BF,∴EC+BE=BF+BE. ∴CB=FE. ∵AC∥DF,∴∠C=∠F. 在△ABC和△DEF中, ∵ ∴△ABC≌△DEF(SAS).∴AB=DE. (2)∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF. ∴AB∥DE. 3.如图,已知∠C=∠E,AB=AD,∠BAD=∠CAE. (1)求证:△ABC≌△ADE; (2)若∠CDE=46°,求∠BAD的度数. (1)证明:∵∠BAD=∠CAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中, ∵ ∴△ABC≌△ADE(AAS). (2)解:∵△ABC≌△ADE, ∴AB=AD,∠B=∠ADE. ∴∠B=∠ADB=∠ADE. ∵∠ADB+∠ADE+∠CDE=180°,∠CDE=46°, ∴∠ADB=∠ADE=67°. ∴∠B=∠ADB=67°. ∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=46°. 设计意图:这个环节充分发挥了学生的主观能动性,是对本节课学习内容的巩固及内化. 课堂小结 设计意图:通过小结总结知识和数学方法,帮助学生自行建构知识体系,提高学习能力. 课堂8分钟. 1.教材第50页习题A组第1,3题,习题B组第1,2题. 2.七彩作业. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$