2.4 直线与圆锥曲线的位置关系（第二课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版（2019）选择性必修一 2.4 直线与圆锥曲线的位置关系（第二课时） 学习目标 1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系． 2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题． 学习重点 学习难点 掌握弦长公式． 会求解与弦长有关系的问题． 9 新课导入 我们已经学习了直线与圆锥曲线的位置关系，回忆学习过的内容，结合图象，说明直线与圆锥曲线的位置关系及交点个数． 新课学习 直线与双曲线、抛物线相交于两点，交点的中点坐标也用同样的方法可以得到． 直线与双曲线、抛物线相交于两点，交点的中点坐标也用同样的方法可以得到． 例题来了 解： 思考交流 在解析几何中, 代数运算是处理问题的重要方式, 因此, "如何算"？成为解析几何中一个非常重要的问题, 反思上面例 1 的求解过程, 可否通过优化运算的顺序, 实现运算的简化呢? 结论 解： 思考交流 总结 总结： 在求解解析几何问题的过程中，一方面利用数形结合的思维方式，另一方面还应该在分析图形的基础上对题目中的几何要素进行表达，这直接关系到后续代数处理的繁简程度，最后,要对注意变量的取值范围． 解： 解圆锥曲线中定值问题的思路 对于圆锥曲线中的定值问题，简而言之就是计算，其步骤为： （1）引入变量（直线的斜率、点的坐标等）; （2）利用直线与圆锥曲线的位置关系，建立变量之间的关系； （3）用变量表示所求定值的量，并作恒等变形得到定值．除利用上述方法推证外，还可以利用图形的特殊位置求出定值（先用定值探路），再作一般化证明． 证明动曲线过定点的基本方法 （1）设出相关变量，如点的坐标、直线的斜率等，并以直线与圆锥曲线的位置关系建立所设变量之间的关系． （2）用变量表示动曲线的方程，化简后即得动曲线所经过的定点． 特别地，证明动直线过定点，除按上述方法外还可以设出含变量的动直线方程，利用条件建立变量间的关系，即可得证． 课堂巩固 B C D B C 6 总结一下 弦长公式 感 谢 聆 听 Gan Xie Ling Ting 如果直线 与椭圆 相交于不同的两点 ， ，则AB中点 的坐标如何求出? 直线 与椭圆 交于 ， 两点，求AB中点 的坐标． 联立直线与椭圆的方程组： ，整理： 方法一：求得 ，利用中点坐标公式，得 ，再利用中点在直线上，根据直线方程求得 ． 方法二：利用根与系数的关系可得 ，再根据中点坐标公式求得 ，最后根据直线方程求得 ． ， 如果直线l与圆锥曲线C相交于不同的两点 ， ，怎样求线段AB的长度(弦长)？ 如果直线l的斜率存在，设其斜率为k，则直线l的方程为y=kx+m，将其代入圆锥曲线方程，得出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系，可得x1+x2，x1x2，由两点间的距离公式，得 如果直线l的斜率不存在，则设直线方程为x=m，直接代入圆锥曲线方程求得交点坐标，再利用两点间距离公式求得|AB|． 如果直线l的斜率k≠0，如何用 ， 表述弦长公式? 通过计算可得 例1 已知斜率为-2的直线经过椭圆 的左焦点 ，与椭圆相交于A，B两点，求： （1）线段AB的中点M的坐标； （2）|AB|的值． 由题意知椭圆C的左焦点 的坐标为 ，直线AB的方程为 ． 解方程组 ，得 ， 因此 ， . （1）设线段AB的中点M的坐标为（x，y），则 ， ． 所以线段AB的中点M的坐标为 ． （2） ． 本例第一种方法称为“根与系数的关系法”，即利用根与系数的关系，得出中点的横坐标(或纵坐标)； 第二种方法称为“点差法”，即把弦的端点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，根据圆锥曲线方程的特点，通过分解因式，作的差式中含有 ， ， ， ，在弦的斜率k存在时， ，中点坐标(x0，y0)满足 ， .这两种方法都体现了从“整体”上处理问题的思想． 例2　已知直线l过椭圆 的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围． （1）当直线l的斜率不存在时，直线l： ，代入椭圆方程解得 ， ，所以 ． （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx． 将椭圆方程化简、整理，得 ． 将直线和椭圆方程联立，得 将②代入①，得 ， 化简、整理，得 ． ③ 显然，无论k取何值，方程③都有实数解， ， . 由两点间的距离公式，可得 ④ 为了便于求 的取值范围，将④进行变形整理得 ． 因为 ，由不等式的性质可得 ， 所以 ． 综合（1）和（2）的结果，|AB|的取值范围为 ． 某同学给出了例2 的如下解决方法： 解：考虑到直线l与椭圆C的两个交点A，B是关于中心O对称的，所以 . 因为点A在椭圆C上，所以 ， 整理， 得 . 将其代入上式，消去 可得 . 由上述函数关系可以求出 . 请对该同学的上述解法进行评价. 因为点A在椭圆C上，所以 ，因此 ，即 ． 例3 已知椭圆 的右顶点为 ，离心率为 . 求椭圆C的方程； 设椭圆的左焦点和左顶点分别为F和 ，过点F的直线与C交于M，N两点，直线 与 交于点P，证明：点P在定直线上. （1）依题意可得： .又 ，则 ，所以 ，所以 ， 所以椭圆C的标准方程为 . （2）由（1）得 ，所以直线l的方程为 ， 由 ，可得 ， 设 ， ，显然 ， 所以 ， ， 故 . 由题意可得 ， ，则直线 的方程为 ， 直线 的方程为 . 设直线 与 的交点坐标为 ， 则 ， 故 ， 解得 ，故直线 与 的交点在直线 上. 1.设 ， 分别是椭圆 的左，右焦点，过 的直线l交椭圆于A，B两点，则 的最大值为( ) A. B. C. D.6 解析：由椭圆的定义知 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 的周长为 当 最小时， 最大. 当 轴，即 为通径时， 最小，此时 ， 的最大值为 . 2.已知双曲线 ， 的左焦点为F，渐近线方程为 ，焦距为8，点A的坐标为 ，点P为C的右支上的一点，则 的最小值为( ) A. B. C. D. 解析：由题意知 解得 ， ， .记C的右焦点为 ，所以 ，所以 ，所以 ，当且仅当点P在线段 上时等号成立，所以 的最小值为 .故选C. 3.已知抛物线 上一点P到准线的距离为 ，到直线 的距离为 ，则 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由抛物线 知，焦点 ，准线方程为 ，根据题意作图如下； 点P到直线 的距离为 ，到准线 的距离为 ， 由抛物线的定义知： ， 所以点P到直线 和准线 的距离之和为 ， 且点 到直线 的距离为 ， 所以 的最小值为4. 4.双曲线 的左，右顶点分别为A，B，曲线E上的一点C关于x轴的对称点为D，若直线AC的斜率为m，直线BD的斜率为n，则 ( ) A.3 B. C. D. 解析：如图， ， ，不妨设 ，则 ， 依题意， ，因点 在双曲线上，故有 ， 于是， . 5.已知动圆过定点 ，且在 x轴上截得的弦 AB的长为8.过此动圆圆心轨迹C 上一个定点 引它的两条弦PS，PT，若直线 PS，PT的倾斜角互为补角，记直线 ST的斜率为k，则 ( ) A.4 B.2 C.-4 D.-2 解析：设动圆圆心的坐标为 ， 则 . 整理得， . 故动圆圆心的轨迹C的方程为 . 因此 ， . 当 时， 设 ， ， 则有 ， . 于是 就是 ，所以 . 此时直线 ST 的斜率 ，故 .同理可得，当 时， 直线 ST 的斜率 . 故 ，所以选 C. 6.已知M是抛物线 上一点，则点M到直线 的最短距离为__________. 解析：设 ，则点M到直线 的距离 . 7.已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点（异于A，B），直线 ， 与直线 分别交于M，N两点，则 的最小值为________. 解析：如下图所示： 设 ，则 ，易知 ， ，直线 和直线 的斜率存在，且斜率之积为 . 设直线 的方程为，则，直线的方程为，则，所以. 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为6. $$