专题01 三角形有关线段【十大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题01 三角形的有关线段 考点类型 知识串讲 （一）三角形的概念 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形特性 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。 （二）三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 三角形按角的关系分类如下： （三）三角形的稳定性 三角形的稳定性 · 三角形具有稳定性  · 四边形及多边形不具有稳定性  要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 （四）三角形的三边关系 三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边 （1）三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 （2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b  （五）三角形的相关线段 （1）①高线概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 ②高线性质：利用两个锐角互余（等量代换）；利用等面积法求线段长度 （2）①中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 ②中线性质：线段中点性质求线段相等；三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形 （3）①角平分线概念：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 ②角平分线性质：角度相等求解角度 考点训练 考点1：三角形的识别与相关概念 典例1：如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 【变式1】如图，与没有公共边的三角形是( ) A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【变式3】如图，在中，边BE所对的角是 ，所对的边是 ；在中，边AE所对的角是 ，所对的边是 ；以为内角的三角形有 ． 考点2：三角形的个数问题 典例2：如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．20个 【变式2】如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 【变式3】如图，以∠B为内角的三角形有 个 考点3：三角形的分类 典例3：如图，一个三角形的下都被一张纸遮住了，只露出了一个角，这个三角形是（    ）三角形． A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定 【变式1】三角形按边长关系，可分为（    ） A． 等腰三角形，等边三角形 B．直角三角形，不等边三角形 C．等腰三角形，不等边三角形 D．直角三角形，等腰三角形 【变式2】观察图中的三角形，把它们的标号填入相应横线上． 锐角三角形 ，直角三角形 ，钝角三角形 ． 【变式3】若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 考点4：三角形的三边关系 典例4：将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（    ） A．2、2、4 B．2、3、4 C．5、5、11 D．5、6、12 【变式1】满足下列条件的三条线段a，b，c，能组成三角形的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①④ D．①③ 【变式2】已知三角形的三边长分别为3、a、5，那么a的取值范围是 ． 【变式3】如果的两边长a、b满足条件，那么这个三角形的第三边长c的取值范围为 ． 考点5：三角形三边关系的应用 典例5：如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（    ） A．14 B．16 C．13 D．11 【变式1】如图，在中，是中点，垂直平分，交边于点，交边于点，在上确定一点，使最大，则这个最大值为（    ） A．10 B．5 C．13 D． 【变式2】设a、b、c是的三边，化简： ． 【变式3】如图，在中，，，，P是上的一个动点（不与点B重合）.点B与点关于直线对称，连接，，，则线段的最小值是 . 考点6：与三角形高线有关的计算问题 典例6：如图，在中，，G为的中点，延长交于E．点F为上的一点，于H．下列判断正确的有（   ） （1）是的角平分线；（2）是边上的中线；（3）为边上的高；（4）和面积相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】如图，已知，，垂足分别是C，D，其中，，，那么点C到的距离是（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式2】中，，D是上一点，连接，过B、C两点分别作直线的垂线，垂足为E、F，若，，，则的值是 ．    【变式3】如图，在中，是的中线，E是中点，，，垂足分别为F，G．若的周长为41，，，，则的长为 ． 考点7：三角形稳定性 典例7：在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，如图实物图中利用了稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列由几根木条用钉子钉成如下图形，其中不具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． 【变式2】如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是 . 【变式3】我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，使其更稳固，其中运用的数学原理是 ．    考点8：与三角形角平分线有关的计算问题 典例8：如图，，，分别为的高，角平分线，中线，则下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1） ； （2） ； （3） ； 【变式3】如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 考点9：与三角形中线有关的周长、面积问题 典例9：如图所示，在中，已知点，，分别是，，的中点，且平方厘米，则的值为（    ） A．15平方厘米 B．16平方厘米 C．17平方厘米 D．18平方厘米 【变式1】如图，点分别是边上一点，，连接交于点F，若的面积为12，则与的面积之差等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】如图，是的中线，的周长为26，的周长为19，，则的值为 ． 【变式3】如图，点C在直线l外，点A、B在直线l上，点D是的中点，已知，的面积为9，则的最小值为 ． 考点10：利用网格求三角形的面积 典例10：如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 【变式1】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中面积相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，则CE的长为 ． 【变式3】如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，若每个小方格的边长为1，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的有关线段 考点类型 知识串讲 （一）三角形的概念 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形特性 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。 （二）三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 三角形按角的关系分类如下： （三）三角形的稳定性 三角形的稳定性 · 三角形具有稳定性  · 四边形及多边形不具有稳定性  要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 （四）三角形的三边关系 三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边 （1）三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 （2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b  （五）三角形的相关线段 （1）①高线概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 ②高线性质：利用两个锐角互余（等量代换）；利用等面积法求线段长度 （2）①中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 ②中线性质：线段中点性质求线段相等；三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形 （3）①角平分线概念：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 ②角平分线性质：角度相等求解角度 考点训练 考点1：三角形的识别与相关概念 典例1：如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【分析】根据有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，首先确定三角形的边，然后确定三角形即可． 【详解】解：以AB为公共边的三角形有：△ABD和△ABC； 以AC为公共边的三角形有：△ACE和△ACB； 以AD为公共边的三角形有：△ADE和△ABD； 以AE为公共边的三角形有：△AED和△AEC； 以BC为公共边的三角形有：△BCO和△BCA和△BCD和△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以BD为公共边的三角形有：△BDC，△BDE，BDA任何两个都是3对共边三角形； 以BE为公共边的三角形有：△BEO，△BED，△BEC任何两个都是3对共边三角形． 以OB为公共边的三角形有：△OBE和△OBC； 以CD为公共边的三角形有：△CDO和△CDB和△CDE任何两个都是3对共边三角形． 以CE为公共边的三角形有：△CED，△CEA，△CEB任何两个都是3对共边三角形； 以CO为公共边的三角形有：△COD和△COB； 以DE为公共边的三角形有：△AED和△OED和△BED和三角CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以OD为公共边的三角形有：△ODC和△ODE； 以OE为公共边的三角形有：△OBE和△ODE． 共32对． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了共边三角形的定义，正确理解定义是解题的关键． 【变式1】如图，与没有公共边的三角形是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接找两个三角形的公共边即可． 【详解】解：三角形的公共边即两个三角形共同的边． ，两个三角形没有公共边； ，两个三角形的公共边为； ，两个三角形的公共边为； ，两个三角形的公共边为． 故选． 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题． 【变式2】如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了三角形的有关概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：；． 【变式3】如图，在中，边BE所对的角是 ，所对的边是 ；在中，边AE所对的角是 ，所对的边是 ；以为内角的三角形有 ． 【答案】 CE AC ，， 【解析】略 考点2：三角形的个数问题 典例2：如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：如图所示，    图中有共8个三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 【变式1】线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．20个 【答案】B 【分析】根据题意可得，点A和其他任意两个点连接，可得到三角形，点B，，，，C中的每一个点可与4个点组合，再除以2（去掉重复的）即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握不在同一直线上的三个点的连线围成的图形是三角形． 【变式2】如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 【答案】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数． 【详解】解：观察图形可知： 从点首先连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， ， ∴连接到时，图中有个三角形(n为正整数)， 故答案为：． 【变式3】如图，以∠B为内角的三角形有 个 【答案】4 【分析】根据题意以的两边和端点分别在两边上的线段围成的三角形，都是以∠B为内角的三角形，枚举出所有三角形即可 【详解】依题意以∠B为内角的三角形有,共4个 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的定义，理解题意是解题的关键． 考点3：三角形的分类 典例3：如图，一个三角形的下都被一张纸遮住了，只露出了一个角，这个三角形是（    ）三角形． A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据三角形最大的内角的大小可将三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，据此即可解答． 【详解】解：根据题意无法判断被纸遮住的两个角的情况，故无法判断这个三角形是什么类型的三角形． 故选：D 【变式1】三角形按边长关系，可分为（    ） A． 等腰三角形，等边三角形 B．直角三角形，不等边三角形 C．等腰三角形，不等边三角形 D．直角三角形，等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类方法即可得到答案． 【详解】解：三角形按边长关系，可分为等腰三角形和不等边三角形， 故选C． 【变式2】观察图中的三角形，把它们的标号填入相应横线上． 锐角三角形 ，直角三角形 ，钝角三角形 ． 【答案】 3，5 1，4，6 2，7 【分析】分别根据三角形的分类得出答案即可． 【详解】锐角三角形3，5，直角三角形1，4，6，钝角三角形2，7． 故答案为：3，5；1，4，6；2，7． 【点晴】此题主要考查了三角形的分类，正确判断三角形中各内角与90度比较是解题的关键． 【变式3】若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰 【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为，即可列方程求解． 【详解】解：设三角形三边的长度比为， 则：， 解得： ∴ 故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰 考点4：三角形的三边关系 典例4：将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（    ） A．2、2、4 B．2、3、4 C．5、5、11 D．5、6、12 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，判断选项中两个较小数的和与最大数的大小，即可得出答案． 【详解】解：A、∵，∴2、2、4不能组成三角形，故选项A不符合题意； B、∵，∴2、3、4能组成三角形，故选项B符合题意； C、∵，∴5、5、11不能组成三角形，故选项C不符合题意； D、∵，∴5、6、12不能组成三角形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1】满足下列条件的三条线段a，b，c，能组成三角形的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①④ D．①③ 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 根据三角形三边关系定理分析即可． 【详解】解：①∵，，∴能组成三角形； ②∵，∴不能组成三角形； ③设，∵，∴不能组成三角形； ④∵，，∴能组成三角形； 故选：C． 【变式2】已知三角形的三边长分别为3、a、5，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系． 根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求解； 【详解】解：∵三角形的三边长分别为、、， ∴， 即． 故答案为：． 【变式3】如果的两边长a、b满足条件，那么这个三角形的第三边长c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系即可得出结论．本题主要考查的是三角形的三边关系，非负数的性质，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 【详解】解：、满足条件， ，， ，． 、、为三角形的三边长， ，即． 故答案为：． 考点5：三角形三边关系的应用 典例5：如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（    ） A．14 B．16 C．13 D．11 【答案】C 【分析】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形铁框的组合方法是解答的关键．若两个顶点的距离最大，则此时这个铁框的形状变化为三角形，可根据三条钢条的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 【详解】解：已知、、、， 选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，能构成三角形，此时两个顶点的距离最大为； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，构成三角形，此时两个顶点的距离最大为； 故选：C． 【变式1】如图，在中，是中点，垂直平分，交边于点，交边于点，在上确定一点，使最大，则这个最大值为（    ） A．10 B．5 C．13 D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系．延长交直线于P，在上任取一点不与点P重合，连接，，根据三角形三边关系证明此时，最大，最大值等于长即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于P，在上任取一点不与点P重合，连接，， ∵，， ∴， ∴此时，最大，最大值等于长， ∵D是中点， ∴， ∴最大值， 故选：B． 【变式2】设a、b、c是的三边，化简： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系以及绝对值．直接利用三角形三边关系结合绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解：，，分别为的三边， ，，， ∴ ． 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，，，P是上的一个动点（不与点B重合）.点B与点关于直线对称，连接，，，则线段的最小值是 . 【答案】3 【分析】根据题意，得，结合，判定当三点共线时，线段取得最小值，解答即可. 本题考查了三角形不等式求最值，构造正确的三角形不等式存在的基础三角形是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴当三点共线时，线段取得最小值 ∵， ∴， 故答案为：3. 考点6：与三角形高线有关的计算问题 典例6：如图，在中，，G为的中点，延长交于E．点F为上的一点，于H．下列判断正确的有（   ） （1）是的角平分线；（2）是边上的中线；（3）为边上的高；（4）和面积相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和对边相交的交点之间的线段．正确理解定义是解题的关键．根据三角形的角平分线、中线、高线的概念逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线，故（1）正确． 无法判断，故不是边边上的中线，故（2）错误． ∵， ∴为边上的高，故（3）正确， ∵G是的中点， ∴和面积相等，故（4）正确． 故选：B． 【变式1】如图，已知，，垂足分别是C，D，其中，，，那么点C到的距离是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的面积； 根据三角形面积的不同计算方法列式求解即可． 【详解】解：因为 所以，即， ∴，即点C到的距离是， 故选：D． 【变式2】中，，D是上一点，连接，过B、C两点分别作直线的垂线，垂足为E、F，若，，，则的值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的高和三角形的面积，运用等面积法是解题的关键． 利用即可求解． 【详解】解∵过B、C两点分别作直线的垂线，垂足为E、F， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，是的中线，E是中点，，，垂足分别为F，G．若的周长为41，，，，则的长为 ． 【答案】6.4 【分析】该题主要考查了三角形中线的知识点以及三角形等面积法的运用，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，同时三角形的中线平分底边；等面积法运用时需注意一定要看准在同一个三角形中运用．先求出各个边的长度，再根据三角形中线求出、的长度，运用等面积法求解即可； 【详解】解：∵，， ∴． ∵的周长为41， ∴， ∴． ∵是的中线，是的中线， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故答案为： 考点7：三角形稳定性 典例7：在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，如图实物图中利用了稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查了三角形的性质中的稳定性．三角形的特性之一就是具有稳定性．找到图形中有三角形固定的即可． 【详解】解：A、利用了三角形的稳定性，正确； B、利用了四边形的不稳定性，故错误； C、利用了四边形的不稳定性，故错误； D、利用了四边形的不稳定性，故错误， 故选：A． 【变式1】下列由几根木条用钉子钉成如下图形，其中不具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性．三角形具有稳定性，根据三角形的性质，四边形的性质可得答案． 【详解】解：选项C中含有四边形，不具有稳定性， 而选项A、B、D含有三角形具有稳定性， 故C符合题意； 故选：C． 【变式2】如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是 . 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性，即可求解． 【详解】解：松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【变式3】我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，使其更稳固，其中运用的数学原理是 ．    【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 考点8：与三角形角平分线有关的计算问题 典例8：如图，，，分别为的高，角平分线，中线，则下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的的高、角平分线和中线，解题关键是掌握三角形的的高、角平分线和中线的定义，根据三角形的中线的定义，可得点F是的中点，即可判断选项A、C，根据角平分线的定义，可得平分，即可判断选项B，再根据三角形高的定义，判断选项D即可． 【详解】解：∵，，分别为的高，角平分线，中线， ∴，，，， 即， 故错误的是选项B， 故选：B． 【变式1】如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的概念，正确理解三角形角平分线的概念是解题的关键． 【详解】∵在中，，是的角平分线， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1） ； （2） ； （3） ； 【答案】 / / / / / 【分析】本题主要考查了三角形高，角平分线和中线的定义： （1）根据三角形中线的定义进行求解即可； （2）根据角平分线的定义进行求解即可； （3）根据三角形高的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，是中线， ∴， 故答案为：； ； （2）∵在中，是角平分线， ∴， 故答案为：；； （3）∵在中，是高， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【答案】3/三 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 【详解】∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 考点9：与三角形中线有关的周长、面积问题 典例9：如图所示，在中，已知点，，分别是，，的中点，且平方厘米，则的值为（    ） A．15平方厘米 B．16平方厘米 C．17平方厘米 D．18平方厘米 【答案】B 【分析】此题考了三角形的面积和三角形中线的性质，三角形的面积除了运用面积公式外，还可以利用三角形中线的性质计算三角形的面积．根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，得平方厘米，平方厘米，即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴平方厘米， ∵是的中点， ∴平方厘米，平方厘米， ∴平方厘米， ∵是的中点， ∴平方厘米． 故选：B． 【变式1】如图，点分别是边上一点，，连接交于点F，若的面积为12，则与的面积之差等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的面积，三角形中线、二元一次方程组的解法等知识点，掌握等积变换是解答此题的关键． 由的面积为12，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵，，， ∴， 即①， 同理：∵， ∴， ∴， 即②， 得：， 故选：A． 【变式2】如图，是的中线，的周长为26，的周长为19，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边与长度的差是解题的关键．根据三角形的周长和中线的定义求与的差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴． ∵的周长为，的周长为， ∴， 即， 则． 故答案为：． 【变式3】如图，点C在直线l外，点A、B在直线l上，点D是的中点，已知，的面积为9，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，垂线段最短，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可得出的面积，再根据当时最小即可求出结果． 【详解】解：∵点D是的中点，已知， ∴，， ∵的面积为9， ∴的面积为9， 当时，最小， ∴， ∴． 故答案为：6． 考点10：利用网格求三角形的面积 典例10：如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．分别求出的面积和的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 【变式1】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中面积相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查网格中三角形的面积，分别求出各图中三角形的面积，即可解答． 【详解】解：图中面积为， A、图中三角形的面积为，与面积相等； B、图中三角形的面积为，与面积不相等； C、图中三角形的面积为，与面积不相等； D、图中三角形的面积为，与面积不相等． 故选：A 【变式2】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，则CE的长为 ． 【答案】/ 【分析】取网格点M、N，先利用割补法求得，再根据，即可求解． 【详解】取网格点M、N，如图， 结合网格，利用割补法，可得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求解网格图中线段长度的问题，利用割补法求出，并得到，是解答本题的关键． 【变式3】如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，若每个小方格的边长为1，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的面积公式．直接利用三角形的面积可求得，采用割补法“用大的矩形面积减去三个小三角形的面积”可求得，据此求解即可． 【详解】解：由网格图可得， ， 故有． 故答案为：8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$