2.1.1 有理数的加法第二课时有理数加法运算律-2024-2025学年七年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版2024新教材）

好题精选·同步精炼2.1有理数的加法与减法 2.1.1有理数的加法第二课时有理数加法运算律 知识点1 有理数加法的运算律 1．（23-24七年级上·河北邢台·期末）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期中）根据运算律，由式子可得（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级上·河北承德·期末）在计算时，佳佳的板演过程如下： 解：原式． 老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？” 甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”； 乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”； 丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”． 下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（    ） A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对 6．（23-24七年级上·青海海东·阶段练习）小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 7．（23-24六年级上·山东淄博·期中）计算 ． 8．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算： ． 9．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算的结果是 ． 10．（22-23六年级·上海·假期作业）计算： = ． 11．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 12．（22-23七年级上·广西河池·阶段练习）某检修小组乘汽车沿一条东西走向的公路检修线路，记录员规定向东行驶为正，向西行驶为负．以下是某天记录员记录的自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，． (1)收工时在A地那个方向，距A地多远? (2)若每千米耗油升，问从A地出发到收工时共耗油多少升? 13．（22-23七年级上·河北·阶段练习）小高不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数和是（    ） A．3 B． C．1 D． 14．（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列各式运用运算律变形错误的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）计算的值等于（    ） A．－1012 B．－1011 C．1012 D．1013 16．（23-24七年级上·全国·课后作业）我国是最早认识负数并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》中，记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算 ． 17．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 18．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为 ． 19．（23-24七年级上·河南商丘·期末）一个两位数的十位上的数字是，个位上的数字是，我们把十位上的数字与个位上的数字的和叫做这个两位数的“衍生数”，记作，即，如现有个两位数和，且满足，则 ． 20．（23-24七年级上·海南儋州·期末）某公司上半年每个月的盈亏情况如下表（盈余为正，单位：万元）： 月份 月 月 月 月 月 月 盈亏（万元） (1)该公司收入最高的月份比最低的月份多多少万元？ (2)该公司上半年是盈还是亏？盈亏了多少？ 21．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数字．从下到上，第一个至第四个台阶依次标着数字，2，10，且任意相邻四个台阶上的数的和相等． (1)求前四个台阶上数的和； (2)求第五个台阶上的数x的值； (3)求从下到上，前23个台阶上数的和； (4)试用含m（m为正整数）的式子表示出数“”所在的台阶数． 22．（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 23．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 24．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算． 下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；；． (1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ． (2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精炼2.1有理数的加法与减法 2.1.1有理数的加法第二课时有理数加法运算律 1．（23-24七年级上·河北邢台·期末）是应用了（    ）知识点1 有理数加法的运算律 A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 【答案】A 【分析】根据题意结合运算律即可得到答案，此题考查了加法交换律，． 【详解】解：是应用了加法交换律， 故选：A 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期中）根据运算律，由式子可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加法交换律变形即可得到结果． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用有理数的加法的交换律与结合律进行求解即可； 【详解】解：， 故选：B 【点睛】本题主要考查有理数的加法运算，解答的关键是对有理数的加法的运算律的掌握 5．（21-22七年级上·河北承德·期末）在计算时，佳佳的板演过程如下： 解：原式． 老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？” 甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”； 乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”； 丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”． 下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（    ） A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对 【答案】C 【分析】根据加法运算律的定义进行解答即可． 【详解】解：由到既运用了加法交换律，也运用了加法结合律，所以丙同学说的对，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了加法的交换律和结合律，熟记加法交换律和结合律，，，是解题的关键． 6．（23-24七年级上·青海海东·阶段练习）小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】根据加法交换律和加法结合律进行计算即可求解． 【详解】解：将式子先变成再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 7．（23-24六年级上·山东淄博·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算,掌握加法交换律和结合律是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法，解答的关键是灵活运用有理数的加法的运算律． 利用有理数的加法的交换律与结合律对式子进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据加法的结合律计算，即可作答． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，掌握加法的结合律，是解答本题的关键． 10．（22-23六年级·上海·假期作业）计算： = ． 【答案】 2500 50 【分析】算式中的加数构成一个公差为“2”的等差数列，首项为1，末项为99，项数为50．因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2． 【详解】解： ． 故答案为：， 【点睛】本题考查的是简单数列的求和，利用总结出的规律进行求和是解本题的关键． 11．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 12．（22-23七年级上·广西河池·阶段练习）某检修小组乘汽车沿一条东西走向的公路检修线路，记录员规定向东行驶为正，向西行驶为负．以下是某天记录员记录的自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，． (1)收工时在A地那个方向，距A地多远? (2)若每千米耗油升，问从A地出发到收工时共耗油多少升? 【答案】(1)收工时在A地东边，距A地41千米； (2)升． 【分析】此题考查了有理数的混合运算以及正数与负数，正确列出算式并掌握有理数的相关运算法则是解本题的关键． （1）依题意列式求出和即可； （2）要求耗油量，需求他共走了多少路程，然后用总路程，计算即可，与方向无关． 【详解】（1）解：(千米)； 答：收工时在A地东边，距A地41千米； （2）解：(千米)， (升)． 答：从A地出发到收工时共耗油升． 13．（22-23七年级上·河北·阶段练习）小高不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数和是（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】先确定被盖住的整数，再进行相加即可． 【详解】解：由图可知，被盖住的整数为：， 则：； 故选D． 【点睛】本题考查有理数的加法．解题的关键是确定被墨迹盖住的整数，掌握有理数加法的法则． 14．（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列各式运用运算律变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数加法的结合律和交换律一一计算即可判断． 【详解】解：A、，变形正确； B、，变形正确； C、，故原变形错误； D、，变形正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数加法的结合律和交换律，解题的关键是掌握有理数加法的结合律和交换律并灵活运用，属于中考常考题型． 15．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）计算的值等于（    ） A．－1012 B．－1011 C．1012 D．1013 【答案】A 【分析】从第二个数开始，相邻两个数的和为，再确定的个数，最后求解． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 16．（23-24七年级上·全国·课后作业）我国是最早认识负数并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》中，记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是理解图1表示的计算．由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式． 【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数， 图2表示的过程应是在计算． 故答案为： ． 17．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为 ． 【答案】 【分析】将各数代入计算，发现第一项和最后一项的值的和为3，第二项和倒数第二项的和为3，据此分组计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法及其运算律，发现各项之间的规律是解题的关键． 19．（23-24七年级上·河南商丘·期末）一个两位数的十位上的数字是，个位上的数字是，我们把十位上的数字与个位上的数字的和叫做这个两位数的“衍生数”，记作，即，如现有个两位数和，且满足，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查对题干“衍生数”的理解，记的个位数和十位数分别为、，记的个位数和十位数分别为、，再分类讨论个位数相加为0和10的情况即可解题． 【详解】解：记的个位数和十位数分别为、，记的个位数和十位数分别为、， ， ，或者，， ①， ②， 故答案为：或． 20．（23-24七年级上·海南儋州·期末）某公司上半年每个月的盈亏情况如下表（盈余为正，单位：万元）： 月份 月 月 月 月 月 月 盈亏（万元） (1)该公司收入最高的月份比最低的月份多多少万元？ (2)该公司上半年是盈还是亏？盈亏了多少？ 【答案】(1)80万元 (2)盈利45万元 【分析】考察正数负数的意义，分析表格的能力及有理数的加减法． 【详解】（1）解：由表格分析可知5月收入最高，3月收入最低 所以由题意得万元 答：该公司收入最高月份比最低月份多80万元； （2）解：万元 答：该公司上半年盈利45万元． 21．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数字．从下到上，第一个至第四个台阶依次标着数字，2，10，且任意相邻四个台阶上的数的和相等． (1)求前四个台阶上数的和； (2)求第五个台阶上的数x的值； (3)求从下到上，前23个台阶上数的和； (4)试用含m（m为正整数）的式子表示出数“”所在的台阶数． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题是数的规律探索问题，考查了有理数的运算，一元一次方程，列代数式等知识； （1）直接把四个数相加即可； （2）根据“任意相邻四个台阶上的数的和相等”得关于x的方程，解方程即可； （3）根据“任意相邻四个台阶上的数的和相等”知，台阶上的数是依次循环，由此规律即可求得前23个台阶上数的和； （4）所在的台阶数分别为2、6、10、14、…，据此即可写出这列数的规律． 【详解】（1）解：， 即前四个台阶上数的和为1； （2）解：由于任意相邻四个台阶上的数的和相等， 则 解得； （3）解：由于相邻四个台阶上的数的和相等，且和为1，则从下到上，第6个台阶上的数为，第7个台阶上的数，第8个台阶上的数，第9个台阶上的数，…，规律是：从下到上，台阶上的数是依次循环，则第24个台阶上的数为10，所以前23个台阶上数的和为； （4）解：从下到上，所在的台阶数分别为2、6、10、14、…，此规律用代数式表示为：． 22．（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)500500 (2)15150 【分析】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可． （2）计算出和的值；． 【详解】（1）解：（1）设，① 则，② ①②得：， ， ； （2）设，① 则，② ①②得：， ， ． ． 23．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：原式 24．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算． 下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；；． (1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ． (2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可） 【答案】(1)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 (2) (3)加法交换律适用，加法结合律不适用，例子见解析 【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则； （2）根据（1）中的结论可以解答本题，注意运算顺序； （3）根据（1）中的结论分别采用加法交换律和结合律计算可以解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳※（宏运算的运算法则：同号两数进行※（宏运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． （2）解：， ， ， 故答案为：； （3）解：，． 加法交换律适用； ， ， 而， 加法结合律不适用． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数的加法运算的计算方法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$