精品解析：四川省成都市双流区天府七中2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

2022-2023学年四川省成都市双流区天府七中七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一个符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 剪纸社团是天七的特色学生社团，以下剪纸作品中，轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 清代袁枚一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形两边的长分别为2cm、7cm，第三边长为整数，则第三边的长可以为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 9cm 4. 下列说法正确的是（ ） A. “穿十条马路连遇十次红灯”是不可能事件 B. 任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件 C. 某彩票中奖概率为1%，那么买100张彩票一定会中奖 D. “福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是 5. 如图，已知，，增加下列条件，其中不能使的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，要得到，则需要的条件是（　　） A. B. C. D. 7. 如果4x2﹣（a﹣b）x+9是一个整式的平方，则2a﹣2b的值是（　　） A. ±24 B. ±9 C. ±6 D. 12 8. 如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPO的周长是（ ） A. 11 B. 15 C. 16 D. 24 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 若代数式有意义，则x满足的条件是 ____________________． 10. 一个角的余角比它的补角的大，则这个角的度数是______°． 11. 若中不含项，则的值为 _____． 12. 如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以相同长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接，则的周长为_______． 13. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算：（1）； （2）． 15. 如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，点B，点O都在格点上． （1）画出关于直线的对称图形； （2）在直线上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，请在图中画出点P；若不存在，请说明理由； （3）求出四边形的面积． 16. 第六届天七数学文化节期间，学校开展了丰富多彩游园活动．王老师为了解本班学生对华容道、数独、24点、七巧板这4项活动的喜爱情况，在本班学生中随机抽查部分学生，对他们最喜爱的游园项目（每人只选一项）进行问卷调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图，A：华容道，B：数独，C：24点，D：七巧板）．请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）为进一步优化游园活动，提升活动的体验感，王老师从被调查最喜爱A和D学生中分别选取一名学生分享参与文化节活动的感受与建议，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 17. 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，D，G分别是AB，BC上的点，连接GD，且GD＝GB．以点D为顶点作等边△DEF，使点E，F分别在AC，GC上． （1）求∠DGF的大小； （2）求证：△FDG≌△EFC； （3）如图2，当DE//BC时，若△DEF的面积为2，请直接写出△ABC的面积． 18. 如图，在中，点D在的延长线上，过点A作直线． （1）如图1，点F在直线，之间，连接，，探究，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，过点C作交于点G，平分，平分，若，求的度数（用含x的式子表示）； （3）如图3，，，射线从的位置开始绕点A逆时针旋转，旋转，同时射线满足，且始终在前面运动，射线平分，当时，求的度数． 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则代数式_____． 20. 如图，点M，点N是长方形的边、上的两个点，把长方形沿线段折叠，当点D的对应点落在长方形的外部时，测量得，则_______（用含m的式子表示）． 21. 在中，，过的中点作的垂线，交直线于点，若，则__________°． 22. 如图，分别以的边、为边向外作等边和等边，连接，，交于点N，交于点M．若，，则的长度为 _____． 23. 如图，点D，点E，点F分别是的三边上的动点，若，，，则的最小值y与x的关系式为：____________________． 五、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）根据上述过程，写出、、之间的等量关系： ； （2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．观察图3，把一个大正方体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式： ； （3）两个正方形，如图4摆放，边长分别为x，y，若这两个正方形面积之和为，且，求图中阴影部分面积． 25. 甲、乙两人分别驾驶充电汽车和燃油汽车从A地前往B地，他们行驶路程y（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示（其中实线表示甲，虚线表示乙，且甲在中途因充电停止了一段时间）． （1）甲、乙两人， 先到达B地；甲在充电之前的速度为 千米/时； （2）若甲充完电后以原来速度的两倍继续行驶，则甲充电多少小时？ （3）在（2）条件下，从甲、乙两人首次距A地距离相等开始，到甲到达B地结束，在这段时间内两人何时相距30千米？ 26. 如图，在等边中，点D，点E分别是，边上的点（不与端点重合），连接，交于点F，且．点M，点N分别是线段，上的动点，连接，交于点P． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若平分，平分，猜想，与之间存在怎样的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，，点G在的延长线上，连接，，且交的延长线于点H，若点H为的中点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年四川省成都市双流区天府七中七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一个符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 剪纸社团是天七的特色学生社团，以下剪纸作品中，轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判定即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000084=8.4×10-6． 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 已知三角形两边的长分别为2cm、7cm，第三边长为整数，则第三边的长可以为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 9cm 【答案】C 【解析】 【分析】设第三边的长为x cm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围即可得出结论． 【详解】解：解：设第三边的长为x cm，则 ，即． ∵第三边长为整数， ∴第三边的长可以是8cm， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “穿十条马路连遇十次红灯”是不可能事件 B. 任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件 C. 某彩票中奖概率为1%，那么买100张彩票一定会中奖 D. “福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用随机事件的定义以及确定事件的定义分别分析得出答案． 【详解】A、“穿十条马路连遇十次红灯”是随机事件，错误； B、三角形内角和是180°，所以任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，是正确的； C、“彩票中奖概率为1%，那么买100张彩票不一定会中奖”是随机事件，故原选项错误； D、“福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是，故原选项错误． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确把握定义是解题关键． 5. 如图，已知，，增加下列条件，其中不能使是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，正确理解全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，即可判断答案． 【详解】， ， A、添加条件，根据“边角边”即可判断，不符合题意； B、添加条件，无法判断，符合题意； C、添加条件，根据“角边角”即可判断，不符合题意； D、添加条件，根据“角角边”即可判断，不符合题意． 故选B． 6. 如图所示，要得到，则需要的条件是（　　） A B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】可通过角之间的关系判断直线的平行，例如利用内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行等． 【详解】解：A、，只能得出，故错误； B、在中，∠DCE与∠DEC的合并不等于180°，故错误； C、∠EDC＝∠DCB，由内错角相等，两直线平行可得，故正确； D、∠BGF＝∠DCB，则，而不是，故错误． 故选：C 【点睛】此题考查平行线的判定问题，解题关键是能够熟练运用平行线的判定定理． 7. 如果4x2﹣（a﹣b）x+9是一个整式的平方，则2a﹣2b的值是（　　） A. ±24 B. ±9 C. ±6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断确定出a-b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】∵4x2−(a−b)x+9是一个整式的平方， ∴a−b=±12， 则原式=2(a−b)=±24， 故选:A 【点睛】考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，不要漏解. 8. 如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPO的周长是（ ） A. 11 B. 15 C. 16 D. 24 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵x=3时，及R从N到达点P时，面积开始不变， ∴PN=3，同理可得OP=5， ∴矩形的周长为2（3+5）=16． 故选C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 若代数式有意义，则x满足的条件是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，根据“任何不为0的数的零次幂等于1”进行解答即可． 【详解】解：由题可知，， 解得． 故答案为：． 10. 一个角的余角比它的补角的大，则这个角的度数是______°． 【答案】40 【解析】 【分析】设这个角的度数为x度，它的余角度数为度，它的补角度数为度，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角度数为x度， ， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项合并，得：， 化系数为1，得：． 故答案为：40． 【点睛】此题主要考查余角与补角的含义，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程求解． 11. 若中不含项，则的值为 _____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先按照多项式乘多项式法则进行计算，然后根据中不含项，得到，再把代入所求算式进行计算即可，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解： ∵中不含x2项， ∴， ∴， 故答案为：0． 12. 如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接，则的周长为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则的周长，再代入数值即可． 【详解】解：从作法可知：是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：20． 13. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 由题意得：, ∴，答：两堵木墙之间的距离为. 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算：（1）； （2）． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】（1）先分别化简有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，然后再计算； （2）先算小括号里面的，然后再算括号外面的． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【点睛】本题考查负整数指数幂，零指数幂，整式的混合运算，掌握运算法则是解题关键． 15. 如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，点B，点O都在格点上． （1）画出关于直线的对称图形； （2）在直线上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，请在图中画出点P；若不存在，请说明理由； （3）求出四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）存在，理由见解析 （3）12 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短，梯形面积公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点P，则点P即为所求． （3）利用梯形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：存在． 如图，连接，交直线于点P，连接， 此时为最小值， 则点P即为所求． 【小问3详解】 解：由图可知：四边形的面积为． 16. 第六届天七数学文化节期间，学校开展了丰富多彩的游园活动．王老师为了解本班学生对华容道、数独、24点、七巧板这4项活动的喜爱情况，在本班学生中随机抽查部分学生，对他们最喜爱的游园项目（每人只选一项）进行问卷调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图，A：华容道，B：数独，C：24点，D：七巧板）．请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）为进一步优化游园活动，提升活动的体验感，王老师从被调查最喜爱A和D学生中分别选取一名学生分享参与文化节活动的感受与建议，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图； （1）用条形统计图中B类别的人数除以扇形统计图中B的百分比可得共调查的学生人数． （2）求出A类别中女生的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 本次调查中，王老师一共调查了（名）． 故答案为：20． 【小问2详解】 由题意得，A类别的人数为（人）， ∴A类别中女生的人数为（人）， 补全条形统计图如图1所示． 【小问3详解】 列表如下： 男 女 男 （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，女） 女 （女，男） （女，女） 共有6种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果有3种， ∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为． 17. 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，D，G分别是AB，BC上的点，连接GD，且GD＝GB．以点D为顶点作等边△DEF，使点E，F分别在AC，GC上． （1）求∠DGF的大小； （2）求证：△FDG≌△EFC； （3）如图2，当DE//BC时，若△DEF的面积为2，请直接写出△ABC的面积． 【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）9 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠BDG＝∠B＝30°，然后利用三角形外角的性质求出∠BGD即可； （2）先证明∠DFG＝∠FEC，∠DGF＝∠C，然后根据AAS证明三角形全等即可． （3）证明△DFG，△EFC都是等边三角形，再证明BG＝FG，推出△BDG的面积＝2，作DH⊥EF于点H，证明△ADE≌△HDE，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵GB＝GD， ∴∠BDG＝∠B＝30°， ∴∠DGF＝30°+30°＝60°； （2）证明：∵∠A＝90°，∠B＝30°， ∴∠C＝90°﹣30°＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DF＝EF，∠DFE＝60°， ∵∠EFG＝∠DFE+∠DFG＝∠C+∠FEC，∠DFE＝∠C＝60°， ∴∠DFG＝∠FEC， ∵∠DGF＝60°， ∴∠DGF＝∠C， 在△FDG和△EFC中， ， ∴△FDG≌△EFC（AAS）． （3）解：∵DE//BC， ∴∠EDF＝∠DFG＝60°，∠DEF＝∠EFC＝60°， ∵∠DGF＝∠C＝60°， ∴△DFG，△EFC都是等边三角形，面积都是2， ∴GD＝GF， ∵GB＝GD， ∴GD＝GF＝BG， ∴△BDG的面积＝△DGF的面积＝2， 作DH⊥EF于点H，则∠HDE=∠HDF=30°， ∵DE//BC， ∴∠ADE＝∠C＝30°， ∴∠ADE＝∠HDE， 在△ADE和△HDE中 ， ∴△ADE≌△HDE， ∴△ADE的面积＝△HDE的面积＝1， ∴△ABC的面积＝2+2+2+2+1＝9． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 18. 如图，在中，点D在的延长线上，过点A作直线． （1）如图1，点F在直线，之间，连接，，探究，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，过点C作交于点G，平分，平分，若，求的度数（用含x的式子表示）； （3）如图3，，，射线从的位置开始绕点A逆时针旋转，旋转，同时射线满足，且始终在前面运动，射线平分，当时，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，，即可求解； （2）由平行线的性质可得，，由角平分线的定义可求，由（1）的结论可求解； （3）分三种情况讨论，根据，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 ，理由如下： 过点作， ，， ， ，， ； 【小问2详解】 ，， ，， ， 平分，平分， ， 由（1）可知：； 【小问3详解】 ，， ，， 射线平分， ， 当在和之间时， ， ， ， ； 当在的上方时， ， ， 方程无解； 当在直线的左侧时，， ， 方程无解， 综上所述：． 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则代数式_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，先把已知等式的左边写成底数是的幂，然后根据同底数幂的乘除法则进行计算，从而求出的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 20. 如图，点M，点N是长方形的边、上的两个点，把长方形沿线段折叠，当点D的对应点落在长方形的外部时，测量得，则_______（用含m的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角的和差，折叠的性质，先利用平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，再利用周角定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：， ∴， 故答案为：． 21. 在中，，过的中点作的垂线，交直线于点，若，则__________°． 【答案】74或16 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 分是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论即可． 【详解】解：分两种情况： ①如果是锐角三角形，如图1， ， ， ， ， ， ； ②如果是钝角三角形，如图2， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：74或16． 22. 如图，分别以的边、为边向外作等边和等边，连接，，交于点N，交于点M．若，，则的长度为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质证明，得到，进而推出，将绕点旋转得到，过点作，过点作，过点作，交于点，推出为等边三角形，得到，进而推出，得到，进而得到，可得出结果． 【详解】解：∵等边和等边， ∴，，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 过点作，过点作，过点作，交于点，将绕点旋转得到，则：， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，同高（同底）三角形的面积比．解题的关键是构造全等三角形，利用等积法进行求解． 23. 如图，点D，点E，点F分别是的三边上的动点，若，，，则的最小值y与x的关系式为：____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形．根据点D，点E，点F分别是的三边上的动点，求的最小值y与x的关系式，可得点D、E、F有两点重合在的某个顶点处．作于点M，比较、、后，最短，它的长度即为的最小值．根据面积的不同表示方法可得的长，即可求得的最小值y与x的关系式． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴． ∵点D，点E，点F分别是的三边上的动点，求的最小值y与x的关系式， ∴点D、E、F有两点重合在的某个顶点处． ①点D、F在点A处， ∵点A到的最小距离为， ∴点E在点B处． ∴． ②点D、E在点B处，作于点M． ∵点B到的最小距离为， ∴点F在点M处． ∴． ③点E、F在点C处， ∵点C到的最小距离为， ∴点D在点B处． ∴． ∵． ∴的最小值为． ∵． ∴． ∴的最小值y与x的关系式为：． 故答案为： 五、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）根据上述过程，写出、、之间的等量关系： ； （2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．观察图3，把一个大正方体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式： ； （3）两个正方形，如图4摆放，边长分别为x，y，若这两个正方形面积之和为，且，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式， （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图2的面积即可； （2）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图3的面积即可； （3）设正方形的边长m，正方形的边长为n，由于两个正方形面积之和为，且得，，用代数式表示阴影部分的面积代入计算即可得； 掌握完全平方公式的结构是解题的关键． 【小问1详解】 解：图2“整体”上是边长为的正方形，因此面积为，图2中间“小正方形”的边长为，因此面积为，四个小长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； 【小问2详解】 解：图3“整体”上是棱长为的正方体，因此体积为，分割成的8个部分的体积和为， 所以有， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设正方形的边长m，正方形的边长为n， 由于两个正方形面积之和为，且， ∴，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴或（舍去）， ∴ ＝． 25. 甲、乙两人分别驾驶充电汽车和燃油汽车从A地前往B地，他们的行驶路程y（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示（其中实线表示甲，虚线表示乙，且甲在中途因充电停止了一段时间）． （1）甲、乙两人， 先到达B地；甲在充电之前的速度为 千米/时； （2）若甲充完电后以原来速度的两倍继续行驶，则甲充电多少小时？ （3）在（2）的条件下，从甲、乙两人首次距A地距离相等开始，到甲到达B地结束，在这段时间内两人何时相距30千米？ 【答案】（1）甲，50 （2）2小时 （3）当行驶3.5小时或4.75小时或6.25小时或7.5小时，两人相距30千米 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握从函数图象获取信息和待定系数法求一次函数解析式是关键． （1）依据题意，由图象可得，甲先到达地；再设乙的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为，结合过，，求出乙的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为，再令，则，结合图象可得甲在充电前的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系图象过，再设甲在充电前的函数为，求出关系式即可判断得解； （2）依据题意，根据图象可得，甲充电的时间为：（小时），进而可以判断得解； （3）依据题意，设甲在充电后的函数关系式为，又过，，进而求出甲在充电后的函数关系式为，再结合图象当时，甲乙首次距距离相等，然后联列，求出的横坐标为5.5，又行驶小时，两人相距30千米，从而分当时、当时、当时和当时进行讨论计算可以得解． 【小问1详解】 解：由图象可得，甲先到达地． 由题意，设乙的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为， 又过，， ． ． 乙的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为． 令，则． 甲在充电前的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系图象过， 又设甲在充电前的函数为， ． ． 甲在充电前的行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系为． 甲在充电前的速度为（千米小时）． 故答案为：甲；50． 【小问2详解】 解：由题意，根据图象可得，甲充电的时间为：（小时）． 【小问3详解】 解：由题意，设甲在充电后的函数关系式为， 又过，， ． ． 甲在充电后函数关系式为． 又结合图象当时，甲乙首次距距离相等． 联列， ． 的横坐标为5.5． 设行驶小时，两人相距30千米， ①当时， ． ． ②当时， ． ． ③当时， ． ． ④当时， ． ． 综上，当行驶3.5小时或4.75小时或6.25小时或7.5小时，两人相距30千米． 26. 如图，在等边中，点D，点E分别是，边上的点（不与端点重合），连接，交于点F，且．点M，点N分别是线段，上的动点，连接，交于点P． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若平分，平分，猜想，与之间存在怎样的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，，点G在的延长线上，连接，，且交的延长线于点H，若点H为的中点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明即可； （2）作的平分线，交于Q，证明，可得，，证明，可得，同理可得，，再证明，即可得到结论； （3）在上截取，连接，延长至T，使，以G为圆心，为半径画弧，连接，依次证明，，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图1， 作的平分线，交于Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：如图2， 在上截取，连接，延长至T，使，以G为圆心，为半径画弧，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 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