4.3解直角三角形同步练 2024-2025学年湘教版数学九年级上册

4.3　解直角三角形 基础达标练 课时训练 夯实基础 知识点1　解直角三角形 1.(2023·西宁中考)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,∠A=42°,则BC的长约为 　 　.(结果精确到0.1.参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)  2.(教材开发·P123第3题改编)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,AC=10,cos C=,那么CD= 　.  3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解直角三角形. (1)a=2,b=6; (2)∠B=45°,c=10. 知识点2　构造直角三角形解决问题 4.如图,△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边QR上的高为h2,则有( ) A.h1=h2 B.h1<h2 C.h1>h2 D.以上都有可能 5.如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C为网格交点,AD⊥BC,垂足为D,则 (1)AD= 　;  (2)sin∠BAD= 　.  6.(2024·遵义余庆县质检)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,AB=8 ,BC=8+8 ,求AC及△ABC的面积. 综合能力练 巩固提升 迁移运用 7.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=1,则cosA的值是( ) A. B. C. D. 8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为( ) A. B.-1 C.2- D. 9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,点D是AC上一点,连接BD.若tan∠A=, tan∠ABD=,则CD的长为( ) A.2 B.3 C. D .2 10.如图,在△ABC中,若∠B=135°,AB=2,则tan 22.5°的值是 　.  11.(易错警示题)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则BC∶CA∶AB= 　 　.  12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F,若AC=6,tan B=,则CE=　 　.  13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tanB=,点D在BC上,且BD=AD,求AC的长和cos∠ADC的值. 14.(素养提升题)已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BE∶AB=3∶5,若CE=,cos∠ACD=. (1)求cos∠ABC; (2)AC的值. 易错点　忽略直角三角形的条件,没有分类讨论 【案例】在△ABC中,AB=2,AC=,∠B=30°,则∠BAC的度数是　   学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3　解直角三角形 基础达标练 课时训练 夯实基础 知识点1　解直角三角形 1.(2023·西宁中考)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,∠A=42°,则BC的长约为 　8.0　.(结果精确到0.1.参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)  2.(教材开发·P123第3题改编)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,AC=10,cos C=,那么CD= 　.  3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解直角三角形. (1)a=2,b=6; (2)∠B=45°,c=10. 【解析】(1)∵a=2,b=6, ∴tanA===,∴∠A=30°, ∴∠B=90°-30°=60°,∴c=2a=4; (2)∵∠B=45°,∴∠A=90°-45°=45°, ∴a=b=×10=5. 知识点2　构造直角三角形解决问题 4.如图,△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边QR上的高为h2,则有(A) A.h1=h2 B.h1<h2 C.h1>h2 D.以上都有可能 5.如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C为网格交点,AD⊥BC,垂足为D,则 (1)AD= 　;  (2)sin∠BAD= 　.  6.(2024·遵义余庆县质检)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,AB=8 ,BC=8+8 ,求AC及△ABC的面积. 【解析】如图:过A作AD⊥BC于D, AD=ABsin 45°=8 ×=8, AC==16,△ABC的面积为AD·BC=32(1+). 综合能力练 巩固提升 迁移运用 7.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=1,则cosA的值是(A) A. B. C. D. 8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为(A) A. B.-1 C.2- D. 9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,点D是AC上一点,连接BD.若tan∠A=, tan∠ABD=,则CD的长为(C) A.2 B.3 C. D .2 10.如图,在△ABC中,若∠B=135°,AB=2,则tan 22.5°的值是 -1　.  11.(易错警示题)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则BC∶CA∶AB= 　2∶∶(+1)　.  12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F,若AC=6,tan B=,则CE=　3　.  13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tanB=,点D在BC上,且BD=AD,求AC的长和cos∠ADC的值. 【解析】∵在Rt△ABC中,BC=8,tanB=,tanB=,∴AC=BC·tanB=4, 设AD=x,则BD=x,CD=8-x, 在Rt△ADC中,由勾股定理得,(8-x)2+42=x2,解得x=5,AD=5,CD=8-5=3, ∴cos∠ADC==. 14.(素养提升题)已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BE∶AB=3∶5,若CE=,cos∠ACD=. (1)求cos∠ABC; (2)AC的值. 【解析】(1)在Rt△ACD与Rt△ABC中, ∵∠ABC+∠CAD=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∴∠ABC=∠ACD, ∴cos∠ABC=cos∠ACD=; (2)在Rt△ABC中,=,令BC=4k,AB=5k,则AC=3k, 由BE∶AB=3∶5,知BE=3k, 则CE=k,且CE=,则k=,AC=3. 易错点　忽略直角三角形的条件,没有分类讨论 【案例】在△ABC中,AB=2,AC=,∠B=30°,则∠BAC的度数是　15°或105°　.  学科网（北京）股份有限公司 $$