12.4 分式方程-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

课时目标 1.经历从实际问题中建立分式方程的过程,进一步体会模型思想,培养符号意识. 2.了解分式方程、分式方程的解和增根的概念. 3.会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个),会检验根的合理性. 学习重点 理解分式方程、分式方程的解、分式方程的增根的概念. 学习难点 会解分式方程,会检验根的合理性. 课时活动设计 情境引入 小红家到学校的路程为38 km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2 km,才能到学校,路途所用时间是1 h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度. 一起探究:1.上述问题中有哪些等量关系? 2.根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程. 让学生尝试解决问题,教师可给予点拨和引导. 解:1.问题中的等量关系为(1)小红乘公共汽车的时间+小红步行的时间=小红上学路上的时间;(2)公共汽车的速度=9×小红步行的速度. 2.如果设小红步行的速度为x km/h,那么公共汽车的速度为9x km/h, 根据等量关系(1),可得到方程+ =1. 如果设小红步行的时间为x h,那么她乘公共汽车的时间为(1-x)h,根据等量关系(2),可得到方程 =9×. 设计意图:通过一个行程问题,引导学生从分析入手,找到题中的等量关系,培养学生的逻辑推理能力.列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备. 探究新知 探究1　分式方程的概念 大家谈谈:上面得到的方程与我们已学过的方程有什么不同?这两个方程有哪些共同特点? 学生合作交流,并且尝试总结分式方程的概念. 解:我们以前学习的方程都是整式方程,它们的未知数不在分母中; 共同点:(1)方程中含有分母+=1. (2)这些方程的分母中含有未知数. 结论:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. (1)分式方程的两个特点:①方程中含有分母;②分母中含有未知数. (2)分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别,是区分分式方程和整式方程的依据. (3)分式方程的分母中含有未知数,而不是一般的字母参数. 探究2　解分式方程 教师活动:教师引导学生分析. 解方程:= . 解分式方程的步骤: ①转化为整式方程——去分母,等式两边同乘最简公分母⇨一化; ②得到整式方程,解方程——90(30-v)=60(30+v),v=6⇨二解; ③检验所得结果是否正确——将结果代入分式方程后,等号两边是否相等⇨三检验. 解:方程两边同乘(30+v)(30-v), 得90(30-v)=60(30+v). 整理,得150v=900. 解得v=6. 检验:将v=6代入原分式方程中,左边==右边, 因此v=6是原分式方程的解. 在这里使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根). 归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 设计意图:1.通过学生合作交流,总结归纳出分式方程的概念,培养学生抽象概括能力.2.让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,化归到已经解决或比较容易解决的问题中去,提高学生分析问题、解决问题的能力. 典例精讲 例　解方程: (1) = 9×;　　　　　(2)+=1. 解:(1)方程两边同乘x(1-x),得36x=18(1-x). 解这个整式方程,得x=. 经检验,x=是原分式方程的解. (2)方程两边同乘9x,得36+18=9x. 解这个整式方程,得x=6. 经检验,x=6是原分式方程的解. 注意:(1)解分式方程的基本思想是“化整”,即“化分式方程为整式方程”,而“化整”的关键是找最简公分母; (2)解分式方程一定要注意验根,验根是解分式方程必不可少的步骤; (3)在去分母时,方程两边同乘最简公分母,必须每一项都要乘,不能认为有分母的就要乘,没有分母的就不用乘,而是有几项就要乘几项,不能漏乘. 设计意图:通过例题,加强学生对解分式方程方法及易错点的掌握. 探究新知 下面是小华解方程 = +1的过程: 方程两边同乘x-1,得x+1=-(x-3)+(x-1). 解这个整式方程,得x=1. 你认为x=1是方程 = +1的解吗?为什么? 学生思考,小组合作交流. 解:不是,因为当x=1时,x-1=0,即这个分式方程的分母为0,方程中的分式无意义,所以x=1不是这个分式方程的解. 归纳:在解分式方程时,首先是通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,然后要将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根. 分式方程的增根:①是整式方程的根; ②使分式方程的分母(或公分母)为0. 设计意图:引导学生思考为什么这样求出的方程的根不一定是分式方程的根,使学生进一步理解分式方程增根产生的原因和验根的方法. 巩固训练 解方程: - =3. 解:方程两边同乘x+2,得2-(2-x)=3(x+2).解这个整式方程,得x=-3.经检验,x=-3是原分式方程的解. 设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力. 课堂小结 本节课我们主要学习了哪些内容?与同学交流你的想法. 1.分式方程的概念: 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般步骤: 一化;二解;三检验. 3.分式方程的增根: (1)分式方程有增根时的应用:①最简公分母为0,求增根;②将增根代入整式方程求其他参数. (2)分式方程无解:①分式方程有增根;②化为的整式方程无解. 设计意图:通过小结,帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果. 课堂8分钟. 1.教材第20页习题A组第1,2题,习题B组. 2.七彩作业. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$