专题01 勾股定理与逆定理【八大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题01 勾股定理与逆定理 考点类型 知识一遍过 （一）勾股定理 （1）勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 （3）变式： ①a²=c²- b² ②b²=c²- a² 适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 （二）勾股定理的几何证明 （1）方法一：，，化简可证． （2）方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　 大正方形面积为 所以 （3）方法三：，，化简得证 （三）勾股数 （1）勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 （2）常见的勾股数：如；；；等 （3）扩展：用含字母的代数式表示组勾股数： ①（为正整数）； ②（为正整数） ③（，为正整数） 注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。 （四）勾股定理逆定理 内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 注意： （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，若=则以，，为三边的三角形是直角三角形； （2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 考点一遍过 考点1：勾股定理——求线段 典例1：，，，高，则的周长为（    ） A．32 B．42 C．32或42 D．38或42 【变式1】小明从家走到邮局用了分钟，然后右转弯用同样的速度走了分钟到达书店（如图所示），已知书店距离邮局米，那么小明家距离书店（　　）    A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】如图，在中，为直线上一动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【变式3】如图，中，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ．    考点2：勾股定理——网格问题 典例2：如图，左边为参加年国庆周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与全等的三角形是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，下列选项中最短的线段是（    ） A．AB B．BC C．AE D．CD 【变式2】如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上． (1)线段的长等于 ； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点关于直线的对称点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【变式3】如图，在的方格中，小正方形的边长是，点、、都在格点上，则边上的高为 ． 考点3：勾股定理——折叠问题 典例3：如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ． 【变式3】如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 考点4：勾股定理——勾股树问题 典例4：如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是（    ） A．12 B．16 C．25 D．38 【变式1】如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，图中，…分别表示对应正方形的面积，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别为，则正方形G的面积为 ． 【变式3】如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 考点5：勾股定理——勾股数问题 典例5：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13 【变式1】勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（ ） A． B． C． D． 【变式2】能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，观察下面的几组勾股数： 由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． 可以发现，在一组勾股数中，当最小的数为奇数时，它的平方恰好等于另外两数之和，用关于的代数式表示第组的勾股数应为 ． 【变式3】观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 考点6：勾股定理逆定理——直角三角形的判定 典例6：已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件能判断是直角三角形的个数有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件：①与互余；②；③，其中可以判定是直角三角形的有 个． 【变式3】在中，的对边分别为a、b﹑c，下列条件中：①；②；③；④．能判断是符合条件的直角三角形的有 个． 考点7：勾股定理——弦图计算 典例7：如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（   ） A． B．4 C．5 D． 【变式2】如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则： （1）由可列等式： + ； （2）若，那么与之间的数量关系是 ． 【变式3】如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 考点8：勾股定理——几何应用 典例8：数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小明在学了数学实验《拼图中的数学奥秘》一课后，用2个边长为m的正方形和8个边长分别为m、n的矩形拼出如图所示的图形，已知，，则矩形的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D． 【变式1】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 【变式3】如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一个动点，交的延长线于点，交边于点．当时，的长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理与逆定理 考点类型 知识一遍过 （一）勾股定理 （1）勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 （3）变式： ①a²=c²- b² ②b²=c²- a² 适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 （二）勾股定理的几何证明 （1）方法一：，，化简可证． （2）方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　 大正方形面积为 所以 （3）方法三：，，化简得证 （三）勾股数 （1）勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 （2）常见的勾股数：如；；；等 （3）扩展：用含字母的代数式表示组勾股数： ①（为正整数）； ②（为正整数） ③（，为正整数） 注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。 （四）勾股定理逆定理 内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 注意： （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，若=则以，，为三边的三角形是直角三角形； （2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 考点一遍过 考点1：勾股定理——求线段 典例1：，，，高，则的周长为（    ） A．32 B．42 C．32或42 D．38或42 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，存在种情况，是锐角三角形和钝角三角形时，高分别在的内部和外部，结合勾股定理即可求解． 【详解】如下图，是锐角三角形， ∵是高， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∴的周长为：； 如下图，是钝角三角形， 则的周长为：； 故选C． 【变式1】小明从家走到邮局用了分钟，然后右转弯用同样的速度走了分钟到达书店（如图所示），已知书店距离邮局米，那么小明家距离书店（　　）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】考查了勾股定理在实际生活中的应用．利用勾股定理求出小明家到书店所用的时间，求出小明的速度，再求小明家距离书店的距离． 【详解】解：小明家到书店所用的时间为分钟， 又小明的速度为米分钟， 故小明家距离书店的距离为米． 故选：B． 【变式2】如图，在中，为直线上一动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么．过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过点作于， 由垂线段最短可知，此时最小， 由勾股定理得，， ，即， 解得，， 故答案为：． 【变式3】如图，中，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，尺规作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由和勾股定理可得到的长度，根据题意可知，，最后由即可得到答案． 【详解】解：，， ， 又中，， ， 根据作图可知，，， ， ， 故答案为：． 考点2：勾股定理——网格问题 典例2：如图，左边为参加年国庆周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与全等的三角形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，由勾股定理分别求出每个三角形的边长，再根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握勾股定理和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得，，，， 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 、在中，，，，与三边对应相等，故和会全等，该选项符合题意； 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 故选：． 【变式1】如图，在边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，下列选项中最短的线段是（    ） A．AB B．BC C．AE D．CD 【答案】C 【分析】根据勾股定理可计算给出线段的长，则可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得，，，，， ∴， ∴最短的线段是AE． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式2】如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上． (1)线段的长等于 ； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点关于直线的对称点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（）根据网格特征即勾股定理即可求解； （）先作，再作即可； 本题考查了作图，勾股定理，格点图形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由网格可知：， 故答案为：； （2）如图， 取格点，连接； 取格点，，连接与相交，得交点， ∴点即为所求： 【变式3】如图，在的方格中，小正方形的边长是，点、、都在格点上，则边上的高为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，易求的面积，再根据勾股定理可求出的长，进而根据面积公式即可求得边上的高的长． 【详解】解：由题意可得， 又， 边上的高为， 故答案为：． 考点3：勾股定理——折叠问题 典例3：如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则， 在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到， 即， 解得 故选：A． 【变式1】如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠的性质，是解题关键． 由勾股定理求出值，根据折叠的性质可得出值，在中根据运用勾股定理可求出长． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠知，． ∴， ∵，， ∴， 解得：， 的长为． 故选：B． 【变式2】如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，从而可得，设，从而可得，然后在中利用勾股定理即可得． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 考点4：勾股定理——勾股树问题 典例4：如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是（    ） A．12 B．16 C．25 D．38 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为． 【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z， 由勾股定理得：，， ∴． 故最大正方形E的面积是． 故选：D． 【变式1】如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，图中，…分别表示对应正方形的面积，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，利用直角三角形的边长与正方形的面积的关系，结合勾股定理计算判断即可． 【详解】如图，设面积分别，…的正方形的边长分别为， 则 ， 根据题意，得， ∴， 故A正确； 同理可证，，， ∴，， 故B，D正确； 无法证明， 故不一定成立，符合题意， 故选C． 【变式2】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别为，则正方形G的面积为 ． 【答案】625 【分析】本题考查勾股树，根据勾股定理可知正方形A、B的面积之和等于正方形F的面积，同法可求正方形E、G的面积． 【详解】解：由勾股定理可知，， ， ， 故答案为：625． 【变式3】如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2，1，． 考点5：勾股定理——勾股数问题 典例5：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数．关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：为正整数， 为偶数，设其股是，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：C． 【变式2】能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，观察下面的几组勾股数： 由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． 可以发现，在一组勾股数中，当最小的数为奇数时，它的平方恰好等于另外两数之和，用关于的代数式表示第组的勾股数应为 ． 【答案】     【分析】本题主要考查了勾股数问题，数字类的规律探索，观察可知当最小的数为奇数时，其可表示为，则第二小的数可以表示为，最大的数表示为，据此可得答案． 【详解】解：由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． ……， 以此类推可得，由勾股数，，有， 故答案为：    ． 【变式3】观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 【答案】，， 【分析】本题考查的是勾股数，数字类规律探究；观察已知数据可得每组第一个数组数，第二个数组数组数，第三个数组数组数，再把代入，整理即可得到答案． 【详解】第一组：，，； 第二组：，，； …， 第四组为：，，. …， 则第组第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：． ∴第八组：，， 故答案为：，，． 考点6：勾股定理逆定理——直角三角形的判定 典例6：已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件能判断是直角三角形的个数有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：①， ∴， ∵ ∴ ∴，故是直角三角形； ②，则，故是直角三角形； ③，则，故不是直角三角形； ④，因为，则是直角三角形； ⑤∵， ∴，故是直角三角形； ⑥∵， ∴， ∵ ∴ ∴，故不是直角三角形； 综上所述，是直角三角形的个数有4个， 故选：C． 【变式1】以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 【变式2】在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件：①与互余；②；③，其中可以判定是直角三角形的有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据题意给出的条件依次进行证明即可． 【详解】解：① 与互余， ， ， ， 是直角三角形，故①正确； ②， ，即， 是直角三角形，故②正确； ③， ， 是直角三角形，故③正确； 综上所述，可以判定是直角三角形的有①②③， 故答案为：3． 【变式3】在中，的对边分别为a、b﹑c，下列条件中：①；②；③；④．能判断是符合条件的直角三角形的有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐项判断即可． 【详解】解：①由题意知，，则是符合条件的直角三角形，符合题意； ②由题意知，，则是直角三角形，但不是符合的条件形，故不符合题意； ③由题意知，则是符合条件的直角三角形，符合题意； ④由题意知，则是符合条件的直角三角形，符合题意； 即符合要求的只有3个， 故答案为：3． 考点7：勾股定理——弦图计算 典例7：如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关知识是解题的关键． 先求出小三角形的面积，然后根据勾股定理分析即可． 【详解】解：因为大正方形的面积是52，小正方形的面积是4， 所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为， 所以，， 所以， 所以． 故选：C． 【变式1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了运用勾股定理解决问题，根据已知得出用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键．根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ，故， ， 所以， 故选：B 【变式2】如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则： （1）由可列等式： + ； （2）若，那么与之间的数量关系是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了整式的运算，乘法公式与几何图形面积的计算，掌握乘法公式的变形运算是解题的关键． （1）根据图形，分别表示几何图形的面积，进行计算，比较即可求解； （2）根据图示，可得，由此可得，根据直角三角形的性质，乘法公式的变形可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， （1）， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：①；②；③ ． 【变式3】如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 【详解】如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：4． 考点8：勾股定理——几何应用 典例8：数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小明在学了数学实验《拼图中的数学奥秘》一课后，用2个边长为m的正方形和8个边长分别为m、n的矩形拼出如图所示的图形，已知，，则矩形的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理列式求出的值，结合矩形面积公式即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选A. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据两个式子加减得到及整体代换的思想． 【变式1】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：依题意，， 在中，， ∵ ，, 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式2】如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 【答案】 【分析】过点作构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到关于正方形面积的方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 在正方形中， 又 ∵正方形的面积为25， 或（舍去） 故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形及勾股定理和正方形面积的关系，通过辅助线构造全等三角形并利用勾股定理列方程是解决本题的关键． 【变式3】如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一个动点，交的延长线于点，交边于点．当时，的长为 ． 【答案】2.5或1 【分析】如图，设BM=x，首先证明BQ=AP，分两种情况，利用勾股定理，构建方程求解即可． 【详解】如图，设BM=x， 在Rt中，AB=10，AC=6， BC=， ， ， O是AB的中点， OA=OB， 在和中， （ASA） PA=BQ=6-1=5，OQ=OP ， MQ=MP， 解得x=2.5． 当点P在AC的延长线时，同法可得， 解得x=1， 综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1． 故答案为2.5或1． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$